整数問題（２３）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１５年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

自然数ａに対して、

を越えない最大の整数をｂとし、

をｃとする。ｂ＝ａ＋６ が成り立つとき、

である。」
です。

仮定から

で、ｂは

を越えない最大の整数ですから、

が成り立ちます。

ｂ＝ａ＋６ を（１）に代入すると、

になり、これと（２）から

が成り立ちます。

これを整理して、

とします。

このとき、

から

が成り立ち、ａは自然数なので、ａ＝９ になります。

すると、

で、したがって、

になります。

そこで、与式を

と因数分解し、右辺に（３）、（４）を代入して、

です。

以上から、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

Ｗｈａｔ ｄａｙ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

平成２８年度の都立高校英語入試問題に、歌舞伎の観劇を相談している留学生の Ｔｉｍ と高校生の Ｈｉｄｅｏ の会話文が出題されていて、そのなかに、
Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｓｈａｌｌ　ｗｅ　ｇｏ？
（何曜日に行こうか）
という台詞があります。

この ｄａｙ は、曜日 を表していて、例えば、「今日は何曜日ですか」は、
Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｉｓ　ｉｔ（ｔｏｄａｙ）？
と言います。

それに対して、日付 を尋ねる場合は、
Ｗｈａｔ　ｄａｔｅ　ｉｓ　ｉｔ　ｔｏｄａｙ？
Ｗｈａｔ’ｓ　ｔｈｅ　ｄａｔｅ　ｔｏｄａｙ？
（今日は何日ですか）
と言います。

ところが、 ウィズダム英和辞典 にある「曜日・日付の尋ね方」に、
Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｉｓ　ｉｔ（ｔｏｄａｙ）？
が、日付 を尋ねる「今日は何日ですか」の意になることもあるとあり、曜日 または 日付 を尋ねることを明確にしたい場合は、

Ｉ　ｄｏｎ’ｔ　ｋｎｏｗ　ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｅｅｋ　ｉｔ　ｉｓ．
（（今日が）何曜日かわからない）［ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｅｅｋ を添える形は間接疑問文で用いられる方が多い］

Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｎｔｈ　ｉｓ　ｉｔ？
（今日は何日ですか）

のように、 ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｅｅｋ や ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｎｔｈ を添えることがあると記しています。

因みに、「明日」の 曜日 を尋ねる場合は、
Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｉｓ　（ｉｔ） ｔｏｍｏｒｒｏｗ？
（明日は何曜日ですか）
のように、通例 現在形 を用い、遠い未来については
Ｗｈａｔ　ｄａｙ　ｗｉｌｌ　Ｊａｎｕａｒｙ　ｆｉｒｓｔ　ｂｅ　（ｏｎ） ｉｎ　２０３０？
（２０３０年の１月１日は何曜日ですか）
のように、 ｗｉｌｌ を用いるのが普通だそうです。


頭に入れておくと役に立つことがあるかもしれません。

図形問題（２６）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１５年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「△ＡＢＣの３つの辺すべてに接する円の中心を Ｉ とし、△ＡＢＣのすべての頂点を通る円と直線ＡＩの交点のうち、Ａと異なるものをＤとする。また、図のように、直線ＡＤ上に ＩＤ＝ＤＥを満たす点Ｅをとる。さらに、直線ＣＥに関して点Ｂと対称な点をＦとする。

▲問題図

このとき、次の（１）（２）を証明せよ。

（１） △ＣＤＩ は二等辺三角形である。

（２） ３点Ａ、Ｃ、Ｆは同一直線上にある。」
です。

（１）から始めましょう。

Ｉ は△ＡＢＣの内心なので、図１のように、
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝●
∠ＡＣＩ＝∠ＢＣＩ＝■
です。

▲図１．Ｉ は△ＡＢＣの内心です

すると、
∠ＣＩＤ＝∠ＣＡＩ＋∠ＡＣＩ＝●＋■
になります。

また、∠ＢＡＤと∠ＢＣＤは弧ＢＤの円周角なので、
∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝●
が成り立ち、
∠ＩＣＤ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＣＩ＝●＋■
になります。

ここで、△ＣＤＩ の２つの内角が等しいことから△ＣＤＩは二等辺三角形になります。

次に（２）です。

△ＣＤＩ は二等辺三角形なので、
ＤＣ＝ＤＩ
です。

また仮定から、
ＩＤ＝ＤＥ
なので、
ＤＩ＝ＤＣ＝ＤＥ
が成り立ちます。

すると図２のように、点Ｃ、Ｉ、Ｅは点Ｄを中心とする円周上の点になります。

▲図２．点Ｃ、Ｉ、Ｅは点Ｄを中心とする円周上の点になります

このとき、線分ＩＥは、この円の直径なので、
∠ＩＣＥ＝９０°
で、つまり、直線ＣＩ は直線ＣＥと垂直に交わります。

一方、直線ＢＦと直線ＣＥは垂直に交わるので、
ＣＩ//ＦＢ
です。

すると平行な直線の錯角は等しいので、図３のように、
∠ＣＢＦ＝∠ＢＣＩ＝■
になります。

▲図３．∠ＣＢＦ＝∠ＢＣＩ＝■です

ここで△ＣＢＦに注目すると、直線ＣＨは辺ＢＦの垂直二等分線なので△ＣＢＦは二等辺三角形で、二等辺三角形の底角は等しいので、
∠ＣＢＦ＝∠ＣＦＢ＝■
です。

すると図４のように、△ＣＢＦの内角の和が１８０°であることから
∠ＢＣＦ＋∠ＣＢＦ＋∠ＣＦＢ＝∠ＢＣＦ＋■×２＝１８０°
が成り立ちます。

▲図４．∠ＢＣＦ＋■×２＝１８０°です

このとき、
∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＦ＋∠ＡＣＩ＋∠ＢＣＩ＝∠ＢＣＦ＋■×２
なので、
∠ＡＣＦ＝１８０°
が成り立ちます。

したがって、３点Ａ、Ｃ、Ｆは同一直線上にあります。


簡単な問題です。

ａｎｏｔｈｅｒ ｃｕｐ ｏｆ ｔｅａ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ａｎｄ　ｈｅｌｐ　ｙｏｕｒｓｅｌｆ　ｔｏ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ．
（お茶のおかわりは、自分で取って飲んでね）
という文があります。

この ａｎｏｔｈｅｒ の用法について、 オックスフォード実例現代英語用法辞典 に、可算名詞の単数形 の前に置いて、例えば、
　Ｃｏｕｌｄ　Ｉ　ｈａｖｅ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｐｉｅｃｅ　ｏｆ　ｂｒｅａｄ？
（パンをもう１枚いただけますか）
のように「追加、余分」の意味を表すとあり、これに対して、不可算名詞や複数の名詞 の場合は、
ｄｏ　ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ　ｗｏｒｋ
（もう少し仕事をする）
　Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ　ｍｅａｔ？
（肉をもっといかがですか）
のように、 ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ を用いるのが普通と記してあります。

つまり、上の教科書の文では、 ｔｅａ が 不可算名詞 （主にイギリス英語で「お茶１杯」（＝ａ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ）を表す可算名詞もあります）なので、 ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ としているということです。

ところが、 ウィズダム英和辞典 には、ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｏｆｆｅｅ は ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｃｏｆｆｅｅ の意で用いることがあるとあり、例文として、
Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ［ａｎｏｔｈｅｒ］　ｃｏｆｆｅｅ？
（コーヒーをもう少し［もう一杯］いかがですか）
を挙げています。（前者は同じカップに注ぐ場面で、後者は別のカップを使う場面で用いるそうです）

そこで、Ｇｏｏｇｌｅ　Ｂｏｏｋｓ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で、ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ、ａｎｏｔｈｅｒ　ｔｅａ、ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ　ｔｅａ の使用頻度を調べてみると、
ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ ： ａｎｏｔｈｅｒ　ｔｅａ ： ｓｏｍｅ　ｍｏｒｅ　ｔｅａ＝５ ： １ ： ３
で、教科書にある ａｎｏｔｈｅｒ　ｃｕｐ　ｏｆ　ｔｅａ が優勢です。


頭に入れておくとよいでしょう。

計算問題（２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年灘高入試に出題された計算問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

ａ、ｂは０でない定数とする。ｘｙ平面上で、
２直線

の交点が、
２直線

の交点と一致するとき、ａ＝［　　］、ｂ＝［　　］である。」
です。

それぞれの組の２直線の交点が一致するということは、４つの直線が同じ点を通ることになります。

したがって、
２直線

の交点が、４つの直線の交点になります。

そこで、まず、２直線

の交点を求めましょう。




で、これを（２）に代入して、

です。

これらを残りの２つの直線の式に代入すると、

になります。

このとき、


で、これを（４）に代入して、

です。

したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

接尾辞－ｓｈｉｐ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書の「大切な言葉」についての Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ に ｆｒｉｅｎｄｓｈｉｐ（友情） が挙がっていて、
Ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｂｏｏｋ　Ｉ　ｈａｖｅ　ｅｖｅｒ　ｒｅａｄ　ｉｓ　Ｈａｓｈｉｒｅ　Ｍｅｒｏｓｕ．
（私がこれまでに読んだ本で一番なのは「走れメロス」です）
Ｉｔ　ｉｓ　ａｂｏｕｔ　ｆｒｉｅｎｄｓｈｉｐ．
（それは、友情についての本です）
という例文を見つけることができます。

この ｆｒｉｅｎｄｓｈｉｐ の －ｓｈｉｐ は 接尾辞 といい、名詞や形容詞の後ろについて、 状態、性質、地位、役職、技能、能力、集団などを意味する名詞 を作ります。

例えば、オックスフォード現代英英辞典 には、
１．ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｏｒ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆ（状態または性質）
　　ｏｗｎｅｒｓｈｉｐ（所有権、所有者であること）
　　ｆｒｉｅｎｄｓｈｉｐ（友情、友好関係）

２．ｔｈｅ　ｓｔａｔｕｓ　ｏｒ　ｏｆｆｉｃｅ　ｏｆ（地位または役職）
　　ｃｉｔｉｚｅｎｓｈｉｐ（市民権、公民であること）
　　ｐｒｏｆｅｓｓｏｒｓｈｉｐ（教授の職）

３．ｓｋｉｌｌ　ｏｒ　ａｂｉｌｉｔｙ（技能または能力）
　　ｍｕｓｉｃｉａｎｓｈｉｐ（音楽［演奏］の技術）

４．ｔｈｅ　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ（集団）
　　ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ（会員であること）
と記してあります。

さらに、これらのほかにも、
ｃｈａｍｐｉｏｎｓｈｉｐ（選手権、優勝者の地位）
ｌｅａｄｅｒｓｈｉｐ（統率力、リーダーの資質）
ｐａｒｔｎｅｒｓｈｉｐ（提携関係）
など、 －ｓｈｉｐ を 接尾辞 にする多くの言葉があるので、それらを調べて、整理しておくのもいいかもしれません。

平成３０年度都立高校入試問題（１７）［共通］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題に出題された大問５の図形問題で、それは、
「下の図１に示した立体ＡＢＣ－ＤＥＦは、
ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝９ｃｍ
∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝９０°　の三角柱である。

▲図１．問題図（１）

辺ＥＦの中点をＭとする。
頂点Ｃと点Ｍを結び、線分ＣＭ上にある点をＰとする。
頂点Ｂと点Ｐ、頂点Ｄと点Ｐをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

［問１］ 次の［　　］の中の「く」「け」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　　　　 図１において、点Ｐが頂点Ｃに一致するとき、∠ＢＰＤの大きさは、［くけ］度である。

［問２］ 次の［　　］の中の「こ」「さ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　　　　下の図２は、図１において、頂点Ａと頂点Ｐ、頂点Ｂと頂点Ｄをそれぞれ結んだ場合を表している。

▲図２．問題図（２）

ＣＰ：ＰＭ＝２：１のとき、
立体Ｐ－ＡＢＤの体積は、［こさ］ｃｍ3 である。」
です。

△ＢＰＤの各辺の長さは、図３のように、１辺の長さが９ｃｍの正方形の対角線の長さと等しいので、△ＢＰＤは正三角形になります。

▲図３．△ＢＰＤは正三角形です

したがって、∠ＢＰＤ＝６０°で、「く」＝６、「け」＝０ が［問１］の答えです。

次に［問２］です。

図４の左側の図のように、点Ｐから辺ＥＦに垂線を下ろしその足をＱとすると、ＭＱ：ＱＦ＝１：２ になります。

▲図４．線分ＤＲの長さを計算します

次に図４の右側の図のように、点Ｍ、点Ｑから辺ＤＦに垂線をおろしその足をそれぞれＮ、Ｒとすると、ＮＲ：ＲＦ＝１：２ で、ＮＦ＝９/２ｃｍからＮＲ＝３/２ｃｍになり、したがって、ＤＲ＝６ｃｍです。

ここで立体Ｐ－ＡＢＤを、底面が△ＡＢＤ、高さがＤＲの三角錐と考えれば、立体Ｐ－ＡＢＤの体積は、
９×９×１/２×６×１/３＝８１ｃｍ3
で、「こ」＝８、「さ」＝１ が答えです。


簡単な問題です。

ｔａｋｅ ａ ｗａｌｋ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｉ ｌｉｋｅ　ｔａｋｉｎｇ　ａ　ｗａｌｋ．
（私は散歩が好きです）
という文があります。

この ｔａｋｅ　ａ　ｗａｌｋ は「散歩する」を意味し、他にも “ｔａｋｅ　ａ　名詞” という形で行為を表す表現があり、さらに “ｈａｖｅ　ａ　名詞” という形もあります。

これらの “ｔａｋｅ　ａ　名詞” と “ｈａｖｅ　ａ　名詞”について、 ウィズダム英和辞典 には、一般に ｔａｋｅ は アメリカ英語《米》 で、 ｈａｖｅ は イギリス英語《英》 で好まれる傾向があるが、名詞によって ｔａｋｅ と ｈａｖｅ のどちらかのみしか用いられないものや、一方が優勢なものや、ほとんど同じように用いられるものがあると記してあります。

具体例として、
● 《米》と《英》で差があるもの
　　ｔａｋｅ　ａ　ｌｏｏｋ（見る）：主に《米》
　　ｈａｖｅ　ａ　ｌｏｏｋ　　　　：主に《英》

　　ｔａｋｅ　ａ　ｗａｌｋ（散歩する）：《米》で好まれる。《英》では堅く響き、ｇｏ　ｆｏｒ　ａ　ｗａｌｋ が好まれる

● ｔａｋｅ/ｈａｖｅ のいずれかに偏りのあるもの
　　ｔａｋｅ［ｈａｖｅ］　ａ　ｂｒｅａｋ（ひと休みする）：《米》、《英》ともに ｔａｋｅ が優勢

　　ｈａｖｅ　ａ　ｄｒｉｎｋ（飲む）：《米》、《英》ともに ｈａｖｅ が優勢。ｔａｋｅ ａ　ｄｒｉｎｋ は主に《米》

● ｔａｋｅ/ｈａｖｅ をほぼ同じように用いるもの
　　ｔａｋｅ［ｈａｖｅ］　ａ　ｓｅａｔ（座る）
　　ｔａｋｅ［ｈａｖｅ］　ａ　ｒｉｄｅ（乗る） ｇｏ　ｆｏｒ　ａ　ｒｉｄｅ の方が優勢
が挙げてあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

平成３０年度都立高校入試問題（１６）［国立高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問１の作図問題で、それは、
「下の図は、円と円の外部の点Ａを表している。解答欄に示した図をもとにして、点Ａから円への２本の接線を作図せよ。
　ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。」
です。

▲問題図

まず、円の中心を求めましょう。

図１のように、円の２本の弦の垂直二等分線を引き、それらの交点をＯとすると、点Ｏが円の中心になります。

▲図１．円の中心Ｏを求めました

次に図２のように、線分ＡＯの垂直二等分線を引き、線分ＡＯの中点Ｍを求めます。

▲図２．線分ＡＯの中点Ｍを求めます

続いて図３のように、点Ｍを中心とする直径ＡＯの円を描き、円Ｏとの交点をＣ、Ｄとします。

▲図３．直線ＡＣと直線ＡＤが２本の接線になります

最後に点Ｏと点Ｃ、点Ｏと点Ｄを結べば、直線ＯＣと直線ＯＤが求める２本の接線になります。


接線の作図方法を覚えておくとよいでしょう。

ｌａｗｙｅｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書にある「職業」に関する Ｗｏｒｄ　Ｂａｎｋ のなかに、ｌａｗｙｅｒ（法律家、弁護士）という単語があります。

この ｌａｗｙｅｒ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、その 類義語 の ａｔｔｏｒｎｅｙ、ｂａｒｒｉｓｔｅｒ などが挙げてあり、それらの違いについて、

● ｌａｗｙｅｒ は弁護士をさす一般的な語で、米では堅い表現で ａｔｔｏｒｎｅｙ という。

● 英では主に ｓｏｌｉｃｉｔｏｒ と ｂａｒｒｉｓｔｅｒ に区別され、
・ｓｏｌｉｃｉｔｏｒ
　「事務弁護士」(依頼に応じて契約書･遺言書の作成, 財産相続などの法律事務を行う)および下級裁判所の「法廷弁護士」をさす。

・ｂａｒｒｉｓｔｅｒ
　上級・下級裁判所の「法廷弁護士」をさす。スコットランドでは ａｄｖｏｃａｔｅ という。
　
● 法廷弁護士は米、英ともに堅い表現で、 ｃｏｕｎｓｅｌ といい、米では ｃｏｕｎｓｅｌｏｒ ともいう。

と解説しています。


また、 現代英語語法辞典 には、米では ｓｏｌｉｃｉｔｏｒ は市・町・州などの「法務官」をさすとあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

平成３０年度都立高校入試問題（１５）［国立高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、国立高で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１に示した立体Ｃ－ＡＰＢは、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝２ｃｍ、∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＰ＝９０°の三角すいである。

▲図１．問題図（１）

　ただし、点Ｐは２点Ａ、Ｂを直径とする半円の弧ＡＢ上にある点で、点Ａと点Ｂのいずれにも一致しない。
　次の各問に答えよ。

［問１］ △ＣＰＢの面積が△ＣＡＢの面積の１/２となるとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。

［問２］ 点Ｂから平面ＣＡＰに垂直な直線を引き、その交点をＨとした場合を考える。
　 三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるとき、線分ＢＨの長さは何ｃｍか。
　 ただし、答えだけでなく答えを求める過程が分かるように、途中の式や説明なども書け。

［問３］ 下の図２は、図１において、弧ＡＰ：弧ＰＢ＝２：１、弧ＡＰ上にあり弧ＡＱ：弧ＱＰ＝１：１である点をＱ、辺ＢＣの中点をＭとし、点Ｑと点Ｍを結び、線分ＱＭと平面ＣＡＰの交点をＲとした場合を表している。

▲図２．問題図（２）

　点Ｒと点Ａ、点Ｒと点Ｐ、点Ｒと点Ｂをそれぞれ結んでできる三角すいＲ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。」
です。

△ＣＡＢの面積は ４×２×１/２＝４ｃｍ2 ですから、△ＣＰＢの面積は ２ｃｍ2 で、したがって、図３のように、ＰＢ＝２ｃｍになります。

▲図３．ＰＢ＝２ｃｍです

また、点Ｐは線分ＡＢを直径とする半円周上の点なので、∠ＡＰＢ＝９０°です。

そこで、直角三角形ＡＢＰに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、ここに ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＰ＝２ｃｍを代入すると、

です。

すると、△ＡＢＰの面積は、

になり、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、

で、これが［問１］の答えです。

次に［問２］です。

三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるのは△ＡＰＢの面積が最大になるときで、それは図４のように、点Ｐが、∠ＡＯＰ＝９０°となる位置にあるときです。

▲図４．∠ＡＯＰ＝９０°のとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最大になります

このとき、△ＡＰＢは直角二等辺三角形なので、

で、その面積は４ｃｍ2になります。

したがって、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、４×２×１/３＝８/３ ｃｍ3 になります。

続いて△ＡＰＣの面積を計算しましょう。

図４のように、直角三角形ＡＢＣ、ＰＢＣに三平方の定理を適用して、

を求め、それらを二乗すると

になります。

このとき

から

なので、

が成り立ち、三平方の定理の逆から∠ＡＰＣ＝９０°です。

したがって、△ＡＰＣの面積は、

になります。

ここで、三角すいＣ－ＡＰＢの底面を△ＡＰＣとすると、その体積は、

で、これが８/３になることから

で、これが答えです。

最後の［問３］です。

図５のように、点ＰとＱは、弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢを満たす位置になります。

▲図５．弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢになります

すると、△ＡＰＢと△ＡＱＢはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、

なので、△ＡＰＢの面積は、

です。

また、直線ＡＰと直線ＢＱとの交点をＳとすると、△ＯＢＳはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形で、

になります。

ここで図６のように、平面ＢＣＱを考えると、直線ＣＳと直線ＭＱとの交点がＲになり、ＲＴを求めれば三角すいＲ－ＡＰＢの体積を計算することができます。

▲図６．平面ＢＣＱを考えます

△ＱＲＴ∽△ＱＭＢから、ＱＴ：ＲＴ＝ＱＢ：ＭＢなので、

で、これを整理して、

です。

△ＳＲＴ∽△ＳＣＢから、ＳＴ：ＲＴ＝ＳＢ：ＣＢなので、

で、これを整理して、

です。

（１）と（２）から、

です。

したがって、三角すいＲ－ＡＰＢの体積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ａｃｃｉｄｅｎｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｈｅ　ｌｏｓｔ　ｈｉｓ　ｒｉｇｈｔ　ａｒｍ　ｉｎ　ａｎ　ａｃｃｉｄｅｎｔ　ｗｈｅｎ　ｈｅ　ｗａｓ　ｓｉｘ．
（６歳のとき、彼は事故で右腕を失った）
という文があります。

この ａｃｃｉｄｅｎｔ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、その 類義語 の ｈａｐｐｅｎｉｎｇ、ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ、ｅｖｅｎｔ、ｉｎｃｉｄｅｎｔ との違いが、

● ａｃｃｉｄｅｎｔ
　　事故など予期せずに起こる、通例深いな出来事をいい、殺人や窃盗など人の意思によって起こることには用いない

● ｈａｐｐｅｎｉｎｇ
　　出来事を表す一般語で、しばしばその異常さをいう場合に好まれる

● ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ
　　出来事を表す一般語で、日常性や非日常性、頻度の高低をいう場合に好まれる

● ｅｖｅｎｔ
　　比較的重要な出来事

● ｉｎｃｉｄｅｎｔ
　　ｅｖｅｎｔ に付随する比較的些細な出来事をいい、しばしば控えめ表現として戦争・暴動などに発展しうる事件にも用いる

とまとめてあります。


頭に入れておくと役に立つかもしれません。

平成３０年度都立高校入試問題（１４）［西高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、西高で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１で、△ＡＢＣは正三角形である。

▲図１．問題図（１）

　点Ｄは、辺ＢＣ上にある点で、頂点Ｂ、頂点Ｃのいずれにも一致しない。
　頂点Ａと頂点Ｄを結ぶ。
　線分ＡＤを１辺とする正三角形ＡＤＥを、辺ＡＣと辺ＤＥが交わるようにつくり、辺ＡＣと辺ＤＥの交点をＦとする。
　頂点Ｃと頂点Ｅを結ぶ。
　次の各問に答えよ。

［問１］ 下の図２は、図１において、∠ＢＡＤ＝１５°の場合を表している。

▲図２．問題図（２）

　　　　 ＣＤ＝４ｃｍのとき、△ＡＢＣの一辺の長さは何ｃｍか。

［問２］ 図１において、△ＡＣＥ∽△ＤＣＦであることを証明せよ。

［問３］ 下の図３は、図１において、∠ＢＡＤ＝３０°のときに、△ＡＢＤが△ＡＣＥと重なるように、点Ａを回転の中心として、△ＡＢＤを反時計回り（矢印の方向）に６０°回転移動させ、そのときに線分ＢＤが通過した部分を斜線で示した場合を表している。

▲図３．問題図（３）

　
　　　　 ＡＢ＝８ｃｍのとき、線分ＢＤが通過した部分の面積は何ｃｍ2か。
　　　　 ただし、円周率はπとする。」
です。

図４のように、Ｄから直線ＡＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＣＤＨはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、△ＡＤＨは直角二等辺三角形になります。

▲図４．△ＣＤＨは内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形、△ＡＤＨは直角二等辺三角形です

このとき、ＣＤ＝４ｃｍなので、

で、

です。

したがって、△ＡＢＣの一辺の長さは、

で、これが［問１］の答えです。

次に［問２］です。

まず図５のように、△ＦＡＥと△ＦＤＣに注目しましょう。

▲図５．△ＦＡＥと△ＦＤＣに注目します

ここで、∠ＦＥＡ＝∠ＦＣＤ （正三角形の１つの内角）、∠ＡＦＥ＝∠ＤＦＣ （対頂角）から、△ＦＡＥ∽△ＦＤＣです。

したがって、∠ＦＡＥ＝∠ＦＤＣから、∠ＣＡＥ＝∠ＣＤＥが成り立ち、このとき円周角の定理の逆から、４点Ａ、Ｄ、Ｃ、Ｅは同一円周上にあります。

次に図６のように、△ＡＣＥと△ＤＣＦに注目します。

▲図６．△ＡＣＥと△ＤＣＦに注目します

円に内接する四角形の対角の和は１８０°なので、∠ＡＥＣ＝１８０°－∠ＡＤＣで、このとき、∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＋∠ＣＤＦ＝６０°＋●から、
∠ＡＥＣ＝１８０°－（６０°＋●）＝１２０°－●
になります。

一方、
∠ＤＦＣ＝１８０°－（∠ＣＤＦ＋∠ＤＦＣ）＝１８０°－（●＋６０°）＝１２０°－●
です。

したがって、∠ＡＥＣ＝∠ＤＦＣです。

また、∠ＣＡＥ＝∠ＣＤＦなので、△ＡＣＥ∽△ＤＣＦになります。

最後の［問３］です。

図７のように、
・ ∠ＢＡＤ＝３０°から∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＥ＝３０°
・ 線分ＡＤは辺ＢＣの垂直二等分線なので
　　
・ ＡＢ＝ＡＣ＝８ｃｍ
ですから、△ＡＢＤ≡△ＡＣＤ≡△ＡＣＥになり、したがって、（△ＡＢＤの面積）＝（△ＡＣＥの面積）です。

▲図７．△ＡＢＤの面積と△ＡＣＥの面積は等しくなります

一方、
（線分ＢＣが通過した部分の面積）＝　（扇形ＯＢＣの面積）－（△ＡＢＤの面積）－（△ＡＣＤの面積）＋（△ＡＣＤの面積）＋（△ＡＣＥの面積）－（扇形ＡＤＥの面積）
で、ここで（△ＡＢＤの面積）＝（△ＡＣＥの面積）から、
（線分ＢＣが通過した部分の面積）＝（扇形ＡＢＣの面積）－（扇形ＡＤＥの面積）
になります。

このとき、


から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｗｅｅｋｅｎｄ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｗｈａｔ　ａｒｅ　ｙｏｕ　ｇｏｉｎｇ　ｔｏ　ｄｏ　ｔｈｉｓ　ｗｅｅｋｅｎｄ？
（今週末に何をするんですか）
という英文があります。

この ｗｅｅｋｅｎｄ は、ウィズダム英和辞典 によると、通例、土曜日と日曜日を指すものの、時に金曜日の晩を含む とあります。

また、 ｗｅｅｋｅｎｄ に「時を示す前置詞」を付ける場合、英国 では ａｔ 、 米国 では ｏｎ を用い、 オックスフォード現代英英辞典 には、

（Ｂｒｉｔｉｓｈ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）
Ｔｈｅ　ｏｆｆｉｃｅ　ｉｓ　ｃｌｏｓｅｄ　ａｔ　ｔｈｅ　ｗｅｅｋｅｎｄ．
（その事務所は週末は閉まっています）

（ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　Ｎｏｒｔｈ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ）
Ｔｈｅ　ｏｆｆｉｃｅ　ｉｓ　ｃｌｏｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｗｅｅｋｅｎｄ．
という用例を挙げています。

さらに、
（Ｂｒｉｔｉｓｈ　Ｅｎｇｌｉｓｈ，ｉｎｆｏｒｍａｌ）
Ｉ　ｌｉｋｅ　ｔｏ　ｇｏ　ｏｕｔ　ｏｎ　ａ　ｗｅｅｋｅｎｄ．
（週末に外出するのが好きです）
というくだけた言い方もあるようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

平成３０年度都立高校入試問題（１３）［日比谷高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、日比谷高で出題された大問４の立体図形問題で、それは、
「下の図１に示した立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬは、ＡＢ＝６ｃｍ、ＡＧ＝ａ ｃｍの正六角柱である。

▲図１．問題図（１）

　辺ＩＪ上の点をＭ、辺ＥＫ上の点をＮとし、頂点Ａと頂点Ｄ、頂点Ａと点Ｍ、頂点Ａと点Ｎ、頂点Ｄと点Ｍ、頂点Ｄと点Ｎ、点Ｍと点Ｎをそれぞれ結ぶ。
　次の各問に答えよ。

［問１］ 立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬの尿面積をａを用いた式で表せ。

［問２］ ａ＝９、ＩＭ＝４ｃｍ、ＥＮ＝ｘ ｃｍ（０＜ｘ＜９/２）とする。∠ＡＮＭ＝９０°のとき、ｘの値を求めよ。
　　　　 ただし、答えだけではなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。

［問３］ 下の図２は、図１において点Ｍが辺ＩＪの中点で、点Ｎが頂点Ｋの位置にある場合を示している。
　　　　 ａ＝１０のとき、立体Ａ－ＤＭＮの体積は何ｃｍ3か。」

▲図２．問題図（２）

図３のように、正六角柱の底面ＡＢＣＤＥＦは、１辺の長さが６の正三角形が６個集まったもので、その１つの正三角形の高さは

なので、底面積は、

になり、上下合わせて

です。

▲図３．底面ＡＢＣＤＥＦを調べます

一方、側面積は、６ａ ｃｍ2の長方形６個分なので、３６ａ ｃｍ2です。

したがって、立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬの表面積は、

で、これが［問１］の答えです。

次に［問２］です。

これは、三平方の定理を何回か使えば解けそうです。

まず、線分ＡＭの長さを求めましょう。

図４で、直角三角形ＧＩＭに注目すると、

から、三平方の定理により、

です。

▲図４．線分ＡＭ、ＡＮおよびＭＮの長さを求めます

次に直角三角形ＡＧＭに注目すると、

から、三平方の定理により、

と、線分ＡＭの長さが判りました。

続いて線分ＡＮの長さを求めましょう。

直角三角形ＡＥＮに注目すると、

から、三平方の定理により、

と、線分ＡＮの長さが判りました。

最後に線分ＭＮの長さを求めます。

Ｋから直線ＩＭに下ろした垂線の足をＸとし、直角三角形ＫＭＸに注目すると、

から、三平方の定理により、

です。

次に直角三角形ＫＭＮに注目すると、

から、三平方の定理により、

と、線分ＭＮの長さが判りました。

ここで、△ＡＭＮは直角三角形なので、

が成り立ち、これに、

を代入して、整理すると、

になります。

このとき、０＜ｘ＜９/２から、ｘ＝３ で、これが答えです。

最後の［問３］です。（下記コメントにあるように、三角錐Ｍ－ＡＤＰと三角錐Ｋ－ＡＤＰに分割するほうが簡単です。2020/12/5追記）

図５のように、立体Ａ－ＤＭＮの体積は、台形ＡＤＪＰを底面とする四角錐Ｋ－ＡＤＪＰとＭ－ＡＤＪＰの体積の和から三角錐Ｄ－ＪＫＭの体積を引いたものになります。

▲図５．四角錐Ｋ－ＡＤＪＰとＭ－ＡＤＪＰ、三角錐Ｄ－ＪＫＭの体積を計算します

ここで図５の右側の図のように、正六角形ＧＨＩＪＫＬを考えると、△ＪＭＰ∽△ＯＫＰで、その相似比はＪＭ：ＯＫ＝１：２になり、このときＯＪ＝６ｃｍから、ＪＰ＝２ｃｍになります。

したがって、台形ＡＤＪＰの面積は、（１２＋２）×１０×１/２＝７０ｃｍ2になります。

続いて、２つの四角錐の高さを求めましょう。

四角錐Ｋ－ＡＤＪＰ、四角錐Ｍ－ＡＤＪＰの高さはそれぞれＫＱとＭＲで、それらの長さは、

です。

したがって、


になります。

続いて、三角錐Ｄ－ＪＫＭの体積を計算しましょう。


から、

です。

以上から、

で、これが答えです。


簡単な問題です。