中学生でも手が届く京大入試問題（５８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１２年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「三角形ＡＢＣにおいて辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの長さをそれぞれａ、ｂ、ｃとする。この三角形ＡＢＣは次の条件（イ）、（ロ）、（ハ）を満たすとする。

（イ） ともに２以上である自然数ｐとｑが存在して、ａ＝ｐ＋ｑ、ｂ＝ｐｑ＋ｐ、ｃ＝ｐｑ＋１ となる。
（ロ） 自然数ｎが存在してａ、ｂ、ｃのいずれかは
　　　
　　　である。
（ハ） ∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃのいずれかは６０°である。

このとき次の問いに答えよ。

（１） ∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃを大きさの順に並べよ。
（２） ａ、ｂ、ｃを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に、（イ）の条件を示しました。

▲図１．（イ）の条件を示しました

三角形の角の大きさは対辺の長さの順になるので、ａ、ｂ、ｃの大きさを調べましょう。

ここで、ｐとｑは２以上の自然数なので、ｐｑ＋ｐ＞ｐｑ＋１ から、ｂ＞ｃ です。

次に、ｃ－ａ＝ｐｑ＋１－（ｐ＋ｑ）＝（ｐ－１）（ｑ－１）＞０ から、ｃ＞ａ です。

したがって、ｂ＞ｃ＞ａ になり、∠Ｂ＞∠Ｃ＞∠Ａ が（１）の答えです。

続いて（２）です。

（ハ）の条件から ∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃのいずれかが６０°です。

ここで∠Ａ＝６０°とすると、（１）の結果から∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＞３∠Ａ＝１８０°と三角形の内角の和が１８０°より大きくなるので、∠Ａ≠６０°です。

また∠Ｂ＝６０°とすると、∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜３∠Ｂ＝１８０°と三角形の内角の和が１８０°より小さくなるので、∠Ｂ≠６０°です。

したがって、∠Ｃ＝６０°になります。

そこで図２のように、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＡＣＨは内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になります。

▲図２．頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとしました

このとき、

から、

です。

ここで、直角三角形ＡＢＨに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これにＡＢ＝ｐｑ＋１と（１）を代入して整理すると、

から

が成り立ちます。

この左辺を因数分解すると、

で、ｑ＋１≠０、ｐ－１≠０から
ｐ－ｑ＋１＝０　　　　　　　　　　　　　［２］
になります。

［２］から
ｑ＝ｐ＋１
で、これをａ、ｂ、ｃに代入すると、
ａ＝ｐ＋ｑ＝ｐ＋ｐ＋１＝２ｐ＋１
ｂ＝ｐｑ＋ｐ＝ｐ（ｑ＋１）
　＝ｐ（ｐ＋１＋１）＝ｐ（ｐ＋２）
ｃ＝ｐｑ＋１＝ｐ（ｐ＋１）＋１　　　　　［３］　　　　　　
になります。

このときａは奇数で、ｃについては、ｐ（ｐ＋１）が偶数なので、ｃも奇数になります。

したがって（ロ）の条件から、

が成り立ちます。

［４］からｐは

の約数なので、

とおき、［４］に代入すると、

になります。

このとき、

は

の約数なのでｋ＝１になり、したがって、ｐ＝２です。

最後に、ｐ＝２を［３］に代入すると、
ａ＝２×２＋１＝ ５
ｂ＝２×（２＋２）＝ ８
ｃ＝２×（２＋１）＋１＝ ７
で、これが答えです。


簡単な問題です。