協和音を荒っぽく説明すれば...

拙著「音律と音階の科学」などは，二つの楽音の協和を，不協和曲線に基づいて説明している．
二つの単音(単一周波数の音)の音高が一致すれば違和感がないが，少し離れると違和感が増し，十分離れれば違和感が消える...という前提から出発し，楽音の周波数スペクトルのデータを使ってごちゃごちゃ計算すると，完全4度，完全5度，長3度，長6度などが協和することが導かれる．

もっと仮定を単純化すると，「音高が一致するふたつの単音以外は，聴いて違和感がある」ということになる．逆に言えば，どこかで同じ音が鳴っていれば，高さが違う音を同時に鳴らしても親しみを感じる．
例えば，楽音のドと楽音のソが協和するのは，楽音ドにミが含まれているからだ．



この図はピアノでドレミファソラシドを弾いたときのソノグラム = 周波数スペクトルの時間変化を表示するもの．横軸が時間，縦軸が周波数．左端を上下方向に見ると，ドというキーを押し下げたとき，266Hzがいちばん低い周波数成分として出ている．これがドの音である．しかし，その他に，2倍波すなわち2x266Hz，3倍波すなわち3x266Hz，4倍波すなわち4x266Hz...が上方向にずらずらと並んでいる．

その隣の縦列はレの周波数スペクトルで，やや大きい間隔で縦に並ぶ．その右はミだが，間隔はもっと広がる．

ドの各周波数成分の位置を横方向の点線で示してある．
これで見ると，ドの下から5番目とミの下から4番目は　縦方向に同じ位置にある．ここを赤丸で囲む．
隣の，ファの3番目はドの4番目と同じ位置にある．ここも赤丸で囲む．
おっと，ファの6番目もドの8番目と同じ位置にある．ここも赤丸で囲む．
エトセトラ．

要するに，レ，ミ，ファ，ソ...のうち赤丸の数が多い音ほど，ドと同時に弾いたときの響きが良い，すなわち協和度が高いことになる．
もっと詳しく言うと，赤丸の位置が低いほど協和する．
この図では，ドと協和する音を順位づけると，オクターブ上のドがいちばん良く，ソ，ファと続き，ミとラが同列となる．

このようにうまいこと赤丸が描けるのは，じつはミ，ファ，ソ，ラの最低音の，ドの最低音にたいする周波数比が単純だからである．平均律ではじつはずれているのだが，ご覧のようにスペクトルにも幅があるので誤摩化される．
しかし12音平均律で音階を作るからうまく赤丸が描けるのであって，例えば16音平均律などでは赤丸はひとつも描けない．

もともとの周波数音の他に，その2倍波，3倍波，4倍波，...が生じるのは，ピアノだけでなく，多くの管楽器・弦楽器の音に共通している．2倍波3倍波4倍波...がないと音楽の音としてはつまらない．ただし，打楽器の音にはまた別な規則性があり，ガムランのような音楽には，この説明は通用しない．

長文失礼いたしました．