中学生でも手が届く東大入試問題（３９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１１年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ｃをｃ＞１/４を満たす実数とする。ｘｙ平面上の放物線

をＡとし、直線ｙ＝ｘ－ｃに関してＡと対称な放物線をＢとする。点Ｐが放物線Ａ上を動き、点Ｑが放物線Ｂ上を動くとき、線分ＰＱの長さの最小値をｃを用いて表せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、放物線Ａ、Ｂに直線ｙ＝ｘ－ｃと平行な接線を引き、それぞれの接点をＰ0、Ｑ0とすると、線分Ｐ0Ｑ0の長さが線分ＰＱの長さの最小値になります。

▲図１．線分Ｐ0Ｑ0の長さが線分ＰＱの長さの最小値です

このとき、直線ｙ＝ｘ－ｃは線分Ｐ0Ｑ0と垂直に交わり、その交点をＭとすると、Ｍは線分Ｐ0Ｑ0の中点になります。

そこで図２のように、

とおいて、線分ＰＱの長さをｔで表しましょう。

▲図２．線分ＰＱの長さをｔで表します

直線ＰＱの傾きは－１で、これが点Ｐを通ることから、直線ＰＱの式は、

になります。

また点Ｍは、直線ｙ＝ｘ－ｃ と（★）の交点なので、

です。

ここで、線分ＰＱの長さは線分ＰＭの長さの２倍なので、

で、線分ＰＭの長さは

のとき、最小値

になり、これが答えです。

簡単な問題です。