中学入試問題Ｈ３１（２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度灘中入試問題を取り上げます。

問題は、
「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ はどの２つも異なる２から９までの数字です。３桁の整数ＡＢＣとＤＥＦを足すと４桁の整数１０ＧＨ になり、この足し算でくり上がりは百の位から千の位にだけあるとき、ＧとＨの和は［①　　］です。さらにこのとき、ＡがＤより大きいとすると、ＡＢＣとして考えられる桁の整数は全部で［②　　］個あります。」

この足し算でくり上がりが生じるのは。百の位から千の位だけなので、
Ａ＋Ｄ＝１０、Ｂ＋Ｅ＝Ｇ≦９、Ｃ＋Ｆ＝Ｈ≦８
または、
Ａ＋Ｄ＝１０、Ｂ＋Ｅ＝Ｇ≦８、Ｃ＋Ｆ＝Ｈ≦９
が成り立ち、これらから、
Ａ＋Ｄ＝１０　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
Ｂ＋Ｅ＋Ｃ＋Ｆ≦１７　　　　　　　　　　　　　　（２）
になります。

一方、
２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４４
から
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝４４
で、これを変形すると、
Ｇ＋Ｈ＝４４－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）
　　　＝４４－（Ａ＋Ｄ）－（Ｂ＋Ｅ＋Ｃ＋Ｆ）　　（３）
になります。

ここで（３）に（１）と（２）を代入すると、
Ｇ＋Ｈ≧４４－１０－１７＝１７　　　　　　　　　（４）
が成り立ちます。

いま、ＧとＨは２から９までの整数で、（４）を満たすＧとＨの組合せは８と９だけなので、
Ｇ＋Ｈ＝８＋９＝１７
になります。

したがって、ＧとＨの和は１７で、これが ① の答えです。

続いて②です。

ＡとＤの組合せ（Ａ，Ｄ）は、（２，８）、（３，７）、（４，６）の並び替えですが、問題に与えられた条件Ａ＞Ｄから、（２，８）、（３，７）、（４，６）になります。

一方、ＧとＨの組合せ［Ｇ，Ｈ］は、［８，９］の並び替えになります。

ここで（２，８）に注目すると、［８，９］との間で８が重複しているので、この組合せは不可能です。

したがって、（Ａ，Ｄ）と［Ｇ，Ｈ］の可能な組合せは、
（３，７）と［８，９］の並び替え　　　　　　　　（５）
または　　　
（４，６）と［８，９］の並び替え　　　　　　　　（６）
になり、（５）、（６）のいずれの場合も、残った４つの数字がＢ、Ｃ、Ｅ、Ｆに振り分けられることになります。

そこで、Ｂ、Ｃへの数字の振り分け方を勘定しましょう。

まず初めに、Ｂに数字を振り分けるとすると、数字は４つ残っているので、その振り分け方は４通りです。

ここで、Ｂの数字が決まるとＥの数字が決まり、残りの数字は２つになるので、Ｃへの振り分け方は２通りになり、したがって、Ｂ、Ｃへの数字の振り分け方は、合わせて４×２＝８通りになります。

これは（５）と（６）のそれぞれについて同じなので、Ｂ、Ｃへの数字の振り分け方は、８×２＝１６（通り）です。

したがって、ＡＢＣとして考えられる３桁の整数は全部で １６ 個 で、これが②の答えです。


楽しい問題です。