高校入試問題Ｒ２（６）[開成高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度開成入試問題です。

問題は、
「ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝６、ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝４ である四面体ＡＢＣＤがある。辺ＡＢの中点をＰとし、辺ＡＣ、ＡＤ上にそれぞれ点Ｑ、ＲをＡＱ＞ＡＲとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

（１） △ＡＢＣの面積を求めよ。

（２） 辺ＡＣ上の点Ｈを∠ＰＨＡ＝９０°となるようにとるとき、線分ＡＨの長さを求めよ。

（３） ＡＱ＝４、ＰＱ＝ＰＲ のとき、線分ＡＲの長さを求めよ。

（４） △ＰＱＲが二等辺三角形であり、四面体ＡＰＱＲの体積が四面体ＡＢＣＤの体積の
　
となるような線分ＡＱ、ＡＲの長さの組をすべて求めよ。ただし、解答欄はすべて使うとは限らない。」
です。

図１に、与えられた条件を書き入れました。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

初めに、△ＡＢＣの面積です。

図２のように、Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＥとすると、ＢＥ＝２になります。

ここで、△ＡＢＥに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、ＢＥ＝２、ＡＢ＝６を代入し整理すると、

で、ＡＥ＞０から

です。

したがって、△ＡＢＣの面積は、

で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

図２のように、Ｂから辺ＡＣに垂線を下ろし、その足をＦとすると、ＰＨ//ＢＦになり、ＡＰ＝ＰＢからＡＨ＝ＨＦが成り立ちます。

▲図２．Ｂから辺ＡＣに垂線を下ろし、その足をＦとしました

一方、∠ＡＥＢ＝∠ＢＦＣ＝９０°、∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＦから、△ＡＢＥ∽△ＢＣＦになります。

すると、ＡＢ：ＢＥ＝ＢＣ：ＣＦが成り立ち、これに、ＡＢ＝６、ＢＥ＝２、ＢＣ＝４を代入し整理すると、

になり、したがって、

で、これが答えです。

次に（３）です。

△ＡＢＣ≡△ＡＢＤなので、△ＡＢＣと△ＡＢＤを重ねて図３の右側の図を調べます。

▲図３．△ＡＢＣと△ＡＢＤを重ねました

ここで、△ＰＱＲは二等辺三角形なので、ＱＨ＝ＲＨです。

すると、
ＡＲ＝２ＡＨ－ＡＱ
になり、これに、

を代入して、

で、これが答えです。


（４）は次回です。

ｙｏｕ ｋｎｏｗ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｙｏｕ　ｋｎｏｗ， ｙｏｕ　ｃａｎ　ｍａｋｅ　ｓｕｓｈｉ　ａｔ　ｈｏｍｅ．
（寿司は家で作れるよね）
という文があります。

この ｙｏｕ　ｋｎｏｗ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、
● ｙｏｕ　ｋｎｏｗ は文字通り「あなたがわかっている（ように）」と話し手が考えていることから、 つなぎ表現 として自分の主張や発話の意図を確認・念押しして聞き手に理解や同意を求める。

　Ｗｅ　ｗｅｒｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｔａｕｒａｎｔ， ｙｏｕ　ｋｎｏｗ， ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｏｎ．
　（レストランにいたんだよ。ほらあの、駅のそばの）

● 聞き手も知っている事柄を思い起こさせて説明したり、「わかっているとは思いますが．．．してはどうですか」と控えめに主張したりする。
　Ｙｏｕ　ｋｎｏｗ， Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｗｅ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｇｏｉｎｇ．
　（もう行った方がいいんじゃない）

● 話題を導入する際には唐突に新しい話題を始めるのではなく、聞き手が知っていると思われることを述べる。このように話し手は聞き手に共感を求めるが、戦略的に相手は知らないとわかっていて共感を強要する場合もある。

　Ｙｏｕ　ｋｎｏｗ， Ｉ　ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ　ｆｅｅｌ　Ｉ　ｄｏｎ’ｔ　ｋｎｏｗ　ｈｉｍ　ａｔ　ａｌｌ．
　（それでさ、私って彼のこと全然わかってないって感じることが時々あるのよ）

と解説しています。

ちなみに、 ｙｏｕ　ｋｎｏｗ は、 アメリカ英語 で好まれ、その使用頻度は イギリス英語 の 約２倍 だそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（５）[筑波大附属駒場高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度筑波大附属駒場高入試問題です。

問題は、
「４桁の正の整数があります。この整数に以下の操作を行い、５桁の整数にすることを考えます。

捜査
① ４桁の整数を７で割った余りを求める。
② ７から①で求めた余りを引く。
③ もとの４桁の整数の末尾に②の結果を書き加え、５桁の整数にする。

この操作でできた５桁の整数を《コード》と呼ぶことにします。
例えば、１０００を７で割った余りは６なので、末尾に１を書き加え、１０００の《コード》は１０００１です。
また、１００１を７で割った余りは０なので、末尾に７を書き加え、１００１の《コード》は１００１７です。

次の問いに答えなさい。
（１） ２０２０の《コード》を求めなさい。

（２） ８５２１４は《コード》ではありませんが、５桁のうち１桁だけを別の数字に直すことで、《コード》にできます。このように直して得られる《コード》として、考えられるものは全部で何個ありますか。

（３） ４桁の正の整数は９０００個あります。これらの整数の《コード》９０００個のうち、《コード》を９で割った余りがａであるものの個数をＮ（ａ）とします。なお、ａ＝０、１、２、・・・、８です。
Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値と、そのときのＮ（ａ）の値を求めなさい。」
です。

２０２０÷７＝２８８・・・４
から、元の数（２０２０）の末尾に書き加える数は、
７－４＝３
なので、（１）の答えは、 ２０２０３ です。

次に（２）です。

４桁の整数
Ｎ＝１０００ｘ＋１００ｙ＋１０ｚ＋ｗ
を変形して、
Ｎ＝（７×１４２＋６）ｘ＋（７×１４＋２）ｙ＋（７×１＋３）ｚ＋ｗ
　＝７（１４２ｘ＋１４ｙ＋ｚ）＋６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ
とすると、Ｎを７で割った余りは、６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ を７で割った余りと等しくなることが判ります。

これを利用して、８５２１４を調べていきましょう。

● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１の場合
８５２１を７で割った余りは、６×８＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りで、６＋３＋６＋１→２になり、８５２１の末尾に７－２＝５を書き加えた数が、《コード》になります。（１個）

● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３×２＋ｗを７で割った余りは、６＋３＋６＋（ｗを７で割った余り）→１＋（ｗを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（ｗを７で割った余り）が２になります。

したがって、ｗ＝２、９のとき、それらは《コード》になります。（２個）

● ｘ＝８、ｙ＝５、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３ｚ＋１を７で割った余りは、６＋３＋（３ｚを７で割った余り）＋１→３＋（３ｚを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（３ｚを７で割った余り）が０になります。

したがって、ｚ＝０，７のとき、それらは《コード》になります。（２個）

● ｘ＝８、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２ｙ＋３×２＋１を７で割った余りは、６＋（２ｙを７で割った余り）＋６＋１→６＋（２ｙを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（２ｙを７で割った余り）が４になります。

したがって、ｙ＝２，９のとき、それらは《コード》になります。（２個）

● ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６ｘ＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りは、（６ｘを７で割った余り）＋３＋６＋１→３＋（６ｘを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（６ｘを７で割った余り）が０になります。

したがって、ｘ＝０、７のとき、それらは《コード》になりますが、ｘ≠０から、ｘ＝７です。（１個）

以上から、８５２１４の５桁のうち１桁を直して《コード》にできるものの個数は、１＋２＋２＋２＋１＝ ８（個） で、これが答えです。

最後の（３）です。

１０００から９９９９までの４桁の整数をＭ、Ｍを７で割った余りを７から引いたものをｒとすると、《Ｍ》＝１０Ｍ＋ｒになります。

ここで、１０Ｍ＝９Ｍ＋Ｍから、１０Ｍを９で割った余りは、Ｍを９で割った余りｓと等しくなり、したがって、《Ｍ》を９で割った余りは、ｒ＋ｓを９で割った余りと等しくなります。

このとき、Ｍを７で割った余りは、１０００から９９９９まで順に
６、０、・・・、６、０、１、２、・・・、２、３
と循環することから、ｒは、
１、７、・・・、１、７、６、５、・・・、５、４
と循環し、ｓは、１０００から９９９９まで順に、
１、２、・・・、８、０、１、２、・・・、８、０
と循環します。

そこで、Ｍが、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ と変わっていくときのｒとｓの関係を調べます。

Mのｒが７とすると、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ に対して、ｒとｓはそれぞれ
ｒ：７→６→５→４→３→２→１
と
ｓ：０→１→２→３→４→５→６
　　１→２→３→４→５→６→７
　　２→３→４→５→６→７→８
　　３→４→５→６→７→８→０
　　４→５→６→７→８→０→１
　　５→６→７→８→０→１→２
　　６→７→８→０→１→２→３
　　７→８→０→１→２→３→４
　　８→０→１→２→３→４→５
になり、ｒが７→６→５→４→３→２→１と変わる間、ｒとｓの和を９で割った余りは、同じ値になることが判ります。（例えば、ｒ：７→６→５→４→３→２→１、 ｓ：０→１→２→３→４→５→６ のとき、ｒ＋ｓを９で割った余りは、 ７→７→７→７→７→７→７ になり、 ｓ：８→０→１→２→３→４→５ のとき、６→６→６→６→６→６→６ になります）

また、ｒとｓの周期はそれぞれ７と９なので、ｒとｓを合わせた周期は７×９＝６３になります。

それでは、ここから１０００から１０６２までの６３個の整数について、ａを具体的に調べていきましょう。

１０００÷７＝１４２・・・６ → ｒ＝１
１０００÷９＝１１１・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝２ → ａ＝２
です。

１００１÷７＝１４３・・・０ → ｒ＝７
１００１÷９＝１１１・・・２ → ｓ＝２
から
ｒ＋ｓ＝９ → ａ＝０
になり、１００１≦Ｍ≦１００７で、ａ＝０です。

１００８÷７＝１４４・・・０ → ｒ＝７
１００８÷９＝１１２・・・０ → ｓ＝０
から
ｒ＋ｓ＝７ → ａ＝７
になり、１００８≦Ｍ≦１０１４で、ａ＝７です。

１０１５÷７＝１４５・・・０ → ｒ＝７
１０１５÷９＝１１２・・・７ → ｓ＝７
から
ｒ＋ｓ＝１４ → ａ＝５
になり、１０１５≦Ｍ≦１０２１で、ａ＝５です。

１０２２÷７＝１４６・・・０ → ｒ＝７
１０２２÷９＝１１３・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０２２≦Ｍ≦１０２８で、ａ＝３です。

１０２９÷７＝１４７・・・０ → ｒ＝７
１０２９÷９＝１１４・・・３ → ｓ＝３
から
ｒ＋ｓ＝１０ → ａ＝１
になり、１０２９≦Ｍ≦１０３５で、ａ＝１です。

１０３６÷７＝１４８・・・０ → ｒ＝７
１０３６÷９＝１１５・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝８ → ａ＝８
になり、１０３６≦Ｍ≦１０４２で、ａ＝８です。

１０４３÷７＝１４９・・・０ → ｒ＝７
１０４３÷９＝１１６・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０４３≦Ｍ≦１０４９で、ａ＝３です。

１０５０÷７＝１５０・・・０ → ｒ＝７
１０５０÷９＝１１６・・・６ → ｓ＝６
から
ｒ＋ｓ＝１３ → ａ＝４
になり、１０５０≦Ｍ≦１０５６で、ａ＝４です。

１０５７÷７＝１５１・・・０ → ｒ＝７
１０５７÷９＝１１７・・・４ → ｓ＝４
から
ｒ＋ｓ＝１１ → ａ＝２
になり、１０５７≦Ｍ≦１０６３で、ａ＝２です。

以上から、１０００から１０６２までの６３個の整数に対して、ａは順に、
２ （１個）
０ （７個）
７ （７個）
５ （７個）
３ （７個）
１ （７個）
８ （７個）
６ （７個）
４ （７個）
２ （６個）
と出現することが判りました。

すると、
（９９９９－９９９）÷６３＝１４２・・・５４
から、１０００から９９９９の９０００個の整数のうち、

・ ａ＝２ になる整数の個数は、
７×１４２＋１＝９９５（個）

・ ａ＝０、７、５、３、１、８、６ になる整数の個数は、
７×１４３＝１００１（個）

・ ａ＝４ になる整数の個数は、
７×１４２＋４＝９９８（個）
になります。

以上から、Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値は ２ 、Ｎ（２）＝９９５ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｈｏｐｅｌｅｓｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉｔ’ｓ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ．
（どうしようもない）
という文があります。

この ｈｏｐｅｌｅｓｓ を 現代英語語法辞典 で引いてみると、
（１） 〈人・物事が〉絶望的な、喪込みのない
　ａ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ
　（絶望的な事態）

（２） 〈人が〉絶望して、あきらめて
　Ｓｈｅ　ｆｅｌｔ　ｌｏｎｅｌｙ　ａｎｄ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ．
　（彼女は寂しく絶望していた）

（３） 《くだけた表現》〈人が〉（能力・技能の点で）欠けている、役に立たない
　ａ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ　ｔｅａｃｈｅｒ
　（どうしようもない先生）

（４） 〈人が〉（．．．が）不得意で（ａｔ）
　Ｉ’ｍ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ　ａｔ　ｍａｔｈｓ．
　（私は数学が不得意です）
とあり、教科書の文は（１）に相当します。

また、 ａ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ　ｐｅｒｓｏｎ と ｈｏｐｅｌｅｓｓ の 類義語 ｄｅｓｐｅｒａｔｅ を使った ａ　ｄｅｓｐｅｒａｔｅ　ｐｅｒｓｏｎ との違いについて面白いことが書いてあって、それは、
● ａ　ｈｏｐｅｌｅｓｓ　ｐｅｒｓｏｎ
　望みが全くない、絶望的な人を指す

● ａ　ｄｅｓｐｅｒａｔｅ　ｐｅｒｓｏｎ
　少しは望みが残っている必死の人を指す。
　（この場合の ｄｅｓｐｅｒａｔｅ は、ほとんど希望はもてないが、向こう見ずな手段をとれば、わずかな望みが抱ける意）
ということだそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（４）[灘高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度灘高入試問題です。

問題は、
「下の図のように、中心がＯ、半径が１の円Ｋの周上に点Ｐをとり、円Ｋの内部に点Ａをとる。

半直線ＯＡ上に、線分ＯＡの長さと線分ＯＢの長さの積が１となるような点Ｂをとる。

（１） △ＯＰＢ∽△ＯＡＰ となることを証明せよ。
（２） 半直線ＯＡと円Ｋの交点をＣとおくと、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣとなることを証明せよ。
（３） 図のように円Ｋの周上に点Ｑをとり、直線ＰＱに関して点Ａと線対称である点をＤとおくと、△ＤＰＢ∽△ＱＯＢ となることを証明せよ。」
です。

図１のように、ＯＡ＝ｋ とすると、 ＯＡ×ＯＢ＝１ から

です。

▲図１．ＯＡ＝ｋ とすると、ＯＢ＝１/ｋ です

そこで、△ＯＰＢと△ＯＡＰ に注目すると、それぞれ、

と
ＯＡ：ＯＰ＝ｋ：１
になり、
ＯＰ：ＯＢ＝ＯＡ：ＯＰ
が成り立ちます。

また、∠ＰＯＢ＝∠ＡＯＰ なので、△ＯＰＢと△ＯＡＰにおいて、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなることから、△ＯＰＢ∽△ＯＡＰ を証明することができました。

次に（２）です。

図２のように、ＯＡ＝ｋ とすると、

で、ＰＢ＝ｌ とすると、△ＯＰＢ∽△ＯＡＰ から、ＰＡ＝ｋｌ になります。

▲図２．ＯＡ＝ｋ、ＰＢ＝ｌ として、ＯＢ、ＡＣ、ＢＣ、ＰＡをｋとｌで表しました

すると、
ＰＡ：ＰＢ＝ｋｌ：ｌ＝ｋ：１
で、一方、

から、
ＰＡ：ＰＢ＝ＡＣ：ＢＣ
が成り立ちます。

したがって、角の二等分線定理の逆から、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ を証明することができました。

最後の（３）です。

図３のように、△ＯＰＢと△ＯＡＰ の相似比をｋとすると、
ＰＢ：ＡＰ＝１：ｋ
で、このとき、△ＰＡＤは二等辺三角形なので、 ＡＰ＝ＤＰ から
ＰＢ：ＤＰ＝１：ｋ　　　　[１]
です。

▲図３．△ＯＰＢと△ＯＡＰ の相似比をｋとしました

また、

から

で、これと[１]から
ＰＢ：ＤＰ＝ＯＢ：ＱＯ　　　[２]
です。

一方、（２）から
∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ
で、さらに、直線ＰＱが∠ＡＰＤの二等分線であることから
∠ＡＰＱ＝∠ＤＰＱ
になり、したがって、
∠ＢＰＤ＝２∠ＣＰＱ　　　[３]
です。

このとき、∠ＣＰＱと∠ＣＯＱはそれぞれ弧ＣＱの円周角と中心角なので、
∠ＣＯＱ＝２∠ＣＰＱ
で、∠ＣＯＱ＝∠ＢＯＱから
∠ＢＯＱ＝２∠ＣＰＯ　　　[４]
です。

したがって、[３]と[４]から
∠ＢＰＤ＝∠ＢＯＱ
になり、これと[２]より、△ＤＰＢと△ＱＯＢ において、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなることから、△ＤＰＢ∽△ＱＯＢ を証明することができました。


簡単な問題です。

ｓｈａｐｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｍｙ　ｎａｍｅ　ｍｅａｎｓ　ｍｙ　ｓｈａｐｅ．
（わしの名前はわしの体形を表しているんじゃ）
という文があります。

この ｓｈａｐｅ を コンパスローズ英和辞典 で調べてみると、 類義語 の ｆｏｒｍ、ｆｉｇｕｒｅ との違いについて、
● ｓｈａｐｅ
　普通は具体的、個々のものに特有の形をいう
　
　Ｉｔ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｈａｐｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｅｔｔｅｒ　Ｓ．
　（それはＳ字形だ）

● ｆｏｒｍ
　最も一般的な語で、具体的あるいは抽象的のいずれを問わず、ある種類のもの全体に共通する形・形式をいう

　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｓ　ｐａｙ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｔｏ　ｆｏｒｍ．
　（建築家は形に気を配る）

● ｆｉｇｕｒｅ
　線や面で囲まれた図形や姿で、特にその輪郭に重点をおく場合に使う語

　ａ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｆｕｇｕｒｅ
　（幾何学的図形）
と解説しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く京大入試問題（６４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ａを奇数とし、整数ｍ、ｎに対して、
　　

とおく。　ｆ（ｍ，ｎ）が１６で割り切れるような整数の組（ｍ，ｎ）が存在するためのａの条件を求めよ。」
です。

ｍとｎの偶奇を調べると、
● ｍが偶数、ｎが偶数
ｆ（ｍ，ｎ）のすべての項が偶数になるので、ｆ（ｍ，ｎ）は偶数です

● ｍが偶数、ｎが奇数
ｆ（ｍ，ｎ）の

が奇数で、そのほかの項が偶数になるので、ｆ（ｍ，ｎ）は奇数です

● ｍが奇数、ｎが偶数
ｆ（ｍ，ｎ）の

が奇数で、そのほかの項が偶数になるので、ｆ（ｍ，ｎ）は奇数です

● ｍが奇数、ｎが奇数
ｆ（ｍ，ｎ）の＋８が偶数で、そのほかの３つの項が奇数になるので、ｆ（ｍ，ｎ）は奇数です
となることから、ｆ（ｍ，ｎ）が１６で割り切れるためには、ｍとｎはともに偶数でなければなりません。

そこで、
ｍ＝２ｋ　　（ｋは整数）
ｎ＝ ２ｌ　　 （ｌは整数）
とおき、これらをｆ（ｍ，ｎ）に代入すると、

になり、ｆ（ｍ，ｎ）が１６で割り切れるためには、

が４で割り切れなければならないことが判ります。

そこで再度、ｋとｌの偶奇を調べると、
● ｋが偶数、ｌが偶数
Ａのすべての項が偶数なので、Ａは偶数です

● ｋが偶数、ｌが奇数

が奇数で、そのほかの項が偶数なので、Ａは奇数です

● ｋが奇数、ｌが偶数

が奇数で、そのほかの項が偶数なので、Ａは奇数です

● ｋが奇数、ｌが奇数

の２つの項は奇数で、そのほかの項が偶数なので、Ａは偶数です
となることから、Ａが４で割り切れるためには、ｋとｌは、ともに偶数、またはともに奇数でなければなりません。

ここから、（１） ｋとｌがともに偶数の場合と（２）ｋとｌがともに奇数の場合に場合分けして調べましょう。

（１） ｋとｌがともに偶数の場合
ｋ＝２ｐ
ｌ＝２ｑ　（ｐ、ｑは整数）
とおき、これらをＡに代入すると、

になり、Ａは４の倍数ではありません。

（２） ｋとｌがともに奇数の場合
ｋ＝２ｐ＋１
ｌ＝２ｑ＋１　　（ｐ、ｑは整数）
とおき、これらをＡに代入すると、

になり、Ａが４で割り切れるためには、ａ＋１が４の倍数でなければなりません。

そこで、
ａ＋１＝４ｓ → ａ＝４ｓ－１
ｍ＝４ｔ＋２
ｎ＝４ｒ＋２　（ｓ、ｔ、ｒは整数）
とおき、これらをｆ（ｍ，ｎ）に代入すると、

になり、ｆ（ｍ，ｎ）を１６で割り切るｍ、ｎが存在することが判りました。

以上から、ｆ（ｍ，ｎ）が１６で割り切れるような整数の組（ｍ，ｎ）が存在するためのａの条件は、
「ａ＝４ｓ－１ （ｓは整数）」
で、これが答えです。

簡単な問題です。

ｐｕｔ ｔｏｇｅｔｈｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｙｏｕ　ｃａｎ　ｅｎｊｏｙ　ｐｕｔｔｉｎｇ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ａ　ｌｕｎｃｈ　ｏｆ　ｆｒｅｓｈ　ｆｏｏｄ， ｌｉｋｅ　ｍｅａｔ　ｐｉｅｓ， ｃｈｅｅｓｅ， ｂｒｅａｄ　ａｎｄ　ｃａｋｅｓ．
（ミートパイ、チーズ、パン、ケーキのような新鮮な食べ物で昼食を用意するのを楽しめます）
という文があります。

この ｐｕｔ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ を オックスフォード現代英英辞典 で調べてみると、
● ｔｏ　ｍａｋｅ　ｏｒ　ｐｒｅｐａｒｅ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｂｙ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｏｒ　ｃｏｌｌｅｃｔｉｎｇ　ｐａｒｔｓ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ
（その構成要素を組み立てたり集めたりして何かを作ったり準備したりすること）
と説明し、、例文として、
ｔｏ　ｐｕｔ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ａ　ｍｏｄｅｌ　ｐｌａｎｅ / ａｎ　ｅｓｓａｙ / ａ　ｍｅａｌ
（模型飛行機を作る / 小論文をまとめる / 食事の準備をする）

Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｗｅ　ｃａｎ　ｐｕｔ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ａ　ｖｅｒｙ　ｓｔｒｏｎｇ　ｃａｓｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｆｅｎｃｅ．
（我々は、被告側の確固たる主張を準備することができると考えている）
を挙げています。

また、 英語イディオム・句動詞大辞典 で調べてみると、
１　．．．を組み合わせる、 （一つに）まとめる
２　．．．を結婚させる、一緒にする
３　．．．を組み立てる；を編集する
４　（心の中で）．．．を考慮する、総合して考える；を合計する
５　《クリケット》（得点）をあげる
とありました。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「直角三角形ＡＢＣと正方形が図のように重なっている。

図に書き込まれている３つの数は、それぞれ斜線で塗られた３つの直角三角形の面積を表している。
このとき、

を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

図１のように、正方形の頂点をＤ、Ｅ、Ｆとし、直線ＢＣと直線ＤＥ、ＥＦとの交点をそれぞれＧとＨとします。

▲図１．正方形の頂点をＤ、Ｅ、Ｆとし、直線ＢＣと直線ＤＥ、ＥＦとの交点をそれぞれＧとＨとしました

ここで、△ＢＤＧ∽△ＨＥＧ∽△ＨＦＣで、これらの面積比が１：４：９であることから、これらの相似比は１：２：３になり、したがって、
ＢＤ：ＥＨ：ＨＦ＝１：２：３ → ＡＤ：ＡＢ＝５：６　　　　　　　（１）
ＤＧ：ＧＥ：ＦＣ＝１：２：３ → ＡＦ：ＡＣ＝３：６＝１：２　　　（２）
が成り立ちます。

このとき、四角形ＡＤＥＦは正方形なので、ＡＤ＝ＡＦが成り立ち、したがって、（１）と（２）はそれぞれ、
ＡＤ：ＡＢ＝５：６　　　　　　　　　　　　（３）
ＡＦ：ＡＣ＝ＡＤ：ＡＣ＝５：１０　　　　　（４）
になります。

最後に、（３）と（４）を組み合わせて、
ＡＤ：ＡＢ：ＡＣ＝５：６：１０
で、これから、
ＡＢ：ＡＣ＝６：１０＝３：５
です。

以上から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｍｏｖｅｍｅｎｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｔｈｅｉｒ　ｍｏｖｅｍｅｎｔｓ　ａｒｅ　ｓｈｏｗｎ　ｉｎ　ｍａｎｙ　ｗａｙｓ．
（それらの動きはたくさんの方法で描かれます）
という文があります。

この ｍｏｖｅｍｅｎｔ を 現代英語語法辞典 で調べてみると、 同じく、「運動、動き」の意の ｍｏｖｅ、ｍｏｔｉｏｎ との違いについて、

● ｍｏｖｅｍｅｎｔ
　通例、具体的な運動を指し、抽象的な意味で用いられることはまれである。ただし、芸術・文学作品などにおける動き・動的効果・リズムなどを意味する場合もある。具体的動きの意味では ｍｏｔｉｏｎ と交換して用いることができる。

　ｔｈｅ　ｐｅａｃｅ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ
　（平和運動）

　Ｗｉｔｈ　ａ　ｑｕｉｃｋ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ， Ｇｒａｄｙ　ｊｕｍｐｅｄ　ｆｏｒｗａｒｄ　ａｎｄ　ｓｈｏｖｅｄ　Ｂｒａｄ　ｂａｃｋｗａｒｄ．．．．Ｈｅ　ｊｅｒｋｅｄ　ｔｈｅ　ｒｅｉｎｓ， ｔｈｅ　ｓｕｄｄｅｎ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｏｒｓｅ　ａｌｍｏｓｔ　ｔｈｒｏｗｉｎｇ　Ｌｕｃｙａｎｎｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ．
　（すばやい身のこなしでグレイディは前に飛び出して行って、ブラッドを後ろに押し退けた。グレイディがぐいと手綱を引くと馬の急激な動きはもう少しでルーシーアンを地上に投げ落とすところだった）

● ｍｏｖｅ
　通例、運動や動きの始まり、また明らかに定まった目的・目標のある運動や動きに用いられる。

　Ｈｉｓ　ｇｒｅｅｎ　ｅｙｅｓ　ｆｏｌｌｏｗｅｄ　Ｃｉｓｓｙ’ｓ　ｅｖｅｒｙ　ｍｏｖｅ．
　（彼の嫉妬した目はシシーの一挙一動を追った）

● ｍｏｔｉｏｎ
　抽象的な運動や動きにも、具体的な運動や動きにも用いられる。

　ｔｈｉｓ　ｖｉｃｉｓｓｉｔｕｄｅ　ｏｆ　ｍｏｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｅｓｔ， ｗｈｉｃｈ　ｗｅ　ｃａｌｌ　ｌｉｆｅ
　（この流転と休止の移り変わり、それを人生と呼ぶ）

　ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｌａｎｅｔｓ
　（惑星の動き）
と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本数学オリンピック予選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「千の位と十の位が２であるような４桁の正の整数のうち、７の倍数はいくつあるか」
です。

早速、取り掛かりましょう。

Ｎ＝２０００＋１００ａ＋２０＋ｂ
とおいて、これを
Ｎ＝２０２０＋１００ａ＋ｂ
　＝（７×２８８＋４）＋（７×１４＋２）ａ＋ｂ
　＝７（２８８＋１４ａ）＋２ａ＋ｂ＋４
と変形します。

Ｎが７の倍数のとき、右辺の１項目は７の倍数なので、２ａ＋ｂ＋４が７の倍数になります。

ここで、
０≦ａ，ｂ≦９
から、
４≦２ａ＋ｂ＋４≦３１
で、したがって、
２ａ＋ｂ＋４＝７，１４，２１，２８
→ ２ａ＋ｂ＝３，１０，１７，２４
になります。

ここから、２ａ＋ｂの値で場合分けして調べます。

● ２ａ＋ｂ＝３ の場合
０≦ｂ＝３－２ａ≦９
から

です。

このとき、０≦ａ≦９から
０≦ａ≦１
になり、条件をみたすａ、ｂの組は２個です。

● ２ａ＋ｂ＝１０ の場合
０≦ｂ＝１０－２ａ≦９
から

です。

このとき、０≦ａ≦９から
１≦ａ≦５
になり、条件をみたすａ、ｂの組は５個です。

● ２ａ＋ｂ＝１７ の場合
０≦ｂ＝１７－２ａ≦９
から

です。

このとき、０≦ａ≦９から
４≦ａ≦８
になり、条件をみたすａ、ｂの組は５個です。

● ２ａ＋ｂ＝２４ の場合
０≦ｂ＝２４－２ａ≦９
から

です。

このとき、０≦ａ≦９から
８≦ａ≦９
になり、条件をみたすａ、ｂの組は２個です。

以上から、条件をみたす正の整数の個数は、
２＋５＋５＋２＝１４（個）
で、これが答えです。

簡単な問題です。

ｓｈｏｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１英語教科書の「いろいろな動作」に関する Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に、
ｔａｋｅ　ｏｆｆ　ｍｙ　ｓｈｏｅｓ
（靴を脱ぐ）
という言葉があります。

この ｓｈｏｅ を ウィズダム英和辞典 で引いてみたところ、 ｂｏｏｔ（長靴、ブーツ）との違いについて、

・くるぶしまで達しない短靴
（アメリカ英語）　（ｌｏｗ） ｓｈｏｅ
（イギリス英語）　ｓｈｏｅ

・くるぶしに達する靴
（アメリカ英語）　（ｈｉｇｈ） ｓｈｏｅ
（イギリス英語）　ｂｏｏｔ

・くるぶしを越える長靴
（アメリカ英語）　ｂｏｏｔ
（イギリス英語）　（ｈｉｇｈ） ｂｏｏｔ
と解説しています。

また、雨の日に履く「ゴム長」は、 オックスフォード現代英英辞典 によると、
・ゴム長
（アメリカ英語）　ｒｕｂｂｅｒ　ｂｏｏｔ
（イギリス英語）　ｗｅｌｌｉｎｇｔｏｎ
というようです。

▲ゴム長

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本ジュニア数学オリンピック本選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック本選の問題です。

問題は、
「ＡＢ＝ＡＣなる二等辺三角形ＡＢＣがある。Ｂから直線ＡＣへおろした垂線の足をＨとする。線分ＢＨ上の点ＤがＡＢ＝２ＢＤ、ＢＣ＝２ＣＤをみたしているとき∠ＢＣＤの大きさを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に問題の図を描きました。（ここで、

です）

▲図１．問題の図を描きました

まず、図２のように、∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＭとすると、△ＡＢＣは二等辺三角形なので、∠ＡＭＢ＝９０°、ＢＭ＝ＣＭになります。

▲図２．∠ＡＭＢ＝９０°、ＢＭ＝ＣＭです

このとき、円周角の定理の逆より、Ａ、Ｂ、Ｍ、Ｈは、辺ＡＢの中点Ｎを中心とする円の周上にあります。

すると、弧ＭＨの円周角は等しいことから、∠ＭＢＨ＝∠ＭＡＨで、したがって、∠ＢＡＭ＝∠ＭＢＨが成り立ちます。

ここで図３のように、Ｄから辺ＢＣにおろした垂線の足をＬとすると、
△ＡＢＭ∽△ＢＤＬ（∠ＢＡＭ＝∠ＤＢＬ、∠ＡＭＢ＝∠ＢＬＤ）
で、これから、
ＡＢ：ＢＭ＝ＢＤ：ＤＬ　　　（★）
が成り立ちます。

▲図３．ＡＢ：ＢＭ＝ＢＤ：ＤＬです

このとき、（★）と

から、

になり、したがって、

です。

最後に、△ＣＤＬに注目すると、

∠ＣＬＤ＝９０°
なので、∠ＤＣＬ＝３０°です。

以上から、∠ＢＣＤ＝３０° で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｗｅｅｋｅｎｄ のはなし（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｗｈａｔ　ａｒｅ　ｙｏｕ　ｇｏｉｎｇ　ｔｏ　ｄｏ　ｔｈｉｓ　ｗｅｅｋｅｎｄ？
（週末、何すんの）
という文があります。

この ｗｅｅｋｅｎｄ は 「週末」 という意味ですが、 これに関連して、「週初め」、「月初め」、「月末」、「年初め」 、「年末」 の表現を 英辞郎 で調べてみたところ、
● 週初め
　・ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｉｓ [ｌａｓｔ， ｎｅｘｔ， ｅａｃｈ]　ｗｅｅｋ

● 月初め
　・ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｎｔｈ
　・ｍｏｎｔｈ’ｓ　ｏｕｔｓｅｔ

● 月末
　・ｅｎｄ　ｏｆ　ｍｏｎｔｈ
　・ｍｏｎｔｈ-ｅｎｄ

● 年初め
　・ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｉｓ [ｌａｓｔ， ｎｅｘｔ]　ｙｅａｒ
　・ｅａｒｌｙ　ｔｈｉｓ　ｙｅａｒ（今年の初め）

● 年末
　・ｔｕｒｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｙｅａｒ
　・ｙｅａｒ’ｓ　ｅｎｄ
　・ｙｅａｒ-ｅｎｄ


などとありました。

ちなみに、 ｗｅｅｋｅｎｄ は、広告などで ｗｋｅｎｄ と短く表記されることもあるそうです。

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本数学オリンピック本選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本数学オリンピック本選の問題です。

問題は、
「
　
がともに整数となるような正の整数の組（ｍ，ｎ）をすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

とりあえず、

とすると、Ａが整数になるためには、

が必要です。

そこで、
ｎ＝２ｋ＋１　（ｋは非負整数）
とし、Ａ、Ｂに代入すると、

になります。

ここで、Ｂが整数になるように、

をみたすｍと正の整数ｌを考えると、ｌ≧１から

が成り立ち、これを整理すると、

になります。

また、Ａが整数になるためには、（１）から、

が必要で、これと（２）から

になります。

ここから、（３）を満たす非負整数ｋを調べていくと、（３）の両辺の値は、
・ ｋ＝０ のとき、左辺＝　２、　右辺＝　１
・ ｋ＝１ のとき、左辺＝　４、　右辺＝　２
・ ｋ＝２ のとき、左辺＝　８、　右辺＝　４
・ ｋ＝３ のとき、左辺＝１４、　右辺＝　８
・ ｋ＝４ のとき、左辺＝２２、　右辺＝１６
・ ｋ＝５ のとき、左辺＝３２、　右辺＝３２
・ ｋ＝６ のとき、左辺＝４４、　右辺＝６４
になり、０≦ｋ≦５ のとき（３）を満たし、ｋ＝６のとき（３）を満たしません。

さらに、ｋ＝ｊ（ｊ≧７の整数）のとき、（３）を満たさないとすると、

が成り立ち、この両辺に２を掛けて変形すると、

から、ｋ＝ｊ＋１のとき（３）を満たさず、このときｋ＝６で（３）を満たさないことから、ｋ≧６で（３）を満たしません。

したがって、（３）を満たすのは、０≦ｋ≦５ のときであることが判りました。

あとは、ｋの値で場合分けして調べればお仕舞です。

● ｋ＝０ の場合

で、条件を満たしません。

● ｋ＝１ の場合

・ｍ＝１ のとき

で、条件を満たし、（ｍ，ｎ）＝（１，３）です。
・ ｍ＝５ のとき

で、条件を満たしません。

● ｋ＝２ の場合

・ｍ＝１のとき

で、条件を満たしません。
・ｍ＝１３ のとき

で、条件を満たしません。

● ｋ＝３ の場合

・ｍ＝１ のとき

で、条件を満たしません。
・ｍ＝５ のとき

で、条件を満たしません。
・ｍ＝２５ のとき

で、条件を満たしません。

● ｋ＝４ の場合

・ｍ＝１ のとき

で、条件を満たしません。
・ｍ＝４１ のとき

で、条件を満たしません。

● ｋ＝５ の場合

・ｍ＝１ のとき

で、条件を満たしません。
・ｍ＝６１ のとき

で、条件を満たし、（ｍ，ｎ）＝（６１，１１）です。

以上から、与えられた２つの式がともに整数となる正の整数の組（ｍ，ｎ）は （１，３）、（６１，１１） で、これが答えです。

さすがに数学オリンピックの本選の問題は、問１とはいえ、難しいですね。（予選の問１１、１２も難しいですけど）