２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「ＡＢ＝ＣＤ＝７、ＤＡ＝６、∠Ｂ＝７２°、∠Ｃ＝４８° をみたす凸四角形ＡＢＣＤがある。対角線ＡＣ、ＢＤの中点をそれぞれＰ、Ｑとするとき、線分ＰＱの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に問題の図を描きました。

▲図１．問題の図を描きました

① ＰとＱがそれぞれＡＣ、ＢＤの中点なので、ＢＣの中点をとる
か、
② ∠Ｂ＋∠Ｃ＝７２°＋４８°＝１２０° なので、内角の一つが６０°の三角形をつくる
かのどちらかですが（どちらでも解けます）、ここは①のほうが明快です。

そこで図２のように、ＢＣの中点をＲとし、ＰとＲ、ＱとＲをそれぞれ直線で結びます。

▲図２．ＢＣの中点をＲとしました

このとき△ＣＡＢにおいて、ＣＰ＝ＰＡ、ＣＲ＝ＲＢなので中点連結定理から、

です。

さらに△ＢＣＤにおいて、ＢＱ＝ＱＤ、ＢＲ＝ＲＣなので中点連結定理から、

で、このとき（２）と（４）から、
ＰＲ＝ＱＲ　　　　　　　　（５）
が成り立ちます。

また、平行線の同位角は等しいので、（１）と（３）からそれぞれ
∠ＰＲＣ＝７２°
と
∠ＱＲＢ＝４８°
になり、したがって、
∠ＰＲＱ＝１８０°－∠ＰＲＣ－∠ＱＲＢ
　　　　＝１８０°－７２°－４８°
　　　　＝６０°　　　　　　（６）
です。

すると（５）と（６）から、△ＰＱＲは正三角形になり、したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｐａｓｓｉｏｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉｔ　ｒｅｍｉｎｄｅｄ　ｍｅ　ｏｆ　ｍｙ　ｐａｓｓｉｏｎ， ｓｏ　Ｉ　ｊｏｉｎｅｄ　ａ　ｖｏｌｕｎｔｅｅｒ　ｇｒｏｕｐ．
（それを見て、（自分が医者になった）強い思いがよみがえりました。だからボランティアのグループに参加したのです）
という文があります。

この ｐａｓｓｉｏｎ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 類義語 の ｅｍｏｔｉｏｎ、ｆｅｅｌｉｎｇ、ｓｅｎｔｉｍｅｎｔ との違いについて、
● ｐａｓｓｉｏｎ
　愛憎･怒り、時に物事に対する熱意など、理性を通り越すほどの激しい感情をいう

　Ｈｅ　ｉｓ　ａ　ｍａｎ　ｏｆ　ｖｉｏｌｅｎｔ　ｐａｓｓｉｏｎ．
　（彼は激情家だ）

● ｅｍｏｔｉｏｎ
　人の個性の一部ともなる喜怒哀楽などの人間の強い感情を表し、しばしばそれを抑制したり表出したりする対象としてとらえられる

　Ｈｅ　ｌｏｓｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｈｉｓ　ｅｍｏｔｉｏｎｓ．
　（彼は感情を抑えられなくなった）

● ｆｅｅｌｉｎｇ
　反応としての喜怒の感情や理性では抑えられない感情をいう

　Ｉ’ｖｅ　ｇｏｔ　ａ　ｔｉｇｈｔ　ｆｅｅｌｉｎｇ　ｉｎ　ｍｙ　ｓｔｏｍａｃｈ．
　（胃が締め付けられるような感じがする）

● ｓｅｎｔｉｍｅｎｔ
　堅い語で、特定の物事に対する意見や感情を表すが、個人より集団について用いられることが多い.。日常英語では ｆｅｅｌｉｎｇ の方が普通

　Ｐｕｂｌｉｃ　ｓｅｎｔｉｍｅｎｔ　ｉｓ　ａｇａｉｎｓｔ　ａｎｙ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｌａｗ．
　（世論はその法律のいかなる改正にも反対です）
と説明しています。（例文は オックスフォード現代英英辞典からです）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く京大入試問題（６５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度京大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「正の整数ａに対して、
　　
の形に書いたとき、Ｂ（ａ）＝ｂ と定める。例えば、
　　
である。

ｍ、ｎは整数で、次の条件を満たすとする。
（ｉ）　　　１≦ｍ≦３０
（ｉｉ）　　１≦ｎ≦３０
（ｉｉｉ）　ｎは３で割り切れない

このようなｆ（ｍ，ｎ）について、
　　
とするとき、
　　Ａ（ｍ，ｎ）＝Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））
の最大値を求めよ。また、Ａ（ｍ，ｎ）の最大値を与えるような（ｍ，ｎ）をすべて求めよ。」
です。

ｍとｎがどのようなときにｆ（ｍ，ｎ）が３の倍数になるかを調べていけばよさそうです。

・ ｍが３の倍数、つまり、ｍ＝３ｋ（ｋは整数）の場合は、

は３の倍数なので、

が３の倍数、つまり、ｎ＝３ｌ－１（ｌは整数）のとき[（ｉｉｉ）からｎは３の倍数でありません]、ｆ（ｍ，ｎ）は３の倍数になり、その他の場合は、Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））＝０ です。

・ ｍが３で割って１余る整数、つまり、ｍ＝３ｋ＋１の場合は、

は３で割って１余る整数なので、

が３で割って２余る整数、つまり、ｎ＝３ｌ＋１のとき、ｆ（ｍ，ｎ）は３の倍数になり、その他の場合は、Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））＝０ です。

・ ｍが３で割って２余る整数、つまり、ｍ＝３ｋ－１の場合は、

は３で割って２余る整数なので、

が３で割って１余る整数のとき、ｆ（ｍ，ｎ）は３の倍数になりますが、

を３で割った余りは０または２で、１にはなりません。したがって、ｆ（ｍ，ｎ）は３の倍数にならず、Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））＝０ です。

以上から、ｆ（ｍ，ｎ）が３の倍数になるのは、
[１] ｍ＝３ｋ、ｎ＝３ｌ－１の場合
または
[２] ｍ＝３ｋ＋１、ｎ＝３ｌ＋１の場合
で、ここからそれぞれの場合について、さらに９、２７、・・・の倍数になる条件を調べていきましょう。

[１] ｍ＝３ｋ、ｎ＝３ｌ－１の場合
ｆ（ｍ，ｎ）に、ｍ＝３ｋ、ｎ＝３ｌ－１を代入して整理すると、

で、このとき（１）の右辺の{　　}が３の倍数になるのは、ｌ＝３ｒ＋１（ｒは整数）の場合で、その他の場合はＢ（ｆ（ｍ，ｎ））＝１ です。

そこで（１）に、ｌ＝３ｒ＋１を代入して整理すると、

で、このとき（２）の右辺の{　　}が３の倍数になるのは、ｒ＝３ｓ＋１（ｓは整数）の場合で、その他の場合はＢ（ｆ（ｍ，ｎ））＝２ です。

このとき、
ｎ＝３ｌ－１
　＝３（３ｒ＋１）－１
　＝９ｒ＋２
　＝９（３ｓ＋１）＋２
　＝２７ｓ＋１１
で、すると（ｉｉ）から
０≦２７ｓ＋１１≦３０
になり、したがって、
ｓ＝０ → ｎ＝１１
です。

ここで ｆ（ｍ，ｎ）に、ｍ＝３ｋ、ｎ＝１１を代入して整理すると、

で、このとき（３）の右辺の（　　）が３の倍数になるのは、ｋ＝３ｔ＋１（ｔは整数）の場合で、その他の場合はＢ（ｆ（ｍ，ｎ））＝３ です。

そこで（３）に ｋ＝３ｔ＋１を代入して整理すると、

で、（４）の右辺の{　　}は３の倍数ではないので、Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））＝４ です。

このとき、
ｍ＝３ｋ
　＝３（３ｔ＋１）
　＝９ｔ＋３
で、すると（ｉ）から
０≦９ｔ＋３≦３０
になり、したがって、
ｔ＝０，１，２，３ → ｍ＝３，１２，２１，３０
です。

[２] ｍ＝３ｋ＋１、ｎ＝３ｌ＋１の場合
ｆ（ｍ，ｎ）に、ｍ＝３ｋ＋１、ｎ＝３ｌ＋１を代入して整理すると、

で、このとき（５）の右辺の{　　}は３の倍数でないので、Ｂ（ｆ（ｍ，ｎ））＝１ です。

以上から、Ａ（ｍ，ｎ）の最大値は ４ になり、これを与える（ｍ，ｎ）は （３，１１）、（１２，１１）、（２１，１１）、（３０，１１） で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｐａｇｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｅｍｍａ　ｉｓ　ｗａｔｃｈｉｎｇ　ｂｉｒｄｓ　ｏｎ　ｐａｇｅ　５２．
（エマは５２ページに載っている鳥を見ています）
という文があります。

この ｐａｇｅ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、 ｐａｇｅ を伴う言い回し について、
● Ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ / ｌａｓｔ / ｎｅｘｔ ｅｔｃ　ｐａｇｅ：
　Ｔｈｅ　ａｎｓｗｅｒ　ｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｐａｇｅ．
× Ｔｈｅ　ａｎｓｗｅｒ　ｉｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｐａｇｅ．
⇒ ・ ｉｎ ではなく ｏｎ

● Ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｉｓ　ｏｎ　ｐａｇｅ　１/１０ ｅｔｃ：
　Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｎ　ｐａｇｅ　３５．
× Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐａｇｅ　３５．
× Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｄｉａｇｒａｍ　ｉｎ　ｐａｇｅ　３５．
⇒ ・ ｔｈｅ を付けない
　 ・ ｉｎ ではなく ｏｎ
と説明しています。

また、 ウィズダム英和辞典 には、 書き方 と 読み方 について、
● 書き方
ｐａｇｅ　２５[ｐ．２５]、 Ｐａｇｅ　２５[Ｐ．２５] のいずれでもよいが 小文字の方が多く用いられる

● 読み方
・ ｐ．８９ のように ２桁まで なら ｐａｇｅ　ｅｉｇｈｔｙ－ｎｉｎｅ とそのまま読む
・ ｐ．１２５ のように ３桁以上 なら ｐａｇｅ　ｏｎｅ[ｈｕｎｄｒｅｄ]　ｔｗｅｎｔｙ-ｆｉｖｅ、または ｐａｇｅ　ｏｎｅ-ｔｗｏ-ｆｉｖｅ と読む
・ ｐ．１０５ のような場合の ０ は /ｏｕ/ と読む
とあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

中学生でも手が届く東大入試問題（４５）（つづき）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、前回に取り上げた令和２年度東大入試問題（前期、文系）のつづきです。

問題は、
「座標平面上に８本の直線
　　ｘ＝ａ　（ａ＝１，２，３，４）、　ｙ＝ｂ　（ｂ＝１，２，３，４）
がある。以下、１６個の点
　　（ａ，ｂ）　（ａ＝１，２，３，４、　ｂ＝１，２，３，４）
から異なる５個の点を選ぶことを考える。

（１） 次の条件を満たす５個の点の選び方は何通りあるか。

　　上の８本の直線のうち、選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある。

（２） 次の条件を満たす５個の点の選び方は何通りあるか。

　　上の８本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも１個含む。」
です。

前回、（１）で、選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある選び方を求めたので、（２）では、
　（いずれも選んだ点を少なくとも１個含む）
＝（１６交点からの５点の選び方）
－（選んだ点を１個も含まないものがちょうど１本ある選び方）
－（選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある選び方）
－（選んだ点を１個も含まないものがちょうど３本ある選び方）
を使って勘定しましょう。（このとき、選んだ点を１個も含まないものがちょうど４本以上ある選び方は０通りです）　　　　　　　　

まず、 １６交点からの５点の選び方 は、
16Ｃ5＝４３６８（通り）
です。

次に、 選んだ点を１個も含まないものがちょうど１本ある選び方 を勘定します。

Ｘｉ、Ｙｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）からの１直線の選び方は８通りで、この１直線をＸ1とすると、図６のように、Ｘi（i＝2，3，4）とＹｊ（ｊ＝1，2，3，4）との１２交点から５点選ぶことになります。

▲図６．緑で囲った１２交点から５点を選びます

ここでＹｊ（ｊ＝1,2,3,4）の交点は、４本のそれぞれの直線について、少なくとも１点が選ばれなければならないので、Ｙｊ（ｊ＝1,2,3,4）の３直線から１点が選ばれ、残りの１直線から２点が選ばれることになります。

このとき、Ｙｊ（ｊ＝1,2,3,4）のうち、２点が選ばれる１直線の選び方は４通りで、その直線上の３交点からの２点の選び方は
3Ｃ2＝３（通り）
です。

そこで図７ように、Ｙ1とＸ2、Ｘ3の２交点を選んだとします。

▲図７．Ｙ1とＸ2、Ｘ3の２交点を選んだとしました

このとき、Ｘ4上の３交点のなかから１点以上選ばなければならず、そこで、ここから
[１] Ｘ4から１点を選ぶ場合
[２] Ｘ4から２点を選ぶ場合
[３] Ｘ4から３点を選ぶ場合
に場合分けして調べます。

[１] Ｘ4から１点を選ぶ場合
Ｘ4上の３交点からの１点の選び方は
3Ｃ1＝３（通り）
で、この点をＸ4とＹ2との交点とすると、図８のようになります。

▲図８．[１]の場合の例です

すると、Ｙ3、Ｙ4上の点の選び方はそれぞれ２通りなので、[１]の選び方は、
３×２×２＝１２(通り）
です。

[２] Ｘ4から２点を選ぶ場合
Ｘ4上の３交点からの２点の選び方は
3Ｃ2＝３（通り）
で、これらの点をＸ4とＹ2、Ｘ4とＹ3との交点とすると、図９のようになります。

▲図９．[２]の場合の例です

すると、Ｙ4上の点の選び方は２通りなので、[２]の選び方は、
３×２＝６(通り）
です。

[３] Ｘ4から３点を選ぶ場合
Ｘ4上の３交点からの３点の選び方は
3Ｃ3＝１（通り）
で、これらの点をＸ4とＹｊ（ｊ＝２．３．４）との交点とすると、図１０のようになります。

▲図１０．[３]の場合の例です

このとき、[３]の選び方は１通りです。

以上から、[１]、[２]、[３]を合わせた選び方は、
１２＋６＋１＝１９（通り）
で、したがって、 選んだ点を１個も含まないものがちょうど１本ある選び方 は、
１９×３×４×８＝１８２４（通り）
です。

次に、 選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある選び方 ですが、これは前回求めた １８２４通り です。

最後に、 選んだ点を１個も含まないものがちょうど３本ある選び方 を勘定します。

ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のいずれか一方から３直線を選んだ場合、図１１に示すように、残りの交点は４個になり、５点を選ぶことはできません。

▲図１１．ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のいずれか一方から３直線を選ぶ場合の例です

一方、ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のいずれか一方から１直線と他方から２直線を選ぶ場合、この選び方は、
4Ｃ1×4Ｃ2×２＝４８（通り）
で、これらの直線をＸ1、Ｙ1、Ｙ2とすると、図１２のようになります。

▲図１２．ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のいずれか一方から１直線と他方から２直線を選ぶ場合の例です

すると、Ｘｉ（ｉ＝２．３．４）とＹｊ（ｊ＝３，４）の交点は６個で、このなかから５点を選ぶことになり、このとき、どの５点を選んでも、Ｘｉ（ｉ＝２．３．４）とＹｊ（ｊ＝３，４）上に少なくとも１点あることになります。

したがって、ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のいずれか一方から１直線と他方から２直線を選ぶ場合の選び方は、
6Ｃ5＝６（通り）
です。

以上から、選んだ点を１個も含まないものがちょうど３本ある選び方 は、
６×４８＝２８８（通り）
になります。

これですべての場合の勘定が終わりました。それをまとめると、
・ １６交点からの５点の選び方　　　　　　　　　　　　　　：　４３６８通り
・ 選んだ点を１個も含まないものがちょうど１本ある選び方　：　１８２４通り
・ 選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある選び方　：　１８２４通り
・ 選んだ点を１個も含まないものがちょうど３本ある選び方　：　　２８８通り
で、これらから、
（いずれも選んだ点を少なくとも１個含む）＝４３６８－１８２４－１８２４－２８８＝ ４３２（通り）
で、これが答えです。

長くなりましたが、計算の中身は単純です。

中学生でも手が届く東大入試問題（４５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「座標平面上に８本の直線
　　ｘ＝ａ　（ａ＝１，２，３，４）、　ｙ＝ｂ　（ｂ＝１，２，３，４）
がある。以下、１６個の点
　　（ａ，ｂ）　（ａ＝１，２，３，４、　ｂ＝１，２，３，４）
から異なる５個の点を選ぶことを考える。

（１） 次の条件を満たす５個の点の選び方は何通りあるか。

　　上の８本の直線のうち、選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある。

（２） 次の条件を満たす５個の点の選び方は何通りあるか。

　　上の８本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも１個含む。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、ｘ＝１，２，３，４の直線をそれぞれＸ1、Ｘ2、Ｘ3、Ｘ4とし、ｙ＝１，２，３，４の直線をそれぞれＹ1、Ｙ2、Ｙ3、Ｙ4として、それらの直線の９交点から５点選ぶことを考えます。

▲図１．直線をＸ1、Ｘ2、Ｘ3、Ｘ4、Ｙ1、Ｙ2、Ｙ3、Ｙ4としました

選んだ点を１個も含まない直線が２本あるとき、それらの直線の選び方は、
[１] ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のどちらかが２本ある場合
または
[２] ＸｉとＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）の両方が１本ずつある場合
のいずれかで、ここから[１]と[２]のそれぞれの場合を調べます。

[１] ＸｉまたはＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）のどちらかが２本ある場合
Ｘｉ（i=1,2,3,4）の２本の選び方は、
4Ｃ2＝６（通り）
で、これらの２直線をＸ1とＸ2とすると、図２のように、Ｘi（i＝3,4）とＹｊ（ｊ＝1,2,3,4）との８交点から５点選ぶことになります。

▲図２．緑色で囲った８交点から５点選びます

ここでＹｊ（ｊ＝1,2,3,4）の交点は、４本のそれぞれの直線について、少なくとも１点が選ばれなければならないので、Ｙｊ（ｊ＝1,2,3,4）の３直線から１点が選ばれ、残りの１直線から２点が選ばれることになります。

このとき、Ｙｊ（ｊ＝1,2,3,4）のうち、２点が選ばれる１直線の選び方は４通りで、残りの３直線からの１点の選び方はそれぞれ２通りなので、
２×２×２＝８(通り）
になります。

したがって、Ｘｉ（i＝1,2,3,4）のうちの２直線に、選ばれた点がない場合の５点の選び方は、
６×４×８＝１９２(通り）
で、これはＹｊ（ｊ＝1,2,3,4）うちの２直線を選んだ場合も同様なので、[１]の選び方は、
１９２×２＝３８４（通り）
です。

[２] ＸｉとＹｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３，４）の両方が１直線ずつある場合
ＸｉとＹｊ（i,ｊ＝1,2,3,4）の選び方は
４×４＝１６（通り）
で、このときＸ1とＹ1を選んだとすると、図３のように、ＸｉとＹｊ（i,ｊ＝2,3,4）との９交点から５点を選ぶことになります。

▲図３．緑色で囲った９交点から５点選びます

ここでＹｊ（ｊ＝2,3,4）上のそれぞれの３交点から少なくとも１点ずつが選ばれなければならないので、Ｙｊ（ｊ＝2,3,4）のうち、
① ２直線から１点を選び、残りの１直線から３点を選ぶ場合
または
② １直線から１点を選び、残りの２直線からそれぞれ２点を選ぶ場合
のいずれかで、ここから①と②のそれぞれの場合を調べます。

① ２直線から１点を選び、残りの１直線から３点を選ぶ場合
３点を選ぶ直線の選び方は３通りで、残りの２直線から１点を選ぶ選び方はそれぞれ３通りなので、
３×３×３＝２７（通り）
になります。

② １直線から１点を選び、残りの２直線からそれぞれ２点を選ぶ場合
１点を選ぶ直線の選び方は３通りで、残りの２直線から２点を選ぶ選び方は、
（ｉ） 同じＸｉ（i＝2,3,4）上に２点がある場合
または
（ｉｉ）同じＸｉ（i＝2,3,4）上に１点がある場合
のいずれかで、ここから（i）と（ii）のそれぞれの場合を調べます。

（ｉ） 同じＸｉ（i＝2,3,4）上に２点がある場合
図４に（Ｉ）の場合の例を示します。

▲図４．（ｉ）の場合の例です

２点を選ぶ直線をＹ2とＹ3とすると、それらの２直線上のそれぞれの２点は互いに同じＸi（i＝2,3,4）上の点になるので、Ｙ2とＹ3上の２点の選び方は
3Ｃ2＝３（通り）
で、このとき、残りの１直線（Ｙ4）からの１点の選び方は１通りなので、（ｉ）の５点の選び方は、
３×１＝３(通り）
です。

（ｉｉ）同じＸｉ（i＝2,3,4）上に１点がある場合
図５に（ｉｉ）の場合の例を示します。

▲図５．（ｉｉ）の場合の例です

２点を選ぶ直線をＹ2とＹ3とすると、それらの２直線上のそれぞれの２点は互いに１点だけ同じＸi（i＝2,3,4）上の点になるので、Ｙ2とＹ3上の２点の選び方は
3Ｃ2×2Ｃ1＝６（通り）
で、さらに残り１直線（Ｙ4）からの１点の選び方は
3Ｃ1＝３（通り）
なので、、（ｉｉ）の５点の選び方は、
３×６＝１８（通り）
です。

したがって、（ｉ）と（ｉｉ）を合わせて
３＋１８＝２１（通り）
で、②の５点の選び方は、
２１×３＝６３（通り）
です。

これらから①と②合わせて、
２７＋６３＝９０（通り）
になり、したがって[２]の選び方は、
９０×１６＝１４４０（通り）
です。

以上から、８本の直線のうち、選んだ点を１個も含まないものがちょうど２本ある５点の選び方は、[１]と[２]を合わせて、
３８４＋１４４０＝１８２４（通り）
になり、これが（１）の答えです。


長くなったので、（２）は次回にします。

ｓｋｉｅｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｔｈｅ　ｉｓｌａｎｄｓ　ｈａｖｅ　ｃｌｅａｒ　ａｎｄ　ｄａｒｋ　ｓｋｉｅｓ　ａｔ　ｎｉｇｈｔ．
（（小笠原）諸島の夜空は澄み渡っていて、そして真っ暗です）
という文があります。

この ｓｋｉｅｓ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、 単数形 の ｓｋｙ との違いについて、
・ [ｓｉｎｇｕｌａｒ，Ｕ] ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ａｂｏｖｅ　ｔｈｅ　Ｅａｒｔｈ　ｗｈｅｒｅ　ｃｌｏｕｄｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｓｕｎ　ａｎｄ　ｓｔａｒｓ　ａｐｐｅａｒ
（単数形、不可算名詞、雲、太陽、星が現れる上空の空間）

　Ｔｈｅ　ｓｋｙ　ｇｒｅｗ　ｄａｒｋ， ａｎｄ　ａ　ｃｏｌｄ　ｒａｉｎ　ｂｅｇａｎ　ｔｏ　ｆａｌｌ．
　（空が暗くなり冷たい雨が降る始めた）

・ [ｐｌｕｒａｌ] ａ　ｗｏｒｄ　ｍｅａｎｉｎｇ　‘ｓｋｙ’， ｕｓｅｄ　ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｗｈｅｎ　ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ　ｔｈｅ　ｗｅａｔｈｅｒ　ｏｒ　ｗｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｋｙ　ｌｏｏｋｓ　ｌｉｋｅ　ｉｎ　ａ　ｐｌａｃｅ
（複数形、ｓｋｙの意で、特に天気やある場所での空の様子を言い表すときに用いられる）

　Ｔｈｅ　ｓｋｉｅｓ　ｗｅｒｅ　ｏｖｅｒｃａｓｔ， ａｎｄ　ｉｔ　ｗａｓ　ｃｈｉｌｌｙ　ａｎｄ　ｄａｍｐ．
　（空は雲で覆われて、肌寒くじっとりしていた）
と説明しています。

また、 「続日本人の英語」（マーク・ピーターセン著）のなかの 「複数の青空」 の項に、アメリカの作曲家 アーヴィン・バーリン が１９２７年に ｓｋｙ を 可算名詞 として使って作曲した “Ｂｌｕｅ　Ｓｋｉｅｓ” という作品の話が載っています。

その曲の冒頭は、
♬ Ｂｌｕｅ　ｓｋｉｅｓ　ｓｍｉｌｉｎｇ　ａｔ　ｍｅ，
　Ｎｏｔｈｉｎｇ　ｂｕｔ　ｂｌｕｅ　ｓｋｉｅｓ　ｄｏ　Ｉ　ｓｅｅ．
　・・・
　（青空が微笑みかける、見えるのは青空だけ・・・）
というもので、 時間の流れを意識してｓｋｙを 複数形 にしたことによって 「同じ青空でも、毎朝新しい空が生まれてくる」 という気持ちを何気なく表していると解説しています。

教科書の文では、星がよく見えてそれらの動きで時間とともに変わっていく小笠原の美しい夜空をイメージするといいかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（９）[都立国立高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立国立高の問題です。

問題は、
「下の図１において、△ＡＢＣは、∠ＢＡＣが鈍角で、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。

▲図１．問題図（１）

辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとする。
点Ｐは線分ＣＮ上にある点で、頂点Ｃと点Ｎのいずれにも一致しない。
点Ｑは線分ＡＢを直径とする円と直線ＰＭとの交点のうちＭと異なる点である。

次の各問に答えよ。

[問１] 下の図２は、図１において、点Ｍと点Ｌ、点Ｌと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図２．問題図（２）

∠ＭＬＱ＝９６° のとき、∠ＡＰＭの大きさは何度か。

[問２] 下の図３は、図１において、直線ＰＱと直線ＡＢとの交点をＲとし、点Ｌと点Ｑ、点Ｍと点Ｎをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図３．問題図（３）

次の（１）、（２）に答えよ。

（１） ∠ＰＭＣ＝∠ＰＭＮであるとき、
　　△ＣＰＭ∽△ＬＱＲ
であることを次のように証明した。
『　　　』の部分では、∠ＰＣＭ＝∠ＱＬＲを示している。
『　　　』に当てはまる証明の続きを解答欄に書き、この証明を完成させなさい。

[証明]
△ＣＰＭと△ＬＱＲにおいて

はじめに、∠ＰＭＣ＝∠ＱＲＬであることを示す。
仮定より、
　∠ＰＭＣ＝∠ＰＭＮ　・・・①
また、△ＡＢＣにおいて点Ｍと点Ｎはそれぞれ辺ＢＣ、辺ＡＣの中点である。
したがって、中点連結定理より
　ＭＮ//ＡＢ
よって
　ＭＮ//ＡＲ
平行線の同位角は等しいので、
　∠ＰＭＮ＝∠ＱＲＬ　・・・②
①、②より
　∠ＰＭＣ＝∠ＱＲＬ　・・・（ア）

『次に、∠ＰＣＭ＝∠ＱＬＲであることを示す。
ここで、∠ＰＭＣ＝∠ａとおく。

　　（ここを埋める）

したがって、
　∠ＰＣＭ＝∠ＱＬＲ　・・・（イ）』

（ア）、（イ）より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　△ＣＰＭ∽△ＬＱＲ　[終]

（２） 図３において、ＣＰ＝ＰＮ、∠ＢＡＣ＝１２０°、ＡＢ＝８ｃｍ であるとき、線分ＰＲは何ｃｍか。」
です。

図４に与えられた条件を書き入れました。

▲図４．与えられた条件を書き入れました

ここで、△ＬＭＱは二等辺三角形なので、

です。

また△ＡＢＣにおいて、点Ｌ、点Ｍはそれぞれぞれ辺ＡＢ、辺ＢＣの中点なので、中点連結定理により、ＡＣ//ＬＭで、このとき、平行線の同位角は等しいことから∠ＡＰＭ＝∠ＬＭＱ＝ ４２° で、これが[問１]の答えです。

次に[問２]の（１）です。

∠ＰＭＣ＝∠ａ（●）とおくと図５のようになります。

▲図５．いくつかの角を∠ａ（●）で示しました

『∠ＰＭＣ＝∠ＰＭＮ＝∠ａ
から
∠ＣＭＮ＝２∠ａ　・・・③
また、、ＭＮ//ＡＢで平行線の同位角は等しいので、
∠ＣＭＮ＝∠ＣＢＡ　・・・④
このとき、△ＡＢＣは二等辺三角形なので、
∠ＣＢＡ＝∠ＢＣＡ　・・・⑤
③、④、⑤より
∠ＢＣＡ＝２∠ａ　・・・⑥

一方、対頂角は等しいので、
∠ＰＭＣ＝∠ＱＭＢ＝∠ａ
このとき∠ＱＬＢと∠ＱＭＢはそれぞれ弧ＱＢの中心角と円周角なので、
∠ＱＬＢ＝２∠ＯＭＢ＝２∠ａ　・・・⑦
⑥、⑦より
∠ＢＣＡ＝∠ＱＬＢ
（したがって
∠ＰＣＭ＝∠ＱＬＲ　・・・（イ）』
で、これが答えの一例です。

最後の[問２]の（２）です。

図６に与えられた条件を書き入れました。

▲図６．与えられた条件を書き入れました

∠ＢＡＣ＝１２０° なので、内角が３０°、６０°、９０° の直角三角形をつくる方針で進めましょう。

そこで図７のように、点Ｐから直線ＡＢに垂線を下ろしその足をＨとし、さらに点Ｎから直線ＰＨに垂線を下ろしその足をＩとしました。このとき、ＭＮ//ＡＢなので、直線ＭＮと直線ＮＩは一致します。

▲図７．点Ｐから直線ＡＢに垂線を下ろしその足をＨ、点Ｎから直線ＰＨに垂線を下ろしその足をＩとしました

ここで∠ＢＡＣ＝１２０° から∠ＰＡＨ＝６０° なので、△ＰＡＨはその内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形になります。すると、ＡＮ＝４ｃｍ、ＮＰ＝２ｃｍ からＡＰ＝６ｃｍ で、したがって、

です。

また、△ＰＮＩ∽△ＰＡＨでその相似比が１：３であることから ＮＩ＝１ｃｍ で、さらに△ＣＭＮ∽△ＣＢＡでその相似比が１：２であることから ＭＮ＝４ｃｍ です。したがって、ＭＩ＝５ｃｍ になります。

一方、△ＰＭＩ∽△ＰＲＨでその相似比が１：３であることからＲＨ＝１５ｃｍです。

ここで△ＰＲＨに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに

を代入して整理すると、

なり、このとき ＰＲ＞０ から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｃｏｎｔｉｎｕｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書の Ｉ：ｉｎｔｅｒｖｉｅｗｅｒ と Ｋ：Ｋｉｍｉｅ-ｓａｎ の対談のなかに、
Ｉ： Ｗｈａｔ’ｓ　ｙｏｕｒ　ｎｅｘｔ　ｐｌａｎ？
Ｋ： Ｔｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｓｐｒｅａｄｉｎｇ　ｌａｕｇｈｔｅｒ　ａｌｌ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ．
（Ｉ：次の計画はなんですか。 Ｋ：世界中に笑いを広め続けることです）
という文があります。

この ｃｏｎｔｉｎｕｅ を 表現のための実践ロイヤル英文法 で調べてみると、
● ｃｏｎｔｉｎｕｅ は 動名詞 と ｔｏ不定詞 のどちらも 目的語 にとることができ、それらの どちらでも意味に変わりはない
と説明しています。

また、 ロングマン英英辞典 には、 ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｔｏ　ｄｏ　ｓｔｈ（ｔｏ不定詞） と ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｄｏｉｎｇ　ｓｔｈ（動名詞） の 使用頻度の割合 を比較したグラフが載っていて、それによると、 ｔｏ不定詞 の 約４３％ に対して、 動名詞 は 約４％ と、 ｔｏ不定詞 を用いるのが普通のようです。

ただし ウィズダム英和辞典 には、
● ｔｏ不定詞 の方がよく用いられるが、 ｔｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｅ の直後では繰り返しを避けるために 動名詞 が好まれる
とあり、このため教科書の文は 動名詞 を使っているのかもしれません。　

ちなみに、欄外の本文に関する質問にも
Ｗｈｙ　ｗｉｌｌ　Ｋｉｍｉｅ-ｓａｎ　ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｓｐｒｅａｄｉｎｇ　ｌａｕｇｈｔｅｒ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ？
（なぜ希巳江さんは世界中に笑いを広げ続けようとしているのですか）
と 動名詞 を使っていますが、これは本文の用例に合わせたためでしょう。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（８）[都立西高]

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立西高の問題です。

問題は、
「Ｍさんが、自由研究で自然数の性質について図書館で調べたところ、本の中に、次のような操作で、自然数がどのように変わっていくかが書かれていた。

『本の内容
　[操作
　ある自然数ａが
　① 偶数ならａを２で割る
　② 奇数ならａを３倍して１を加える。]

自然数ａに操作を行い、得られた数をｂとし、ｂに対して操作を行ってｃを得ることを自然数ａに２回の操作を行うとし、３回、４回、５回、・・・ の操作は同様とする。
例えば、７に３回の操作を行うと、 ７→２２→１１→３４ となる。
自然数ａが１００００以下のとき、自然数ａに操作を繰り返して行うと必ず１となることは分かっている。』

Ｍさんは自然数ａが初めて１になるまでの操作の回数に興味を持った。そこで、自然数ａに操作を繰り返し行い、初めて１になるまでの操作の回数を Ｎ（ａ） とし、 Ｎ（１）＝０ とした。

例えば、１０に操作を繰り返し行うと、６回の操作で初めて１になるので、 Ｎ（１０）＝６ である。

次の各問に答えよ。
[問１]　Ｎ（６）を求めよ。

[問２]　Ｎ（１６８）－Ｎ（８×ｄ）＝３ を満たす自然数ｄを求めよ。
　　　ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

Ｍさんは、操作の回数だけでなく、１になるまでの自然数の変化にも着目してみた。下の表は２０２０に操作を繰り返し行い、２０２０が１になるまでに現れたすべての自然数を２０２０も含めて左から小さい順に並べたとき、最初からｘ番目の自然数をｙとして、ｘとｙの関係を表したものである。ただし、ｅ、ｆ、ｇにはそれぞれある自然数があてはまり、表のなかの ・・・ の部分は自然数が省略されている。

表のｙの値の中央値は２３３．５で、ｆは２０２０から３７回操作を行ったときに現れる自然数で、２０２０から３８回操作を行ったときに現れる自然数は９８であり、 Ｎ（２０２０）＝５３＋Ｎ（１６０） が成り立つ。

[問３]　このとき自然数の組（ｅ，ｇ）を求めよ。」
です。

６→３→１０→５→１６→８→４→２→１ から、Ｎ（６）＝ ８ で、これが[問１]の答えです。

次に[問２]です。


から１６８に３回操作を行うと２１になるので、
Ｎ（１６８）＝３＋Ｎ（２１）　　　　　　　　（１）
が成り立ち、一方、

から８×ｄに３回操作を行うとｄになるので、
Ｎ（８×ｄ）＝３＋Ｎ（ｄ）　　　　　　　　　　（２）
が成り立ちます。

すると（1）と（２）から
Ｎ（１６８）－Ｎ（８×ｄ）＝｛３＋Ｎ（２１）｝－｛３＋Ｎ（ｄ）｝
　　　　　　　　　　　　　＝Ｎ（２１）－Ｎ（ｄ）
　　　　　　　　　　　　　＝３　　　　　　　　（３）
になります。

ここで、 ２１→６４→３２→１６→８→４→２→１ から、Ｎ（２１）＝７なので、（３）は、
７－Ｎ（ｄ）＝３ → Ｎ（ｄ）＝４
です。

そこで、４回の操作で１になる数を調べると、
〈１〉 １６→８→４→２→１ から１６
または、
〈２〉 ２→１→４→２→１ から２
になりますが、ここでは、初めて１になるまでの操作回数を考えているので、題意に合うのは〈１〉で、したがって、ｄ＝１６ が答えです。

最後の[問３]です。

２０２０から３８回操作を行ったときに現れる自然数が９８なので、３７回操作を行ったときに現れる自然数ｆは、

になりますが、後者は自然数ではないので、ｆ＝１９６です。

また、ｙの値の中央値が２３３．５と自然数でないことから、ｙの中央値は、中央の２つのｙの値の平均値であることが判ります。

さらに、１９６＝ｆ≦ｇ＜３４４から、ｙの値の中央値２３３．５は、
《１》 ｆとｇの平均値
または、
《２》 ｇと３４４の平均値
のいずれかになります。

ここで、《２》の場合は、

から不適で、したがって、《１》の場合の

になります。

一方、 １６０→８０→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１ からＮ（１６０）＝１０ で、 したがって、Ｎ（２０２０）＝５３＋１０＝６３ になります。

するとｘの個数は、Ｎ（２０２０）＋１＝６３＋１＝６４（個）で、これから、

です。

以上から、（ｅ，ｇ）は （３３，２７１） で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓｐａ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｊａｐａｎ　ｈａｓ　ｌｏｔｓ　ｏｆ　ｎａｔｕｒａｌ　ｈｏｔ　ｓｐｒｉｎｇｓ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｔｈａｎ　２，０００　ｓｐａｓ．
（日本にはたくさんの天然温泉と２０００以上の温泉場があります）
という文があります。

この ｓｐａ を ＷＥＢＳＴＥＲ’Ｓ　ＮＥＷ　ＷＯＲＬＤ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＤＩＣＴＩＯＮＡＲＹ で引いてみると、
　 ａｆｔｅｒ　Ｓｐａ， Ｂｅｌｇｉａｎ　ｈｅａｌｔｈ　ｒｅｓｏｒｔ　ｔｏｗｎ　ｋｎｏｗｎ　ｆｏｒ　ｉｔｓ　ｍｉｎｅｒａｌ　ｓｐｒｉｎｇｓ
（鉱泉で知られているベルギーの保養地スパにちなむ）
とあります。

そこで ベルギーの スパ を Ｇｏｏｇｌｅ　Ｍａｐ で探してみたところ、 ブリュッセル の西にあるドイツとの国境に近い町でした。

▲ Ｓｐａ

ちなみに ｓｐａ の発音は [ｓｐａ：] で 長母音 です。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

高校入試問題Ｒ２（７）［都立日比谷高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度都立日比谷高の問題です。

問題は、
「下の図１で、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、点Ｏを中心とする円の周上にある点で、Ａ、Ｄ、Ｂ、Ｃの順に並んでおり、互いに一致しない。

▲図１．問題図（１）

点Ａと点Ｂ、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。
∠ＡＢＤ＞∠ＣＤＢとする。
次のか各問に答えよ。

（１） ＡＢ＝ＤＢ、∠ＡＢＤ＝６０°、点Ａを含まない弧ＢＣと点Ａを含まない弧ＢＤの長さの比が（弧ＢＣ）：（弧ＢＤ）＝１：６のとき、∠ＢＤＣの大きさを求めよ。

（２） 下の図２は、図１において、点Ｃを通り直線ＢＤに平行な直線を引き、円Ｏとの交点のうち、点Ｃと異なる点をＥとし、点Ｃを含まない弧ＡＥ上に点Ｆを、点Ｂを含まない弧ＡＣ上に点Ｇを、それぞれ弧の両端と一致しないようにとり、点Ａと点Ｆ、点Ｄと点Ｆ、点Ｃと点Ｇ、点Ｆと点Ｇをそれぞれ結び、線分ＣＥと線分ＤＦとの交点をＨ、線分ＡＢと線分ＦＧとの交点をＩとした場合を表している。

▲図２．問題図（２）

ＡＢ//ＧＣのとき、次の①、②に答えよ。

① △ＨＣＤ∽△ＡＦＩであることを証明せよ。

② 下の図３は、図２において、直線ＣＥが点Ｏを通る場合を表している。

▲図３．問題図（３）

　ＤＣ＝５ｃｍ、ＣＤ＝９ｃｍ、ＡＢ＝９ｃｍ、ＣＥ⊥ＤＦのとき、線分ＦＩの長さは何ｃｍか。」
です。

ＡＢ＝ＢＤ、∠ＡＢＤ＝６０°から、図４のように、△ＡＢＤは正三角形になります。

▲ず４．△ＡＢＤは正三角形です

また、ＢＤ＝ＢＡから弧ＢＤ＝弧ＢＡで、（弧ＢＣ）：（弧ＢＤ）＝（弧ＢＣ）：（弧ＢＡ）＝１：６になり、したがって、

で、これが（１）の答えです。

次に（２）の①です。

図５のように、点Ｂと点Ｇを直線で結びます。

▲図５．∠ＤＣＨ＝∠ＡＦＩを示します

このとき、
∠ＤＣＨ＝∠ＣＤＢ （ＣＨ//ＢＤで平行線の錯角）
　　　　＝∠ＣＧＢ （弧ＢＣの円周角）
　　　　＝∠ＡＢＧ （ＧＣ//ＡＢで平行線の錯角）
　　　　＝∠ＡＦＧ （弧ＡＧの円周角）
　　　　＝∠ＡＦＩ　　　　　　　　　　　　　[１]
です。

また図６のように直線ＡＢ上に点Ｋをとると、四角形ＡＢＤＦは円Ｏに内接しているので、∠ＢＤＦ＝∠ＦＡＫになり、すると、
∠ＣＤＨ＝∠ＣＤＦ
　　　　＝∠ＢＤＦ－∠ＢＤＣ
　　　　＝∠ＦＡＫ－∠ＡＦＩ
　　　　＝∠ＦＩＡ　　　　　　　　　　　　　[２]
です。

▲図６．∠ＣＤＨ＝∠ＦＩＡを示しました

以上[１]と[２]から、△ＨＣＤと△ＡＦＩでそれらの２組の角がそれぞれ等しいので、△ＨＤＣ∽△ＡＦＩになります。

最後の（２）の②です。

図７に与えられた条件を書き入れました。

▲図７．与えられた条件を書き入れました

このとき（２）の①から△ＨＤＣ∽△ＡＦＩなので、∠ＣＨＤ＝∠ＦＡＩ＝９０°で、また半径ＯＣ＝５（ｃｍ）なので、直径ＣＥ＝１０（ｃｍ）です。

そこで図８のように、点Ｂと点Ｆを直線で結ぶと、∠ＦＡＩ＝∠ＦＡＢ＝９０°から線分ＢＦは円Ｏの直径になります。（半円周の円周角は９０°）

▲図８．点Ｄと点Ｅ、点Ｂと点Ｆを直線で結びました

ここで点Ｄと点Ｅを直線で結び、△ＣＤＥに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、ＣＤ＝９（ｃｍ）、ＣＥ＝１０（ｃｍ）を代入して整理すると、

です。

このとき、△ＣＤＥ≡△ＢＡＦ（∠ＣＤＥ＝∠ＢＡＦ＝９０°、ＣＥ＝ＢＦ、ＣＤ＝ＢＡ；直角三角形で斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい）なので、

になります。

また、△ＣＤＥ∽△ＣＨＤ（∠Ｃは共通、∠ＣＤＥ＝∠ＣＨＤ＝９０°）から
ＣＤ：ＣＥ＝ＣＨ：ＣＤ
が成り立ち、これに、ＣＤ＝９（ｃｍ）、ＣＥ＝１０（ｃｍ）を代入して整理すると、

です。

（２）の①から、△ＨＤＣ∽△ＡＦＩなので、
ＣＤ：ＣＨ＝ＦＡ：ＦＩ
が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｍａｐ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
ｍａｋｅ　ａ　ｍａｐ
（地図作り）
という言葉があります。

実は現在、新型コロナウィルス拡散防止のため休校していて、その空いた時間を使って making a map しています。

その地図というのは、「ミッドナイト・エクスプレス」（沢木耕太郎著）に掲載されている東京からロンドンまでのルートマップを詳しくしたもので、昔は小さな町が判らず断念していたのですが、今は Ｇｏｏｇｌｅ Ｍａｐ を利用するとそれらの町が簡単に見つかるので大助かりです。

▲ミッドナイト・エクスプレスのルートマップ（ミッドナイト・エクスプレス（文藝春秋社）から転載）

ちなみに、この ｍａｐ とその 類義語 の ｃｈａｒｔ、ａｔｌａｓ との違いは、 英語語義語源辞典 によると、
● ｍａｐ
　地上の表面の地図や天体図を示すのに用いられる最も一般的な語

● ｃｈａｒｔ
　地勢図、海図、天気図、航空図など特殊目的のための特殊な事項（例えば気流、航空路）などの図

● ａｔｌａｓ
　ｍａｐ や ｃｈａｒｔ を一緒にして一冊の本にした地図帳
だそうです。

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

２０２０年日本数学オリンピック予選の問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「正の整数ｎであって、

が８であり、

の各桁合わせて１以上８以下の整数がちょうど１個ずつ現れるようなものをすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｎが１から３桁の整数のとき、

とそれらの和を調べると、
　　
になり、

が８であることから、ｎは２桁の整数になります。

このとき、

の２つの場合が考えられます。

ところが、後者の場合のように、４桁の

に２桁のｎを掛けたとき、

が４桁になることはないので、

はそれぞれ３桁と５桁になります。

すると、

から
ｎ≦３１
で、さらに、

からｋ≧２→ｎ≧２２のとき

は５桁以上なので、
２２≦ｎ≦３１
になります。

ここから、ｎの一の位の数に着目して絞り込んでいきましょう。

・ ｎの一の位が ０、７の場合

の一の位が０、９になるので、これらは条件を満たしません。

・ ｎの一の位が １、５、６の場合

の一の位が １、５、６になるので、これらは条件を満たしません。

・ ｎの一の位が ９の場合

の一の位が ９になるので、これは条件をみたしません。

以上から、ｎ＝２２、２４、２８の３個に絞り込むことができました。

あとは実際に計算していきます。



したがって、与えられた条件を満たすｎは ２４ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ａｆｒａｉｄ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｔｈｅ　ｔｕｒｔｌｅｓ　ａｒｅ　ａｆｒａｉｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｌａｓｈ．
（ウミガメはフラッシュを怖がります）
という文があります。

この ａｆｒａｉｄ を 現代英語語法辞典 で引いてみると、この語の主な３つの意味、
（１） 「恐れる、怖がる」
（２） 「（何らかの行動をとることを）いやがる、気が進まない、乗り気でない」
（３） 「（何かよくないことが起こるのではないかと）不安に思う、恐れる」
のそれぞれについて、

（１） 「恐れる、怖がる」の意味
・ 最も一般的には ｏｆ前置詞句 をとる
　Ｉ　ａｍ　ａｆｒａｉｄ　ｏｆ　ｓｎａｋｅｓ．
　（私は蛇が怖い）

・ 補部をとらずに、 単独で主格補語 として用いられることもある
　Ｓｈｅ　ｓｕｄｄｅｎｌｙ　ｌｏｏｋｅｄ　ａｆｒａｉｄ．
　（彼女は突然おびえた表情になった）

・ まれに ｔｏ不定詞 を伴うことがある
　ａｆｒａｉｄ　ｔｏ　ｄｉｅ
　（死ぬのを怖がる）

（２） 「（何らかの行動をとることを）いやがる、気が進まない、乗り気でない」 の意味
・ 通例 ｔｏ不定詞 をとる
　Ｏｌｉｖｅｒ　Ｔｗｉｓｔ　ｗａｓ　ｎｏｔ　ａｆｒａｉｄ　ｔｏ　ａｓｋ　ｆｏｒ　ｍｏｒｅ　ｆｏｏｄ．
　（オリバーツイストは食べ物をさらに要求することをためらわなかった）

・ ｏｆ前置詞句 を伴うことがある
　ｎｏｔ　ａｆｒａｉｄ　ｏｆ　ｈａｒｄ　ｗｏｒｋ
　（激務をいとわない）

（３） 「（何かよくないことが起こるのではないかと）不安に思う、恐れる」 の意味
・ ｔｈａｔ節、ｏｆ動名詞句、ｆｏｒ前置詞句 をとる
　Ｉ’ｍ　ａｆｒａｉｄ　ｔｈａｔ　Ｉ’ｌｌ　ｌｏｓｅ　ｍｙ　ｊｏｂ．
　（私は、失業するのではないかと不安だ）

　Ｓｈｅ　ｗａｓ　ａｆｒａｉｄ　ｏｆ　ｂｅｉｎｇ　ｌａｔｅ　ｆｏｒ　ｓｃｈｏｏｌ．
　（彼女は、学校に遅れるのではないかと不安だった）

　Ｔｈｅ　ｓｅａ　ｉｓ　ｒｏｕｇｈ　ａｎｄ　Ｉ’ｍ　ａｆｒａｉｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅｉｒ　ｓａｆｅｔｙ．
　（海が荒れているので、私は彼らの安全が心配だ）
と解説しています。

さらに、「（ｔｈａｔ）節、ｓｏ、ｎｏｔ を伴い相手の希望とは反対の結果になることを丁寧に表現するのに使われる」とあり、
　Ｉ’ｍ　ａｆｒａｉｄ　Ｉ　ｃａｎ’ｔ　ａｇｒｅｅ．
　（残念ですが、同意できません）

　“Ｉ　ｈｅａｒ　ｓｈｅ’ｓ　ｌｅａｖｉｎｇ．　Ｉｓ　ｔｈａｔ　ｒｉｇｈｔ？”
　“Ｉ’ｍ　ａｆｒａｉｄ　ｓｏ”
　（彼女が行ってしまうってほんと？　残念ながらそうなんだ）

　“Ｃａｎ　ｙｏｕ　ｃｏｍｅ　ｒｏｕｎｄ　ｔｈｉｓ　ｅｖｅｎｉｎｇ？”
　“Ｉ’ｍ　ａｆｒａｉｄ　ｎｏｔ．”
　（今晩来れますか。申し訳ないが、だめなんだ）
といった用例を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。