中学生でも手が届く東大入試問題（３６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２３年度東大入試問題（前期、理系）です。

問題は、
「座標平面において、点Ｐ（０，１）を中心とする半径１の円をＣとする。ａを０＜ａ＜１を満たす実数とし、直線ｙ＝ｘ（ａ＋１）とＣとの交点をＱ、Ｒとする。
（１）△ＰＱＲの面積Ｓ（ａ）を求めよ。
（２）ａが０＜ａ＜１の範囲を動くとき、Ｓ（ａ）が最大となるａを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

問題の図を描くと図１のようになります。このとき、０＜ａ＜１から、直線ＱＲとｙ軸の交点Ａは原点Ｏと点Ｐの間にあります。

▲図１．問題の図を描きました

まず図２のように、点Ｐから直線ＱＲに下ろした垂線の足をＨとすると、直線ＰＨは、

になり、これと直線ＱＲの式から、Ｈの座標は、

になります。

▲図２．点Ｐから直線ＱＲに下ろした垂線の足をＨとしました

すると、

になり、

です。

一方、

から

で、

になります。

したがって、△ＰＱＲの面積Ｓ（ａ）は、

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

図３のように、線分ＰＨの長さをｈとしましょう。このとき、

です。

▲図３．線分ＰＨの長さをｈとしました

すると、

になり、

です。

そこで、これを変形すると、

になり、

のとき、Ｓ（ｈ）は最大になります。

ここで、

のときのａを計算すると、

から

で、これを解くと、

になり、０＜ａ＜１から

です。

したがって、Ｓ（ａ）が最大となるａは

で、これが答えです


簡単な問題です。