こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。
問題は、
「三角形ＡＢＣの内接円が辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒで、∠Ａ内の傍接円が辺ＢＣ、直線ＣＡ，ＡＢとそれぞれ点Ｓ、Ｔ、Ｕで接している。三角形ＡＢＣの内心を Ｉ 、直線ＰＱと直線ＳＴの交点をＤ、直線ＰＲと直線ＳＵの交点をＥとする。ＡＩ＝３、ＩＰ＝１、ＰＳ＝２のとき、線分ＤＥの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。また、三角形ＡＢＣの∠Ａ内の傍接円とは、辺ＢＣ、辺ＡＢの点Ｂ側への延長線、および辺ＡＣの点Ｃ側への延長線に接する円のことをさす。」
です。
早速図１のように、問題の図を描きましょう。
▲図１．問題の図を描きました
図１を眺めると、多くの二等辺三角形や平行線、直交する直線が目につくので、角度に注目して進めてみましょう。
そこで図２のように、Ａ、Ｂ、Ｃと Ｉ をそれぞれ結び、１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●とします。
▲図２．１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●としました
まず、１/２∠Ｂ＝●を調べていきましょう。
図３のように、∠ＡＢＣ＝∠ＢＵＳ＋∠ＢＳＵで、さらに△ＢＵＳは二等辺三角形で∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵですから、∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵ＝●です。
▲図３．１/２∠Ｂ＝●を調べていきます
すると、∠ＡＢＩ＝∠ＢＵＳ＝∠ＢＵＥですから、ＢＩ//ＵＥです。
一方、△ＢＰＲは二等辺三角形で、∠Ｂの二等分線ＢＩはＰＲと直交するので、ＢＩ//ＵＥから∠ＳＥＰ＝９０°です。
また、対頂角は等しいので、∠ＢＳＵ＝∠ＰＳＥが成り立ちます。
同様に、１/２∠Ｃ＝●を調べていきましょう。
図４のように、∠ＡＣＢ＝＝∠ＣＴＳ＋∠ＣＳＴで、さらに△ＣＴＳは二等辺三角形で∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴですから、∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴ＝●です。
▲図４．１/２∠Ｃ＝●を調べていきます
すると、∠ＡＣＩ＝∠ＡＴＳですから、ＣＩ//ＴＳです。
一方、△ＣＰＱは二等辺三角形で、∠Ｃの二等分線ＣＩはＰＱと直交するので、ＣＩ//ＴＳから∠ＰＤＳ＝９０°です。
ここまでで、四角形ＰＤＳＥについていろいろなことが判りました。
まず、対角（∠ＳＥＰと∠ＰＤＳ）がそれぞれ９０°なので、四角形ＰＤＳＥは円に内接し、その直径（ＰＳ）は２です。
さらに、一つの内角ＤＳＥの大きさは、●＋●です。
そこで、●＋●となる角を探してみると、図５のように、∠ＡＩＱ＝●＋●であることが容易に見つかります。
▲図５．∠ＡＩＱ＝●＋●です
ここで△ＡＩＱに三平方の定理を適用すると、ＡＩ＝３、ＩＱ＝ＩＰ＝１ですから、ＡＱ＝２√２です。
一方、図６のように、四角形ＰＤＳＥに注目し、Ｄと内接円の中心を通る直線と内接円の交点でＤでない方をＦとすると、∠ＤＳＥと∠ＤＦＥは円弧ＤＰＥに対する円周角なので、∠ＤＳＥ＝∠ＤＦＥ＝●＋●です。
▲図６．四角形ＰＤＳＥに注目します
すると、△ＤＥＦ∽△ＡＱＩで、ＤＦ＝２ですから、ＤＥ＝ＤＦ×ＡＱ/ＡＩ＝２×２√２/３＝ ４√２/３ で、これが答えです。
楽しい問題です。
今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。
問題は、
「三角形ＡＢＣの内接円が辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒで、∠Ａ内の傍接円が辺ＢＣ、直線ＣＡ，ＡＢとそれぞれ点Ｓ、Ｔ、Ｕで接している。三角形ＡＢＣの内心を Ｉ 、直線ＰＱと直線ＳＴの交点をＤ、直線ＰＲと直線ＳＵの交点をＥとする。ＡＩ＝３、ＩＰ＝１、ＰＳ＝２のとき、線分ＤＥの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。また、三角形ＡＢＣの∠Ａ内の傍接円とは、辺ＢＣ、辺ＡＢの点Ｂ側への延長線、および辺ＡＣの点Ｃ側への延長線に接する円のことをさす。」
です。
早速図１のように、問題の図を描きましょう。
▲図１．問題の図を描きました
図１を眺めると、多くの二等辺三角形や平行線、直交する直線が目につくので、角度に注目して進めてみましょう。
そこで図２のように、Ａ、Ｂ、Ｃと Ｉ をそれぞれ結び、１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●とします。
▲図２．１/２∠Ａ＝●、１/２∠Ｂ＝●、１/２∠Ｃ＝●としました
まず、１/２∠Ｂ＝●を調べていきましょう。
図３のように、∠ＡＢＣ＝∠ＢＵＳ＋∠ＢＳＵで、さらに△ＢＵＳは二等辺三角形で∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵですから、∠ＢＵＳ＝∠ＢＳＵ＝●です。
▲図３．１/２∠Ｂ＝●を調べていきます
すると、∠ＡＢＩ＝∠ＢＵＳ＝∠ＢＵＥですから、ＢＩ//ＵＥです。
一方、△ＢＰＲは二等辺三角形で、∠Ｂの二等分線ＢＩはＰＲと直交するので、ＢＩ//ＵＥから∠ＳＥＰ＝９０°です。
また、対頂角は等しいので、∠ＢＳＵ＝∠ＰＳＥが成り立ちます。
同様に、１/２∠Ｃ＝●を調べていきましょう。
図４のように、∠ＡＣＢ＝＝∠ＣＴＳ＋∠ＣＳＴで、さらに△ＣＴＳは二等辺三角形で∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴですから、∠ＣＴＳ＝∠ＣＳＴ＝●です。
▲図４．１/２∠Ｃ＝●を調べていきます
すると、∠ＡＣＩ＝∠ＡＴＳですから、ＣＩ//ＴＳです。
一方、△ＣＰＱは二等辺三角形で、∠Ｃの二等分線ＣＩはＰＱと直交するので、ＣＩ//ＴＳから∠ＰＤＳ＝９０°です。
ここまでで、四角形ＰＤＳＥについていろいろなことが判りました。
まず、対角（∠ＳＥＰと∠ＰＤＳ）がそれぞれ９０°なので、四角形ＰＤＳＥは円に内接し、その直径（ＰＳ）は２です。
さらに、一つの内角ＤＳＥの大きさは、●＋●です。
そこで、●＋●となる角を探してみると、図５のように、∠ＡＩＱ＝●＋●であることが容易に見つかります。
▲図５．∠ＡＩＱ＝●＋●です
ここで△ＡＩＱに三平方の定理を適用すると、ＡＩ＝３、ＩＱ＝ＩＰ＝１ですから、ＡＱ＝２√２です。
一方、図６のように、四角形ＰＤＳＥに注目し、Ｄと内接円の中心を通る直線と内接円の交点でＤでない方をＦとすると、∠ＤＳＥと∠ＤＦＥは円弧ＤＰＥに対する円周角なので、∠ＤＳＥ＝∠ＤＦＥ＝●＋●です。
▲図６．四角形ＰＤＳＥに注目します
すると、△ＤＥＦ∽△ＡＱＩで、ＤＦ＝２ですから、ＤＥ＝ＤＦ×ＡＱ/ＡＩ＝２×２√２/３＝ ４√２/３ で、これが答えです。
楽しい問題です。
