日本数学オリンピック予選の問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「９７、１００、１０３で割った余りがそれぞれ３２、３３、３４である正の整数のうち最小のものを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

９７、１００、１０３で割った余りがそれぞれ３２、３３、３４である正の整数をＮとし、Ｎを９７、１００、１０３で割ったときの商をそれぞれＱ1、Ｑ2、Ｑ3 とすると、
Ｎ÷　９７＝Ｑ1・・・３２
Ｎ÷１００＝Ｑ2・・・３３
Ｎ÷１０３＝Ｑ3・・・３４
が成り立ちます。

これらを変形すると、
Ｎ＝　９７Ｑ1＋３２　　　　　（１）
Ｎ＝１００Ｑ2＋３３　　　　　（２）
Ｎ＝１０３Ｑ3＋３４　　　　　（３）
になります。

あとは、（１）（２）（３）の整数解を求めて、最小の正の整数Ｎ’を計算するだけです。

まず（１）と（２）から
９７Ｑ1＋３２＝１００Ｑ2＋３３
が成り立ち、これを整理して、
９７Ｑ1－１００Ｑ2＝１　　　　（４）
としましょう。

ここで（４）を満たす整数ｑ1、ｑ2を見つけるために、
９７ｑ1－（９７＋３）ｑ2＝１
９７（ｑ1－ｑ2）－３ｑ2＝１
（３２×３＋１）（ｑ1－ｑ2）－３ｑ2＝１
３｛３２（ｑ1－ｑ2）－ｑ2｝＋（ｑ1－ｑ2）＝１　　（５）
と変形すると、（５）を満たす３２（ｑ1－ｑ2）－ｑ2 とｑ1－ｑ2 は容易に見つけることができて、そのなかの一つは、
３２（ｑ1－ｑ2）－ｑ2＝０
ｑ1－ｑ2＝１
で、これらから、
ｑ1＝３３
ｑ2＝３２
になります。

続いて、これらを（４）に代入して、
９７×３３－１００×３２＝１
とし、（４）の辺々から引くと、
９７（Ｑ1－３３）－１００（Ｑ2－３２）＝０
９７（Ｑ1－３３）＝１００（Ｑ2－３２）　　　 　　（６）
が成り立ちます。

（６）で、９７と１００は互いに素なので、
Ｑ2－３２＝９７ｍ
Ｑ2＝９７ｍ＋３２　（ｍは整数）　　　　　　　　　（７）
と表すことができます。　

次に（２）と（３）で同じ作業をします。

（２）と（３）から
１００Ｑ2＋３３＝１０３Ｑ3＋３４
が成り立ち、これを整理して、
１００Ｑ2－１０３Ｑ3＝１　　　（８）
とします。

ここで（８）を満たす整数ｑ2、ｑ3を見つけるために、
１００ｑ2－（１００＋３）ｑ3＝１
１００（ｑ2－ｑ3）－３ｑ3＝１
（３３×３＋１）（ｑ2－ｑ3）－３ｑ3＝１
３｛３３（ｑ2－ｑ3）－ｑ3｝＋（ｑ2－ｑ3）＝１　　　（９）
と変形すると、（９）を満たす３３（ｑ2－ｑ3）－ｑ3 とｑ2－ｑ3 は容易に見つけることができて、そのなかの一つは、
３３（ｑ2－ｑ3）－ｑ3＝０
ｑ2－ｑ3＝１
で、これらから、
ｑ2＝３４
ｑ3＝３３
になります。

続いて、これらを（６）に代入して、
１００×３４－１０３×３３＝１
とし、（６）の辺々から引くと、
１００（Ｑ2－３４）－１０３（Ｑ3－３３）＝０
１００（Ｑ2－３４）＝１０３（Ｑ3－３３）　　　　　（１０）
が成り立ちます。

（１０）で、１００と１０３は互いに素なので、
Ｑ2－３４＝１０３ｎ
Ｑ2＝１０３ｎ＋３４　（ｎは整数）　　　　　　　　　（１１）
と表すことができます。

あとは（７）と（１１）からｍを求めましょう。

（７）と（１１）から
９７ｍ＋３２＝１０３ｎ＋３４
が成り立ち、これを整理して、
９７ｍ－１０３ｎ＝２　　　　　（１２）
とします。

ここで（１２）を満たす整数ｍ’、ｎ’を見つけるために、
９７ｍ’－１０３ｎ’＝２
９７ｍ’－（９７＋６）ｎ’＝２
９７（ｍ’－ｎ’）－６ｎ’＝２
（１６×６＋１）（ｍ’－ｎ’）－６ｎ’＝２
６｛１６（ｍ’－ｎ’）－ｎ’｝＋（ｍ’－ｎ’）＝２　　　（１３）
と変形すると、（１３）を満たす１６（ｍ’－ｎ’）－ｎ’、ｍ’－ｎ’は容易に見つけることができて、そのなかの一つは、
１６（ｍ’－ｎ’）－ｎ’＝０
ｍ’－ｎ’＝２
で、これから、
ｍ’＝３４
ｎ’＝３２
になります。

続いて、これらを（１２）に代入して、
９７×３４－１０３×３２＝２
とし、（１２）の辺々から引くと、
９７（ｍ－３４）－１０３（ｎ－３２）＝０
９７（ｍ－３４）＝１０３（ｎ－３２）　　　　　　　（１４）
が成り立ちます。

（１４）で、９７と１０３は互いに素なので、
ｍ－３４＝１０３ｋ
ｍ＝１０３ｋ＋３４　（ｋは整数）　　　　　　　　　（１５）
と表すことができます。

ここで、Ｎが最小の正の整数Ｎ’になるのは、（２）からＱ2が最小の非負整数になるとき、つまり（７）からｍが最小の非負整数になるときで、したがって、（１５）からｋ＝０で、このとき、ｍ＝３４です。

したがって、（７）から
Ｑ2＝９７×３４＋３２＝３３３０
で、（２）から
Ｎ’＝１００×３３３０＋３３＝ ３３３０３３
で、これが答えです。

ここでは、不定方程式を解く作業を３回行いましたが、Ｎ＝１００Ａ＋３３とし、１００Ａ＋１と１００Ａ－１がそれぞれ９７と１０３で割りきれることを利用すると、不定方程式を解く作業が１回になります。

ｃａｌｅｎｄａｒ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｉｔ’ｓ　ａｎ　ｏｌｄ　ｃａｌｅｎｄａｒ．
（それは昔のカレンダーです）
という文があります。

この ｃａｌｅｎｄａｒ を オックスフォード現代英英辞典 で調べてみると、

Ａ　ｗｅｌｌ－ｋｎｏｗｎ　ｖｅｒｓｅ　ｈｅｌｐｓ　ｐｅｏｐｌｅ　ｒｅｍｅｍｂｅｒ　ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｄａｙｓ　ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｉｎ　ｅａｃｈ　ｍｏｎｔｈ：

Ｔｈｉｒｔｙ　ｄａｙｓ　ｈａｔｈ　Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ，
Ａｐｒｉｌ， Ｊｕｎｅ　ａｎｄ　Ｎｏｖｅｍｂｅｒ．
Ａｌｌ　ｔｈｅ　ｒｅｓｔ　ｈａｖｅ　ｔｈｉｒｔｙ-ｏｎｅ，
Ｅｘｃｅｐｔｉｎｇ　Ｆｅｂｒｕａｒｙ　ａｌｏｎｅ，
Ｗｈｉｃｈ　ｈａｔｈ　ｔｗｅｎｔｙ-ｅｉｇｈｔ　ｄａｙｓ　ｃｌｅａｒ，
ａｎｄ　ｔｗｅｎｔｙ－ｎｉｎｅ　ｉｎ　ｅａｃｈ　ｌｅａｐ　ｙｅａｒ

（各々の月が何日かを思い出すためのよく知られた詩で、９月、４月、６月、１１月は３０日、２月だけ除いて、残りのすべては３１日、２月はまる２８日でうるう年は２９日）

という月の大小を区別する詩が載っていました。

日本の語呂合わせ「にしむくさむらい（二四六九士）」のほうがスッキリという感じです。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「１以上９９９以下の整数であって、２で割りきれる回数が５で割りきれる回数より多いものはいくつあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここは、５で割りきれる回数で場合分けしましょう。

● ５で割りきれない場合
５で割りきれないないで、２で１回以上割りきれる整数の個数を勘定することになります。

２で１回以上割りきれる整数の個数は、
９９９÷２＝４９９・・・１
から、４９９個です。

このなかに、５で割りきれる整数が、
９９９÷１０＝９９・・・９　　　　　（１０＝２×５）
から、９９個含まれています。

したがって、５で割りきれないで、２で１回以上割りきれる整数の個数は、
４９９－９９＝４００（個）
です。

● ５で１回だけ割りきれる場合
５で１回だけ割りきれて、２で２回以上割りきれる整数の個数を勘定することになります。

５で１回以上割りきれて、２で２回以上割りきれる整数の個数は、
９９９÷２０＝４９・・・９　　　　　（２０＝２×２×５）
から、４９個です。

このなかに、５で２回以上割りきれる整数が、
９９９÷１００＝９・・・９９　　　　（１００＝２×２×５×５）
から、９個含まれています。

したがって、５で１回だけ割りきれて、２で２回以上割りきれる整数の個数は、
４９－９＝４０（個）
です。

● ５で２回だけ割りきれる場合
５で２回だけ割りきれて、２で３回以上割りきれる整数の個数を勘定することになります。

５で２回以上割りきれて、２で３回以上割りきれる整数の個数は、
９９９÷２００＝４・・・１９９　　　（２００＝２×２×２×５×５）
から、４個です。

このなかに、５で３回以上割りきれる整数が、
９９９÷１０００＝０・・・９９９　　（１０００＝２×２×２×５×５×５）
から、０個含まれています。

したがって、５で２回だけ割りきれて、２で３回以上割りきれる整数の個数は、
４－０＝４（個）
です。

● ５で３回だけ割りきれる場合
５で３回だけ割りきれて、２で４回以上割りきれる整数の個数を勘定することになります。

５で３回以上割りきれて、２で４回以上割りきれる整数の個数は、
９９９÷２０００＝０・・・９９９　　（２０００＝２×２×２×２×５×５×５）
から、０個です。

したがって、５で３回だけ割りきれて、２で４回以上割りきれる整数はありません。

同様に、５で４回以上割りきれる場合も条件を満たす整数はありません。

以上から、１以上９９９以下の整数であって、２で割りきれる回数が５で割りきれる回数より多いものは、
４００＋４０＋４＝ ４４４ （個）
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｓａｔｓｕｍａ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３英語教科書の巻末の付録に「いろいろな単語」と題する分野別の英単語リストがあって、そこに「ミカン　ｔａｎｇｅｒｉｎｅ」とあります。

この ｔａｎｇｅｒｉｎｅ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、ｏｒａｎｇｅ の項に、
・ 日本のみかんは通例 ａ　ｍａｎｄａｒｉｎ〔ｓａｔｓｕｍａ〕（ｏｒａｎｇｅ）、ａ　ｔａｎｇｅｒｉｎｅ という
という注釈がありました。

そこで ｓａｔｓｕｍａ を引いてみると、ちゃんと 見出し語 として載っていて、
（１）温州（うんしゅう）みかん （ｓａｔｓｕｍａ ｏｒａｎｇｅ）
（２）薩摩（さつま）焼き （Ｓａｔｓｕｍａ　ｗａｒｅ）
を意味するそうです。

さらに 手近にある英英辞典で ｓａｔｓｕｍａ を引いてみたところ、
● オックスフォード現代英英辞典
　ａ　ｔｙｐｅ　ｏｆ　ｓｍａｌｌ　ｏｒａｎｇｅ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｓｅｅｄｓ　ａｎｄ　ｗｉｔｈ　ｌｏｏｓｅ　ｓｋｉｎ　ｔｈａｔ　ｃｏｍｅｓ　ｏｆｆ　ｅａｓｉｌｙ
（種がなく、簡単に剥けるやわらかい皮の小さいオレンジの一種）

● コウビルト英英辞典
　Ａ　ｓａｔｓｕｍａ　ｉｓ　ａ　ｆｒｕｉｔ　ｔｈａｔ　ｌｏｏｋｓ　ｌｉｋｅ　ａ　ｓｍａｌｌ　ｏｒａｎｇｅ
（「サツマ」は小さいオレンジのような果物）

● ロングマン英英辞典
　ａ　ｆｒｕｉｔ　ｌｉｋｅ　ａ　ｓｍａｌｌ　ｏｒａｎｇｅ， ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｎｏ　ｓｅｅｄｓ， ａｎｄ　ａ　ｌｏｏｓｅ　ｓｋｉｎ　ｙｏｕ　ｃａｎ　ｐｕｌｌ　ｏｆｆ　ｅａｓｉｌｙ
（小さなオレンジのような果物で、種はなく、やわらかい皮で簡単に剥ける）
と、すべての英英辞典に載っていて、さらに ロングマン英英辞典 には Ｆｒｕｉｔ の項に写真付きで紹介されれいました。

ちなみに、平成２９年のみかんの生産量は、１位　和歌山県、２位　愛媛県、３位　熊本県、４位　静岡県 で、鹿児島県 は １６位 です。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本数学オリンピック予選の問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「正五角形ＡＢＣＤＥがあり、線分ＢＥと線分ＡＣの交点をＦとする。また点Ｆを通る直線が辺ＡＢ、ＣＤとそれぞれ点Ｇ、Ｈで交わり、ＢＧ＝４、ＣＨ＝５が成り立つ。このとき線分ＡＧの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

図１に、与えられた条件を書き入れました。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

図１のＢＧ＝４、ＣＨ＝５を利用するために、これらの線分を含む相似の三角形を見つけたいところです。

そこで図２のように、直線ＣＥを引き、直線ＧＨとの交点をＩとすると、△ＢＧＦ∽△ＣＩＨになりそうで、おまけに△ＦＡＧ∽△ＦＣＩも成り立ちそうです。

▲図２．△ＢＧＦ∽△ＣＩＨと△ＦＡＧ∽△ＦＣＩになりそうです

また正五角形の辺の長さをａとすると、対角線の長さＡＣをａで表すことは簡単で、さらにＣＦ＝ａからＡＦとＣＦの比もａで表せるので、ａの方程式を導くことができそうです。

このように方針が決まったので、まず正五角形の対角線の長さをａで表しましょう。

図３のように対角線の長さをｘとすると、△ＦＡＢ∽△ＦＣＥ（∠ＡＦＢ＝∠ＣＦＥ、ＡＢ//ＥＣから∠ＦＡＢ＝∠ＦＣＥ）から
ＡＢ：ＦＡ＝ＣＥ：ＦＣ
が成り立ちます。

▲図３．対角線の長さをａで表します

これに、ＡＢ＝ａ、ＦＡ＝ｘ－ａ、ＣＥ＝ｘ、ＦＣ＝ａ（四角形ＦＣＤＥは平行四辺形なので、ＦＣ＝ＥＤ＝ａで、ＦＡ＝ｘ－ａ）を代入すると、
ａ：ｘ－ａ＝ｘ：ａ
になり、これを整理して、ｘについて解くと、

で、ｘ＞０から

です。

すると、正五角形のなかの必要な線分の長さは図４のようになります。

▲図４．必要な線分の長さをａで表すことができました

続いて、△ＢＧＦと△ＣＩＨ、△ＦＡＧと△ＦＣＩを使ってａの値を求めましょう。

図５で、ＡＢ//ＥＣ、ＢＥ//ＣＤから、∠ＢＧＦ＝∠ＣＩＨ、∠ＢＦＧ＝∠ＣＨＩなので、△ＢＧＦ∽△ＣＩＨで、さらに∠ＦＧＡ＝∠ＦＩＣ、∠ＡＦＧ＝∠ＣＦＩなので、△ＦＡＧ∽△ＦＣＩです。

▲図５．△ＢＧＦ∽△ＣＩＨ、△ＦＡＧ∽△ＦＣＩです

ここで、△ＢＧＦ∽△ＣＩＨから、
ＢＧ：ＢＦ＝ＣＩ：ＣＨ
が成り立ち、これに

を代入すると、

です。

さらに△ＦＡＧ∽△ＦＣＩから、
ＡＧ：ＡＦ＝ＣＩ：ＣＦ
が成り立ち、これに

を代入すると、

になり、これを整理して、ａについて解くと、

で、ａ＞０から

になります。

最後に、
ＡＧ＝ＡＢ－ＢＧ
から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｎｉｃｋｎａｍｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｔｈｉｓ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｃｌｉｆｆ　ｉｔｓ　ｎｉｃｋｎａｍｅ， “Ｈｅａｒｔ　Ｒｏｃｋ”．
（このこと《海から見ると赤いハートの形をしている》から、その崖には「ハートロック」というニックネームがつけられています）
という文があります。

この ｎｉｃｋｎａｍｅ を 現代英語語法辞典 で調べてみると、 ｎｉｃｋｎａｍｅ のつけ方について、
（１） 名（ＧＩＶＥＮ ＮＡＭＥ）の短縮した形
（２） 習性・外貌・特技・特異性・出身地などからつけられた名
（３） いわゆる ｓｏｂｒｉｑｕｅｔ （仮名、あだ名）で、姓や名に代わって、通例、賛美の目的で用いられる仮名
と大きく３つに分類して、それぞれの具体例として、

（１）
（ａ）名の単なる縮約形
　　　Ｄａｖｅ（Ｄａｖｉｄ）、Ａｌ（Ａｌｂｅｒｔ）

（ｂ）名（に一部）に多少の変更を加えたもの
　　　Ｊｉｍ（Ｊａｍｅｓ）、Ｎｅｄ（Ｅｄｗａｒｄ）、Ｂｅｔｔｙ（Ｅｌｉｚａｂｅｔｈ）、Ｄｉｃｋ（Ｒｉｃｈａｒｄ）

（ｃ）指小語
　　　Ｊｏｈｎｎｉｅ（Ｊｏｈｎ）、Ｔｏｍｍｙ（Ｔｈｏｍａｓ）、Ｃｈａｒｌｉｅ（Ｃｈａｒｌｅｓ）

（ｄ）頭文字の結合したもの
　　　Ｃａｓｅｙ（Ｋ．Ｃ．）、Ｍａ Ｆｅｒｇｕｓｏｎ（Ｍｉｒｉａｍ　Ａ．Ｆｅｒｇｕｓｏｎ）

（２）
（ａ）性質より
　　　Ｓｐｅｅｄ、Ｈａｐｐｙ、Ｇａｂｂｙ（おしゃべり）

（ｂ）外貌より
　　　Ｒｅｄ、Ｓｌｉｍ、Ｓｈｏｒｔｙ

（ｃ）出身地より
　　　Ｔｅｘ、Ｆｒｅｎｃｈｙ

（３）
　　Ｔｈｅ　Ｌｉｔｔｌｅ　Ｃｏｒｐｏｒａｌ（ナポレオン１世）
　　Ｔｈｅ　Ｓａｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｎｃｏｒｄ（エマスン）
　　Ｔｈｅ　Ｗｅｌｓｈ　Ｗｉｚａｒｄ（ロイド・ジョージ）
　　Ｔｈｅ　Ｗｉｚａｒｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｎｏｒｔｈ（ウォルター・スコット）
　　Ｏｌｄ　Ｈｉｃｋｏｒｙ（アメリカ第７代大統領アンドリュー・ジャクソン）
を挙げていて、（１）と（２）は一般性をもったもので、呼びかけにも使うことができるのに対して、（３）は特定の人、しかも有名な、だれでも知っている人に用いられるものとしています。

また、 ｎｉｃｋｎａｍｅ（あだ名を含む広い意味での） について、
・ 親しみやすく、聞いていて快いものであって、否定的・誹謗的なものは比較的まれ
・ 自分でつけるものではなくて、家族や友人などが与えるもの
などと記しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤと四角形ＤＥＦＧはともに長方形であり、３点Ａ、Ｄ、Ｅと３点Ｃ、Ｄ、Ｇはいずれもこの順に同一直線上にある。
　∠ＧＡＤ＝３６°、∠ＧＣＦ＝１５°、ＢＥ＝ＣＦが成り立つとき、∠ＡＥＢの大きさを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、与えられた条件を問題図に書き入れましょう。（長方形ＡＢＣＤと長方形ＤＥＦＧは省略です）

▲図１．与えられた条件を書き入れました

図１を一目見て思い当たるのはＢＥ＝ＣＦの使い道で、それは、どちらか（または両方）の線分を移動して二等辺三角形を作るということです。図２にいくつかの例を示します。

▲図２．二等辺三角形（青色部分）を作りました

このように二等辺三角形を作って調べていくと、図３に示した二等辺三角形は合同な三角形（△ＡＧＨ≡△ＥＩＦ）を伴って、筋がよさそうです。

▲図３．筋のよさそうな二等辺三角形です

あとは図４のように、∠ＡＥＢ＝ｘとおいて、必要な角の大きさを表していきましょう。

▲図４．∠ＡＥＢ＝ｘとしました

ＡＢとＦＧの交点をＨとし、線分ＣＦを点Ｃが点Ｂに一致するように平行移動するとき、点Ｆに対応する点をＩとします。（点Ｉは線分ＧＨ上にあります）

ここで、△ＣＦＧ≡△ＢＩＨ（ＣＦ＝ＢＩ、ＣＧ＝ＢＨ、∠ＦＣＧ＝∠ＩＢＨ）から、
ＦＧ＝ＩＨ
で、この両辺にＧＩを加えると、ＦＧ＋ＧＩ＝ＩＨ＋ＧＩから
ＦＩ＝ＨＧ
が成り立ちます。

すると、ＦＩ＝ＨＧ、ＥＦ＝ＡＨ、∠ＥＦＩ＝∠ＡＨＧから
△ＥＦＩ≡△ＡＨＧ
で、
∠ＥＩＦ＝∠ＡＧＨ　　　　（★）
が成り立ちます。

また、ＡＥ//ＨＦから
∠ＡＧＨ＝∠ＧＡＥ＝３６°
で、これと（★）から
∠ＥＩＦ＝３６°
で、さらに∠ＡＥＩ＝∠ＥＩＦから
∠ＡＥＩ＝３６°
になります。

すると、∠ＢＥＩ＝３６°＋ｘ
で、このとき、△ＢＥＩは二等辺三角形なので、
∠ＢＩＥ＝３６°＋ｘ
になります。

一方、∠ＥＢＩは、∠ＡＢＣ＝９０°、∠ＡＢＩ＝１５°、ＡＥ//ＢＣから∠ＣＢＥ＝∠ＡＥＢ＝ｘなので、
∠ＥＢＩ＝９０°－１５°－ｘ＝７５°－ｘ
です。

最後に△ＢＥＩの内角の和を考えると、
∠ＥＢＩ＋∠ＢＥＩ＋∠ＢＩＥ＝７５°－ｘ＋３６°＋ｘ＋３６°＋ｘ
　　　　　　　　　　　　　　＝１４７°＋ｘ
　　　　　　　　　　　　　　＝１８０°
から、
ｘ＝３３°
です。

したがって、∠ＡＥＢの大きさは ３３° で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｌｕｃｋ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉ　ｈｏｐｅ　ｆｏｒ　ｇｏｏｄ　ｌｕｃｋ， ａｎｄ　ｄｒｅｗ　ａｎ　ｏｍｉｋｕｊｉ．
（私は幸運をお願いし、そして、おみくじを引きます）
という文があります。

この ｌｕｃｋ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 ｌｕｃｋ を使ったいろいろな 成句 を見つけることができます。

それらのいくつかを拾ってみると、
● ｇｏｏｄ　ｌｕｃｋ
　《話》≪人に/事について≫（うまくいくように）幸運を祈る、がんばってほしい
　《皮肉で》（せいぜい）≪人の/事の≫幸運を祈る、好きにすればいい

　Ｇｏｏｄ　ｌｕｃｋ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｍａｔｃｈ！
（次の試合がんばってね）

● Ａｎｙ　ｌｕｃｋ？
　《くだけた話》うまくいったかい

　“Ａｎｙ　ｌｕｃｋ？” “Ｎｏ， ａｎｄ　Ｉ’ｖｅ　ｓｅａｒｃｈｅｄ　ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ．”
　（「見つかったかい」「ううん、全部捜したんだけど」）」

● ｂａｄ 〔ｈａｒｄ，ｔｏｕｇｈ〕 ｌｕｃｋ
　《主に英・くだけた話》≪人の≫運が悪かったんだ、≪...には≫気の毒に

　Ｂａｄ　ｌｕｃｋ， Ｐｈｉｌ， ｙｏｕ　ｐｌａｙｅｄ　ａ　ｇｒｅａｔ　ｇａｍｅ．
（ついていなかったな、フィル、いい試合だったのに）

● ｆｏｒ　ｌｕｃｋ
　 ・縁起をかついで、おまじないに
　
　 ｗｅａｒ　ａ　ｃｈａｒｍ　ｆｏｒ　ｌｕｃｋ
　（お守りを身につける）

　 ・特に理由はないがおまけに
　
● ｊｕｓｔ　ｏｎｅ’ｓ　ｌｕｃｋ
　《くだけた話》ええいまた（失敗）か、ついてないなあ

　Ｊｕｓｔ　ｍｙ　ｌｕｃｋ　ｔｏ　ｍｉｘ　ｕｐ　ｔｈｅ　ｄａｔｅｓ．
　（ああ、日を間違えちゃった）

● Ｎｏ　ｌｕｃｋ？
　《くだけた話》だめだったかい
　
● ｎｏ　ｓｕｃｈ　ｌｕｃｋ
　《くだけた話》（残念ながら）そうはいかなかった〔いかない〕

　“Ｄｉｄ　ｙｏｕ　ｇｅｔ　ａ　ｂｕｙｅｒ　ｆｏｒ　ｙｏｕｒ　ｈｏｕｓｅ　ｙｅｔ？”
　“Ｎｏ　ｓｕｃｈ　ｌｕｃｋ！”
　（「家の買い主はもう見つかったかい」「そう甘くはないさ」）

● ｗｉｔｈ　（ａｎｙ）　ｌｕｃｋ/《英》ｗｉｔｈ　ａ　ｂｉｔ　ｏｆ　ｌｕｃｋ
　《くだけた話》運がよければ、あわよくば
　
● ｗｏｒｓｅ　ｌｕｃｋ
　《英話》〔挿入句、または文尾で用いて〕運悪く、困ったことには、さらに困ったことには

などがあります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本数学オリンピック予選の問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「３×３のマス目の各マスに１以上９以下の整数を重複しないように１つずつ書き込む。辺を共有して隣りあうどの２マスについても書き込まれた整数の差が３以下になるように書き込む方法は何通りあるか。
　ただし、回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

例えば、１または９の隣りあうことができる整数は、それぞれ、２、３、４と６、７、８の３個ずつなので、３×３のマス目の中央のマスに書き込むことはできません。これらを手掛かりに９個の整数の書き込み方を勘定してもＯＫですが、ここでは、３つの行に書き込むことが可能な整数の組合せを調べましょう。

ある行の３つの整数の組合せを（１，２，３）とすると、これに対応する他の２行は、
（１，２，３）－（４，５，６），（７，８，９）
　　　　　　　－（４，５，７），（６，８，９）
　　　　　　　－（４，５，８），（６，７，９）
　　　　　　　－（４，６，７），（５，８，９）
　　　　　　　－（４，６，８），（５，７，９）
　　　　　　　－（４，７，８），（５，６，９）
　　　　　　　－（５，６，８），（４，７，９）
　　　　　　　－（５，７，８），（４，６，９）
になります。

一方、３つの列も隣りあうどの２マスに書き込まれた整数の差が３以下でなければならないので、上記の３行の組合せで、左側の組合せの３つの整数と中央の組合せの３つの整数の差が３以下になる３組のペアがなくてはなりません。

例えば、１番目の（１，２，３）－（４，５，６）は、１－４、２－５、３－６と３組のペアの差が３以下にすることができますが、２番目の（１，２，３）－（４，５，７）は、１－４、２－５、×３－７と３組のペアの差を３以下にすることができません。（判別方法は、２つの組合せの最大値同士、中央値同士、最小値同士の差が３以下になるか調べます）

これは中央の組合せと右側の組合せについても同様で、上記の組合せで条件を満たすものは、
（１，２，３）－（４，５，６），（７，８，９）
だけになります。

同様に、
（１，２，４）－（３，５，６），（７，８，９）
　　　　　　　－（３，５，７），（６，８，９）
　　　　　　　－（３，５，８），（６，７，９）
　　　　　　　－（３，６，７），（５，８，９）
　　　　　　　－（３，６，８），（５，７，９）

（１，３，４）－（２，５，６），（７，８，９）
　　　　　　　－（２，５，７），（６，８，９）
　　　　　　　－（２，５，８），（６，７，９）

（１，３，５）－（２，４，６），（７，８，９）
　　　　　　　－（２，４，７），（６，８，９）

（１，３，６）－（２，４，５），（７，８，９）
　　　　　　　－（２，４，７），（５，８，９）
　　　　　　　－（２，５，８），（４，７，９）

（１，４，５）－（２，３，６），（７，８，９）

（１，４，６）－（２，３，５），（７，８，９）

（１，４，７）－（２，３，５），（６，８，９）
　　　　　　　－（２，３，６），（５，８，９）
　　　　　　　－（２，５，８），（３，６，９）
の組合せで条件を満たすものは、先に示したものを含めて、
（１，２，３）－（４，５，６），（７，８，９）
（１，２，４）－（３，５，７），（６，８，９）
（１，３，６）－（２，５，８），（４，７，９）
（１，４，７）－（２，５，８），（３，６，９）
になり、図１にこれらの４つの組合せを３×３のマス目に書き込んだ一例を示します。

▲図１．４つの組合せを３×３のマス目に書き込んだ一例です

あとはこれらの４通りについて、行同士または列同士の可能な入れ替え方を勘定すればお仕舞いです。

図１の左端と右端および中央の２つは、行と列を入れ替えたものなので、これらの２つに分けて勘定しましょう。

初めに図２に示した、図１の左端と右端を調べます。

▲図２．図１の左端と右端を調べます

左側では、同じ行に書き込まれた２つの整数の差がいずれの場合も２以下なので、いずれの列も入れ替え可能で、その入れ替え方は３×２×１＝６（通り）です。

一方、行の入れ替えについては、１行目と３行目の入れ替えが可能で、その入れ替え方は２通りです。

したがって、左側の入れ替え方は６×２＝１２（通り）です。

右側も同様で、１２通りです。

したがって、図２の２つについて、入れ替え方は１２＋１２＝２４（通り）になります。

続いて図３に示した、図１の中央の２つです。

▲図３．図１の中央の２つを調べます

左側では、１列目と３列目、１行目と３行目の入れ替えが可能で、その入れ替え方は２×２＝４（通り）です。

右側も同様で、４通りです。

したがって、図３の２つについて、入れ替え方は４＋４＝８（通り）になります。

以上から、すべての入れ替え方は２４＋８＝３２（通り）になり、したがって、問題の条件を満たす書き込み方は ３２ 通りで、これが答えです。


煩雑に見えますが、機械的に進めることができるので簡単です。

ｇｉｖｅ ｕｐ ～ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｔｈｅ　ｄｒｉｖｅｒ　ｓａｉｄ， “Ｇｉｖｅ　ｕｐ　ｙｏｕｒ　ｓｅａｔ， ｏｒ　Ｉ’ｌｌ　ｃａｌｌ　ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｅ．”
（「席を譲りなさい、さもないと警察を呼びますよ」と運転手は言った）
という文があります。

この ｇｉｖｅ　ｕｐ を ウィズダム英和辞典 で調べてみると、 ｇｉｖｅ Ａ ｕｐ 〔ｕｐ Ａ〕（Ａ名詞、動名詞）の形で、
●《習慣など》をやめる、断つ
　ｇｉｖｅ　ｕｐ　ｓｍｏｋｉｎｇ〔× ｔｏ　ｓｍｏｋｅ〕
（喫煙をやめる）

●《考え・希望・仕事など》をあきらめる、すてる （受け身にしない）
　ｇｉｖｅ　ｕｐ　ｔｒｙｉｎｇ　ｔｏ　ｌｏｓｅ　ｗｅｉｇｈｔ
（やせようとするのをあきらめる）
を表すと記してあります。

さらに 語法のポイント として、 ｇｉｖｅ　ｕｐ　ｄｏｉｎｇ は「すでに始めていること、あるいは慣習的に行っていることをやめる」を意味するので、例えば、「私は大学進学をあきらめた」は、
× Ｉ　ｇａｖｅ　ｕｐ　ｇｏｉｎｇ　ｔｏ　ｃｏｌｌｅｇｅ．
ではなく、
○ Ｉ　ｇａｖｅ　ｕｐ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ｇｏｉｎｇ　ｔｏ　ｃｏｌｌｅｇｅ．
となります。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「差が１である２つの正の整数を大きい順に並べて得られる数を今年の数とよぶ。たとえば２０と１９を並べて得られる２０１９は今年の数である。１７で割り切れる今年の数としてありうる最小のものを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

差が１である２つの正の整数をＡとＡ－１としましょう。

Ａが１桁のとき、今年の数は １０、２１、３２、４３、５４、６５、７６、８７、９８ で、これらは１７で割り切れません。

したがって、Ａは２桁以上になります。

ここで、Ａが２桁であったとすると、今年の数Ｎは
Ｎ＝１００Ａ＋Ａ－１
　＝１０１Ａ－１　　　　　
になり、Ｎが１７で割り切れるとすると、
１０１Ａ－１＝１７ｎ　（ｎは整数）　　　（１）
が成り立ちます。

（１）を
１０１Ａ－１７ｎ＝１　　　　　　　　　　
とし、この辺々から
１０１×（－１）－１７×（－６）＝１
を引くと、
１０１（Ａ＋１）－１７（ｎ＋６）＝０
になり、これから、
１０１（Ａ＋１）＝１７（ｎ＋６）　　　　（２）
が成り立ちます。

（２）で、１０１と１７は互いに素なので、
Ａ＋１＝１７ｍ　（ｍは整数）
になり、これから
Ａ＝１７ｍ－１
です。

ここでＡは２桁なので
１≦ｍ≦５
です。

さらに今年の数が最小になるのは、Ａが最小のときで、したがって、
ｍ＝１
になり、これから
Ａ＝１７×１－１＝１６
Ａ－１＝１５
です。

以上から、１７で割り切れる最小の今年の数は １６１５ で、これが答えです。


簡単な問題です。

ａ．ｍ． と ｐ．ｍ． のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｔｉｍｅ： Ｆｒｏｍ　１０：００ ａ．ｍ．ｔｏ　４：００ ｐ．ｍ．
（時間：午前１０時～午後４時）
という表現があります。

この ａ．ｍ． と ｐ．ｍ． を 英語語義語源辞典 で調べてみると、
● ａ．ｍ．，Ａ．Ｍ．
　時刻を示す数字の後につけて、真夜中の０時から正午までの時間帯を指し、 午前 の意。

　語源は、ラテン語 ａｎｔｅ　ｍｅｒｉｄｉｅｍ（＝ｂｅｆｏｒｅ　ｎｏｏｎ）から

● ｐ．ｍ．，Ｐ．Ｍ．
　午後 の意

　語源は、ラテン語 ｐｏｓｔ　ｍｅｒｉｄｉｅｍ（＝ａｆｔｅｒ　ｎｏｏｎ）から
と記してあります。

さらに、これらの語法について、
● ａ．ｍ．，Ａ．Ｍ．，ｐ．ｍ．，Ｐ．Ｍ． の ピリオド は付けないこともある

● アメリカ では小文字の大きさの頭文字である スモール・キャピタル （ほぼ小文字サイズに小さくした大文字書体）を用いることが多く、 イギリス では 小文字 で表すことが多い

● 正午と真夜中の１２時は、混乱を避けて、１２ ｎｏｏｎ、１２ ｍｉｄｎｉｇｈｔ とされる

● 必ず 数字の後 に用い、ｏ’ｃｌｏｃｋ と一緒には用いない
　（日本ではよく数字の前につけられているが、英語では数字の後につける）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本数学オリンピック予選の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「どの桁も素数であるような正の整数を良い数という。３桁の良い数であって、２乗すると５桁の良い数になるものをすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

３桁の良い数を
Ｎ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
とすると、ａ、ｂ、ｃは、２、３、５、７のいずれかの素数で、さらに

を計算すると、

です。

ここから、ａの候補を調べましょう。

まず、ａが５、７のとき、

は６桁の数になり、不適です。

さらにａが３のとき、

は、５桁目の数が９、または、６桁の数になり、不適です。

したがって、ａの候補は２になります。

続いてｃの候補を調べましょう。

（★）を

と変形すると、

の１桁目の数は

の１桁目の数になり、

の１桁目の数が素数になるのは、ｃが５の場合です。

したがって、ｃの候補は５になります。

最後にｂの候補を調べましょう。

（★）にａ＝２、ｃ＝５を代入して整理すると、

になり、

の３桁目の数は

の１桁目の数で、これはｂと

の１桁目の和になります。

つまり、

になり、

の３桁目の数が素数になるのはｂ＝３のときです。

したがって、ｂの候補は３になります。

以上から、Ｎの候補は２３５で、これの２乗は５５２２５と良い数なので、２３５ が答えになります。


簡単な問題です。

ｓｐｏｒｔ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｈｅ　ｒｅａｌｌｙ　ｌｉｋｅｓ　ｓｐｏｒｔｓ．
（彼は本当にスポーツが好きなんだ）
という文があります。

この ｓｐｏｒｔ を ウィズダム英和辞典 で引いてみると、
● （個々の）スポーツ、運動競技 は、可算名詞で、単数形 ｓｐｏｒｔ、複数形 ｓｐｏｒｔｓ
● （集合的に）スポーツ
　・イギリス英語では、ｓｐｏｒｔ
　・アメリカ英語では、ｓｐｏｒｔｓ
という意味のことが書かれています。

これについて、 ロングマン英英辞典 に、
● Ｉｎ　Ｂｒｉｔｉｓｈ　Ｅｎｇｌｉｓｈ， ｙｏｕ　ｓａｙ：
　 Ｉ　ｌｉｋｅ　ｗａｔｃｈｉｎｇ　ｓｐｏｒｔ　ｏｎ　ＴＶ．
　 Ｓｐｏｒｔ　ｉｓ　ａｎ　ｕｎｃｏｕｎｔａｂｌｅ　ｎｏｕｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｍｅａｎｉｎｇ．
　（イギリス英語では、「テレビで ｓｐｏｒｔ を見るのが好きだ」と言い、この ｓｐｏｒｔ は不可算名詞である）

● Ｉｎ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ， ｙｏｕ　ｓａｙ：
　 Ｉ　ｌｉｋｅ　ｗａｔｃｈｉｎｇ　ｓｐｏｒｔｓ　ｏｎ　ＴＶ．
　 Ｓｐｏｒｔｓ　ｉｓ　ａ　ｐｌｕｒａｌ　ｎｏｕｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｍｅａｎｉｎｇ．
　（アメリカ英語では、「テレビで ｓｐｏｒｔｓ を見るのが好きだ」と言い、この ｓｐｏｒｔｓ は複数形である）
と解説しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

日本ジュニア数学オリンピック予選の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１９年日本ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ は相異なる１以上９以下の整数であり、 ａｂ＝ｃｄ＝ｅ＋ｆ をみたしているとする。
このとき、 ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ としてありうる値をすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

Ｎ＝ａｂ＝ｃｄ＝ｅ＋ｆ
とすると、
１＋２＝３≦ｅ＋ｆ≦８＋９＝１７
から、
３≦Ｎ≦１７　　　（１）
になります。

一方、Ｎは相異なる４個の整数 ａ、ｂ、ｃ、ｄ の２組の積 ａｂ と ｃｄ に等しくなるので、Ｎは１以上９以下の約数を４個以上持たなければなりません。

そこで、（１）を満たすＮの１以上９以下の約数の個数を調べると、
　Ｎ　　個数
　３ ： ２個（１，３）
　４ ： ３個（１，２，４）
　５ ： ２個（１，５）
　６ ： ４個（１，２，３，６）
　７ ： ２個（１，７）
　８ ： ４個（１，２，４，８）
　９ ： ３個（１，３，９）
１０ ： ３個（１，２，５）
１１ ： １個（１）
１２ ： ５個（１，２，３，４，６）
１３ ： １個（１）
１４ ： ３個（１，２，７）
１５ ： ３個（１，３，５）
１６ ： ４個（１，２，４，８）
１７ ： １個（１）
となり、Ｎ＝６、８、１２、１６ のとき、１以上９以下の約数が４個以上あることが判りました。

ここから、Ｎ＝６、８、１２、１６ のそれぞれ場合について調べていきましょう。

● Ｎ＝６ の場合
ａ、ｂ、ｃ、ｄ は １、２、３、６ のいずれかなので、ｅ、ｆ は ４、５、７、８、９ のなかの２つの整数でなければなりませんが、その２つの整数の和が６になる組合せはありません。

したがって、Ｎ＝６ は不適です。

● Ｎ＝８ の場合
ａ、ｂ、ｃ、ｄ は １、２、４、８ のいずれかなので、ｅ、ｆ は ３、５、６、７、９ のなかの２つの整数でなければなりませんが、その２つの整数の和が８になる組合せは３と５です。

したがって、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝１＋２＋４＋８＋３＋５＝２３ になります。

● Ｎ＝１２ の場合
ａ、ｂ、ｃ、ｄ は ２、３、４、６ のいずれかなので、ｅ、ｆ は １、５、７、８、９ のなかの２つの整数でなければなりませんが、その２つの整数の和が１２になる組合せは５と７です。

したがって、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝２＋３＋４＋６＋５＋７＝２７ になります。

● Ｎ＝１６ の場合
１、２、４、８ のなかの２つの整数の積がともに１６になることはありません。

したがって、Ｎ＝１６ は不適です。

以上から、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ としてありうる値は ２３、２７ で、これが答えです。


簡単な問題です。