こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「黒板に３つの相異なる正の整数が書かれている。黒板に実数ａ、ｂ、ｃが書かれているとき、それぞれを
に同時に書き換えるという操作を考える。この操作を２０２１回行ったところ、最後に黒板に書かれた３つの数はすべて正の整数だった。このとき、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値を求めよ。」
です。
最初に書かれていた３つの相異なる正の整数を ａ0、ｂ0、ｃ0 とします。このとき、対称性から １≦ａ0＜ｂ0＜ｃ0 としても一般性は失いません。
また、１以上２０２１以下の整数ｎについて、ｎ回目の操作後に黒板に書かれている数をａn、ｂn、ｃn とすると、
が成り立ち、これらの式の辺々を足し合わせると、
になり、したがって、
で、これらから、
になります。ここで、最初に書かれていた３つの正の整数の和をｓとしました。
続いて（２）を（１）に代入すると、
になり、これらの漸化式を解くと、
です。
ここで（４）から ｂn－ａn、ｃn－ａn をつくり、さらにｎ＝２０２１とすると、
で、これらから、
になります。
一方（５）から、
になり、このとき ａ2021、ｂ2021 はともに整数なので、
です。
さらに（５）から
になり、このとき ａ2021、ｃ2021 はともに整数なので、
です。
すると、ａ≧１ 、（６）（７）（８）から、
が成り立ちます。
ここから、
のとき、（６）の不等式の等号が成り立ち、かつ、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 が正の整数になるかを調べます。
なので、（６）の不等式の等号は成り立ちます。
また（４）から、
で、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 は正の整数になり、与えられた条件を満たします。
以上から、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「黒板に３つの相異なる正の整数が書かれている。黒板に実数ａ、ｂ、ｃが書かれているとき、それぞれを
に同時に書き換えるという操作を考える。この操作を２０２１回行ったところ、最後に黒板に書かれた３つの数はすべて正の整数だった。このとき、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値を求めよ。」
です。
最初に書かれていた３つの相異なる正の整数を ａ0、ｂ0、ｃ0 とします。このとき、対称性から １≦ａ0＜ｂ0＜ｃ0 としても一般性は失いません。
また、１以上２０２１以下の整数ｎについて、ｎ回目の操作後に黒板に書かれている数をａn、ｂn、ｃn とすると、
が成り立ち、これらの式の辺々を足し合わせると、
になり、したがって、
で、これらから、
になります。ここで、最初に書かれていた３つの正の整数の和をｓとしました。
続いて（２）を（１）に代入すると、
になり、これらの漸化式を解くと、
です。
ここで（４）から ｂn－ａn、ｃn－ａn をつくり、さらにｎ＝２０２１とすると、
で、これらから、
になります。
一方（５）から、
になり、このとき ａ2021、ｂ2021 はともに整数なので、
です。
さらに（５）から
になり、このとき ａ2021、ｃ2021 はともに整数なので、
です。
すると、ａ≧１ 、（６）（７）（８）から、
が成り立ちます。
ここから、
のとき、（６）の不等式の等号が成り立ち、かつ、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 が正の整数になるかを調べます。
なので、（６）の不等式の等号は成り立ちます。
また（４）から、
で、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 は正の整数になり、与えられた条件を満たします。
以上から、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
