順序数横断ウルトラクイズ(!?)

2011年2月9日(水) - て日々
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最小の順序数 0 から出発して, 最初の不可算順序数 ω₁ へ向かう各駅停車の長距離列車がある. 各可算順序数 α が駅である. 始発駅の 0 では空っぽの車両に可算無限人の乗客が乗り込む. その後, 各駅に停車する段階で, 車両が空でなければ, 乗客が誰か一人だけ降りて, そのあとに可算無限人が新たに乗り込む. 駅に着いたとき列車が空でも, やはり可算無限人が新たに乗りこむ. 一度降りた人は二度と乗車しない. さて, 終着駅 ω₁ に到着したとき, 列車はどうなっているだろう.
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このネタで私が連想したのが，往年のテレビクイズ名番組「アメリカ横断ウルトラクイズ」．

「オメガワンへ行きたいかぁ～～っ！」
『おぉ～～っ』
「どんなことをしても，オメガワンへ行きたいかぁ～～っ！」
『おぉ～～っ』
「罰ゲームは怖くないかぁ～～っ！」

順序数横断ウルトラクイズの挑戦者一行は，各可算順序数 α のチェックポイントでクイズに挑み，敗者一人を振り落とす．ところが，各チェックポイントでは，罰ゲームが終わった後に，新たに可算無限人の挑戦者が参入してくる．さて，決勝戦の地 ω₁ にたどり着けるのは…

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ちなみに，集合論で長距離列車といえば，アムトラックにはCardinalという列車があります（シカゴ～ニューヨーク）．1年前にアムトラックでニューヨークに行ったときにはLakeshore Limitedに乗りましたが，どうせならCardinalに乗ればよかったかな…