こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、前回の平成２１年度京大入試問題（前期、理系）のつづきです。
問題は、
「平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点Ｐをとり、Ａ’をＢ、Ｃ、Ｐを通る円の中心、Ｂ’をＣ、Ａ、Ｐを通る円の中心、Ｃ’をＡ、Ｂ、Ｐを通る円の中心とする。このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるための必要十分条件はＰが△ＡＢＣの内心に一致することであることを示せ。」
です。
前回は、（１）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるとき、Ｐが△ＡＢＣの内心に一致することを示したので、今回はその逆の（２）Ｐが△ＡＢＣの内心に一致するとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるを示します。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’の６個の点から４点を選んで四角形をつくり、その四角形の対角の和が１８０°になることを示すことにしましょう。
下図のように、四角形ＡＢＡ’Ｃを調べます。
▲図．四角形ＡＢＡ’Ｃを調べます
ここで、Ｐは△ＡＢＣの内心なので、
∠ＣＢＰ＝１/２∠Ｂ ［１］
∠ＢＣＰ＝１/２∠Ｃ ［２］
です。
また、弧ＢＰの中心角∠ＢＡ’Ｐは、その円周角∠ＢＣＰの２倍なので、
∠ＢＡ’Ｐ＝２∠ＢＣＰ
で、［２］から
∠ＢＡ’Ｐ＝∠Ｃ ［３］
になります。
同様に、弧ＣＰの中心角∠ＣＡ’Ｐは、その円周角∠ＣＢＰの２倍なので、
∠ＣＡ’Ｐ＝２∠ＣＢＰ
で、［１］から
∠ＣＡ’Ｐ＝∠Ｂ ［４］
になります。
したがって、四角形ＡＢＡ’Ｃの対角の和∠Ａ＋∠Ａ’は、
∠Ａ＋∠Ａ’＝∠Ａ＋∠ＣＡ’Ｐ＋∠ＢＡ’Ｐ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°
になり、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’は同一円周上にあることが判りました。
四角形ＢＣＢ’Ａ、四角形ＣＡＣ’Ｂについても同様で、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｂ’と４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｃ’は同一円周上にあります。
ここで、同一円周上にある３組の４点を調べると、それぞれの組合せのなかにＡ、Ｂ、Ｃが含まれているので、３つの円は同じ円になり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’は同一円周上にあります。
以上から、Ｐが△ＡＢＣの内心に一致するとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあることを示すことができました。
簡単な問題です。
今回は、前回の平成２１年度京大入試問題（前期、理系）のつづきです。
問題は、
「平面上の鋭角三角形△ＡＢＣの内部（辺や頂点は含まない）に点Ｐをとり、Ａ’をＢ、Ｃ、Ｐを通る円の中心、Ｂ’をＣ、Ａ、Ｐを通る円の中心、Ｃ’をＡ、Ｂ、Ｐを通る円の中心とする。このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるための必要十分条件はＰが△ＡＢＣの内心に一致することであることを示せ。」
です。
前回は、（１）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるとき、Ｐが△ＡＢＣの内心に一致することを示したので、今回はその逆の（２）Ｐが△ＡＢＣの内心に一致するとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあるを示します。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’の６個の点から４点を選んで四角形をつくり、その四角形の対角の和が１８０°になることを示すことにしましょう。
下図のように、四角形ＡＢＡ’Ｃを調べます。
▲図．四角形ＡＢＡ’Ｃを調べます
ここで、Ｐは△ＡＢＣの内心なので、
∠ＣＢＰ＝１/２∠Ｂ ［１］
∠ＢＣＰ＝１/２∠Ｃ ［２］
です。
また、弧ＢＰの中心角∠ＢＡ’Ｐは、その円周角∠ＢＣＰの２倍なので、
∠ＢＡ’Ｐ＝２∠ＢＣＰ
で、［２］から
∠ＢＡ’Ｐ＝∠Ｃ ［３］
になります。
同様に、弧ＣＰの中心角∠ＣＡ’Ｐは、その円周角∠ＣＢＰの２倍なので、
∠ＣＡ’Ｐ＝２∠ＣＢＰ
で、［１］から
∠ＣＡ’Ｐ＝∠Ｂ ［４］
になります。
したがって、四角形ＡＢＡ’Ｃの対角の和∠Ａ＋∠Ａ’は、
∠Ａ＋∠Ａ’＝∠Ａ＋∠ＣＡ’Ｐ＋∠ＢＡ’Ｐ＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°
になり、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’は同一円周上にあることが判りました。
四角形ＢＣＢ’Ａ、四角形ＣＡＣ’Ｂについても同様で、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｂ’と４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｃ’は同一円周上にあります。
ここで、同一円周上にある３組の４点を調べると、それぞれの組合せのなかにＡ、Ｂ、Ｃが含まれているので、３つの円は同じ円になり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’は同一円周上にあります。
以上から、Ｐが△ＡＢＣの内心に一致するとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ａ’、Ｂ’、Ｃ’が同一円周上にあることを示すことができました。
簡単な問題です。