図形問題（３９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、図形問題です。

問題は、
「下図のように、ＡＢ＞ＡＣ の △ＡＢＣ が円に内接している。

▲問題図

Ａを通る接線とＢＣの延長の交点をＰとし、∠ＢＡＣの二等分線とＢＣとの交点をＱとする。
ＡＰ＝１０、ＣＰ＝６のとき、ＢＱの長さを求めよ。」
です。

前回の図形問題（図形問題（３８））は、相似、三平方の定理、方べきの定理のコンビネーションでしたが、今回は、方べきの定理、接弦定理、相似、角の二等分線定理あたりになりそうです。

まず方べきの定理から

が成り立ち、これに、ＰＣ＝６、ＰＡ＝１０ を代入し整理すると、

です。

このとき、ＢＣ＝ＰＢ－ＰＣから、図１のように、

になります。

次に △ＡＢＰと△ＣＡＰに注目すると、接弦定理から ∠ＡＢＰ＝∠ＣＡＰ、∠Ｐは共通なので、△ＡＢＰ∽△ＣＡＰになり、したがって、図２のように、

になります。

▲図２．ＡＢ：ＡＣ＝５：３ です

すると図３のように、角の二等分線定理から
ＢＱ：ＣＱ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３
です。

▲図３．ＢＱ：ＣＱ＝５：３ です

したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

ａｂｌｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉｎ　ｔｈｅｓｅ　ｅｖｅｎｔｓ， ｗｅ　ｗｅｒｅ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｓｅｅ　Ｂｒａｚｉｌｉａｎｓ’　ｌｏｖｅ　ｆｏｒ　ｓｐｏｒｔｓ　ａｎｄ　ｓｏｃｃｅｒ　ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ．
（これらのイベントで、私たちは、ブラジルの人たちの、特にスポーツやサッカーへの愛情を知ることができました）
という文があります。

この ａｂｌｅ は 形容詞 で、上記の文のように、 ｂｅ　ａｂｌｅ　ｔｏ という 成句 で頻繁にお目にかかりますが、名詞に直接つけて用いる 限定用法 で使うこともできて、例えば、 オックスフォード現代英英辞典 には、
　
　Ｈｅ　ｗａｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ａｂｌｅ　ｍａｎ　ｉｎ　ｂｕｓｉｎｅｓｓ　ｍａｔｔｅｒｓ．
（彼は仕事ではとても有能な男だった）

　Ｓｈｅ’ｓ　ｔｈｅ　ａｂｌｅｓｔ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓ．
（彼女はクラスで一番の学生です）

という用例が挙げてあります。

また コンパスローズ英和辞典 は、 ａｂｌｅ を 「多才で幅広く、将来性を含めた有能さ」 を表わすとし、 ａｂｌｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ を「有能で将来性のある生徒たち」としています。

これに対して、 ｃａｐａｂｌｅ は 「実際的で、ある特定の仕事に対する訓練された有能さ」 を意味し、 ｃａｐａｂｌｅ　ｌａｗｙｅｒｓ を 「有能な弁護士」 としています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

整数問題（４２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「正の整数Ｎは、
　
を満たしている。

このとき、Ｎを７で割ったときの余りを求めよ。」
です。

与えられた式の両辺に１３！を掛けると、

になり、この右辺の

以外の項は７で割り切れるので、Ｎを７で割ったときの余りは

を７で割ったときの余りに等しくなります。

そこで、

を７で割ったときの余りを計算しましょう。

ここから、
　（整数の積をある整数Ａ（ここでは７）で割ったときの余り）
＝（それぞれの因数をＡで割ったときの余りの積をＡで割ったときの余り）
になることを利用して（★）を変形していきます。


です。

これから各因数の余りの積をつくり、それを変形すると、

になり、もう一度各因数の余りの積をつくり、それを計算すると、

です。

以上から、（★）を７で割ったときの余りは １ になります。

したがって、Ｎを７で割ったときの余りは １ で、これが答えです。


負数の余りや合同式・ウィルソンの定理を使えばより簡潔になります。

ｐｅｎ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｉ　ｈａｖｅ　ｔｈｒｅｅ　ｐｅｎｓ， ｆｉｖｅ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ａｎｄ　ｔｗｏ　ｅｒａｓｅｒｓ．
（ペン３本に鉛筆５本、それと消しゴム２個だよ）
という文があります。

この ｐｅｎ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、 ｉｎ　ｐｅｎ という 慣用句 が載っていて、用例として、
　Ｐｌｅａｓｅ　ｆｉｌｌ　ｏｕｔ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｉｎ　ｐｅｎ．
（その申込み用紙にペンで記入してください）
を挙げています。

また ウィズダム英和辞典 には、
ｗｒｉｔｅ　ｉｎ　ｐｅｎ ＝ ｗｒｉｔｅ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｎ（ペンで書く）
と説明していて、これは ｐｅｎｃｉｌ（鉛筆）でも同じということです。

そこで Ｇｏｏｇｌｅ Ｂｏｏｋｓ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で、これらの 使用頻度 を調べてみたところ、
ｉｎ　ｐｅｎ ： ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｎ ＝ １ ： ２８
ｉｎ　ｐｅｎｃｉｌ ： ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｎｃｉｌ ＝ １．４ ： １
でした。

ｐｅｎ では ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｎ が 圧倒的に優勢 ですが、それと反対に ｐｅｎｃｉｌ では ｉｎ　ｐｅｎｃｉｌ が 若干多く なっています。

頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

組合せの問題（６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、１９９２年ＡＩＭＥの組合せの問題です。

問題は、
「１０００以上２０００以下の連続する２つの整数の組で、足し算したときに繰り上がりの起こらない組はいくつか。」
です。

各桁の数が４以下であれば繰り上がりは起きませんが、そのほかに １００９と１０１０ のような繰り上がりが起こらない組があることに気を付けましょう。

１０００以上２０００以下の連続する２つの整数 ｎ と ｎ＋１ を十進法表記で、
　ｎ　＝１ａｂｃ　
ｎ＋１＝１ａ’ｂ’ｃ’　（ａ’、ｂ’、ｃ’のいずれかが０でないとき）
　　　＝２０００　（ａ’＝ｂ’＝ｃ’＝０ のとき）
とします。

このとき、ａ、ｂ、ｃ、ａ’、ｂ’、ｃ’ は０以上９以下の整数で、
（１）ｃ≠９ のとき
　　　ｃ’＝ｃ＋１、ｂ’＝ｂ、ａ’＝ａ

（２）ｃ＝９、ｂ≠９のとき
　　　ｃ’＝０、ｂ’＝ｂ＋１、ａ’＝ａ

（３）ｃ＝ｂ＝９、ａ≠９ のとき
　　　ｃ’＝ｂ’＝０、ａ’＝ａ＋１

（４）ｃ＝ｂ＝ａ＝９ のとき
　　　ｃ’＝ｂ’＝ａ’＝０
になります。

ここから、（１）（２）（３）（４）のそれぞれの場合について、繰り上がりの起こらない場合の数を勘定していきます。

（１）の場合
繰り上がりが起こらない条件は、
ｃ＋ｃ’，ｂ＋ｂ’，ａ＋ａ’≦９
で、これらに ｃ’＝ｃ＋１、ｂ’＝ｂ、ａ’＝ａ を代入すると、
２ｃ＋１≦９ → ｃ≦４ → ０≦ｃ≦４
　２ｂ　≦９ → ｂ≦４ → ０≦ｂ≦４
　２ａ　≦９ → ａ≦４ → ０≦ａ≦４
になります。

したがって、繰り上がりの起こらない場合の数は、

です。

（２）の場合
繰り上がりが起こらない条件は、
ｂ＋ｂ’，ａ＋ａ’≦９
で、これらに ｂ’＝ｂ＋１、ａ’＝ａ を代入すると、
２ｂ＋１≦９ → ｂ≦４ → ０≦ｂ≦４
　２ａ　≦９ → ａ≦４ → ０≦ａ≦４
になります。

したがって、繰り上がりの起こらない場合の数は、

です。

（３）の場合
繰り上がりが起こらない条件は、
ａ＋ａ’≦９
で、これに ａ’＝ａ＋１ を代入すると、
２ａ＋１≦９ → ａ≦４ → ０≦ａ≦４
になります。

したがって、繰り上がりの起こらない場合の数は、
５（通り）
です。

（４）の場合
ｎ＝１９９９、ｎ＋１＝２０００ なので、繰り上がりは起こらず、この場合の数は、
１（通り）
です。

以上から、繰り上がりの起こらない組は、１２５＋２５＋５＋１＝ １５６（通り） で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｉ　ｔｈｉｎｋ　ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ　ａｎｉｍａｌｓ　ａｒｅ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｔｏｐｉｃ．
（絶滅の危機に瀕している動物は重要なテーマだと思います）
という文があります。

この ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、

（ｕｓｅｄ　ａｂｏｕｔ　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ａｎｉｍａｌｓ， ｐｌａｎｔｓ， ｅｔｃ．）
ａｔ　ｒｉｓｋ　ｏｆ　ｎｏ　ｌｏｎｇｅｒ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ
〔（動植物のグループなどについて用いられる）もはや存在しない恐れがある〕

と説明しています。

また、「現代アメリカを読み解く」（杉田敏著）の ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ　ｓｐｅｃｉｅｓ（絶滅危惧種）についての解説には、

● ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ　ｓｐｅｃｉｅｓ は絶滅が危惧される野生動物のほかに、 ＡＴＭ 、 ｐｈｏｎｅ　ｂｏｏｔｈ（公衆電話ボックス）や ｒｏｔａｒｙ　ｄｉａｌ　ｐｈｏｎｅ（ダイヤル式電話機）などの 「消滅するおそれのあるもの」 という広い意味で使われることもあるとし、

　Ｐａｙｐｈｏｎｅ　ａｒｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　ａｎ　ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ　ｓｐｅｃｉｅｓ．
（公衆電話は間違いなく絶滅危惧種です）

を用例として挙げています。

ちなみに、手元にある英英辞典で調べてみたところ、

〔見出し語（形容詞）として掲載〕
・オックスフォード現代英英辞典
・ロングマン英英辞典

〔動詞ｅｎｄａｎｇｅｒの派生語（形容詞）として掲載〕
・コリンズ英英大辞典

〔掲載なし〕
・コウビルト英英辞典
・ＷＥＢＳＴＥＲ’Ｓ　ＮＥＷ　ＷＯＲＬＤ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＤＩＣＴＩＯＮＡＲＹ
・Ｔｈｅ　ＡＭＥＲＩＣＡＮ　ＨＥＲＩＴＡＧＥ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｌａｎｇｕａｇｅ　　

となっていて、ｅｎｄａｎｇｅｒｅｄ の 形容詞化 は現在進行中といった感じです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

数式の問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、不等式の問題です。

問題は、
「ｎ≧２の整数で、
　
とする。

このとき、
　
が成り立つことを示せ。」
です。

不等式の左辺を変形すると、

になります。

ここで、相加相乗平均の不等式を利用すると、

が成り立ちます。（１≦ｋ、ｌ≦ｎ の整数で ｋ≠ｌ のとき、

なので、１行目の式と２行目の式が等しくなることはありません）

最後に、両辺にｎを乗じると、

になり、問題の不等式が成り立つことを示すことができました。

左辺のｎをｎ個の１に分けて、ｎ個の項に分配するところが楽しい問題です。

ｇｒａｄｕａｔｅ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
Ｉ’ｌｌ　ｇｒａｄｕａｔｅ　ｆｒｏｍ　ｊｕｎｉｏｒ　ｈｉｇｈ　ｓｃｈｏｏｌ　ｉｎ　Ｍａｒｃｈ．
（３月に中学校を卒業します）
という文があります。

この ｇｒａｄｕａｔｅ を 現代英語語法辞典 で引いてみると、 イギリス英語 と アメリカ英語 との違いについて、

● イギリス英語 では、 大学で学位を取得し卒業する ことを意味し、大学以外の学校には ｌｅａｖｅ　ｓｃｈｏｏｌ、ｆｉｎｉｓｈ/ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｕｒｓｅ　ｏｆ などを用いる
　
● アメリカ英語 では、 大学以外に小、中、高校および各種の学校を卒業する ことを意味する

とあり、例文として、

　Ｈｅ　ｇｒａｄｕａｔｅｄ　ｆｒｏｍ　Ｇｌａｓｇｏｗ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｉｎ　１９９０．
（彼は１９９０年にグラスゴー大学を卒業した）

　Ｍａｒｔｈａ　ｇｒａｄｕａｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｈｉｇｈ　ｓｃｈｏｏｌ　ｔｗｏ　ｙｅａｒｓ　ａｇｏ．
（マーサは２年前に高校を卒業した）

　Ｓｈｅ’ｓ　ｊｕｓｔ　ｇｒａｄｕａｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｏｋｅｒｙ．
（彼女は料理学校を卒業したばかりだ）

を挙げています。

さらに、
● 卒業した所を示すとき
　 イギリス英語 ： ｆｒｏｍ、ａｔ
　 アメリカ英語 ： ｆｒｏｍ、（ａｔ はまれ）

● 専攻学科を示すとき ： ｉｎ
を伴い、例文として、

　Ｓｈｅ　ｇｒａｄｕａｔｅｄ　ｉｎ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ａｔ　Ｏｘｆｏｒｄ．
（彼女はオックスフォード大学で歴史を専攻し、卒業した）

　Ｓｈｅ　ｇｒａｄｕａｔｅｄ　ｉｎ　Ｅｎｇｌｉｓｈ　ａｎｄ　Ｄｒａｍａ　ｆｒｏｍ　Ｍａｎｃｈｅｓｔｅｒ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．
（彼女は英語と演劇を専攻し、マンチェスター大学を卒業した）

を挙げています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。　

図形問題（３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１５年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「下図のように、半径１の円Ｐと半径４の円Ｑが点Ａで接している。

▲問題図

また点Ｂと点Ｃはそれぞれ円Ｐと円Ｑの周上にあり、直線ＢＣは２つの円の共通の接線である。

このとき点Ａを通る直線を引き、その直線と円Ｐとの交点でＡでない方の点をＤ、円Ｑとの交点でＡでない方の点をＥとする。

△ＡＢＤと△ＡＣＥの面積が等しいとき、その面積を求めよ。」
です。

△ＡＢＤと△ＡＣＥの面積が等しいという条件をどのように使うかが難しそうなところですが、取り敢えず図１のように、直線ＡＢと円Ｑとの交点でＡでない方の点をＦとし、さらに点Ｅと点Ｆを結んで△ＡＥＦを作りましょう。

▲図１．△ＡＥＦを作りました

このとき点Ａは相似の中心なので、点Ｆは直線ＢＣと平行な直線ｌの接点になり、線分ＣＦは円Ｑの直径になります。

また△ＡＢＤ∽△ＡＥＦで、その相似比が １：４ から面積比は １：１６ で、このとき△ＡＢＤと△ＡＣＥの面積が等しいので、△ＡＣＥと△ＡＥＦの面積比は １６：１ です。

したがって図２のように、

です。

次に図３のように、円Ｐの中心Ｏ1と円Ｑの中心Ｏ2を結び、さらに中心Ｏ1から直線ＣＦに垂線を下ろし、その足をＧとすると、
Ｏ1Ｏ2＝５
Ｏ2Ｇ＝３
から
Ｏ1Ｇ＝４
です。

▲図３．Ｏ1Ｇ＝４です

ここまでで、△ＡＣＥの面積が計算できそうな雰囲気になってきました。

ここから、相似、三平方の定理、方べきの定理を使って、△ＡＣＥの面積計算に必要な線分の長さ求めていきましょう。

図４のように点Ａから直線ＢＣに垂線を下ろし、その足をＩとすると、△ＡＢＩ∽△ＦＢＣで、その相似比は１：５です。したがって、

です。

▲図４．△ＡＣＥの面積計算に必要な線分の長さを求めていきます

また、直線ＡＥと直線ＣＦの交点をＨ、直線ＡＥと直線ＢＣの交点をＫとすると、△ＫＡＩ∽△ＫＨＣから
ＫＩ：ＡＩ＝ＫＣ：ＨＣ
が成り立ち、これに

を代入して整理すると、

です。

次に、△ＡＩＫに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

で、ＡＫ＞０から

です。

次に、円Ｑ、割線ＫＡ、接線ＫＣに方べきの定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

で、

です。

ここで図５のように、点Ｅから直線ＩＫに下ろした垂線の足をＬとすると、

で、したがって、

になります。

以上から、求める面積は

で、これが答えです。


計算は煩雑ですが、見通しのよい問題です。

ｆｌｏｗｅｒ と ｂｌｏｓｓｏｍ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の英語教科書に、
Ｌｏｏｋ　ａｔ　ｔｈｉｓ　ｆｌｏｗｅｒ．
（見て、この花）
Ｉ　ｓａｗ　ｃｈｅｒｒｙ　ｂｌｏｓｓｏｍｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｃｈｏｏｌｙａｒｄ．　
（校庭の桜の花を見ました）
という文があります。

これらの ｆｌｏｗｅｒ や ｂｌｏｓｓｏｍ は 「花」 を表わしますが、これらの違いについて ｂｌｏｏｍ を含めて、 現代英語語法辞典 に、

● ｆｌｏｗｅｒ、ｂｌｏｓｓｏｍ、ｂｌｏｏｍ はいずれも 植物の花 に用いられる

● ｆｌｏｗｅｒ は一般に日常よく用いられる語で、 花の種類を問わず総称的 に用いる

● ｂｌｏｓｓｏｍ は 果実の花 を表わし、 ｂｌｏｏｍ は 鑑賞用の花 を指す
　 ・リンゴ、オレンジ などの木の花 → ｂｌｏｓｓｏｍ
　 ・バラ、菊 の花 → ｂｌｏｏｍ

● 実のなる潅木 や 小さな果実のなる植物、例えば、イチゴ（ｓｔｒａｗｂｅｒｒｙ）、グズベリー（ｇｏｏｓｅｂｅｒｒｙ）などの花には ｆｌｏｗｅｒ を用いて、 ｂｌｏｓｓｏｍ や ｂｌｏｏｍ は用いない

と説明しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

整数問題（４１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「２桁の整数であって、いずれの桁の数も元の数を割り切るものの総和を求めよ。」
です。

２桁の整数Ｎを
Ｎ＝１０ａ＋ｂ
としましょう。

ここで、ａ、ｂはＮを割り切るので ａ，ｂ≠０ から
１≦ａ，ｂ≦９　　　　　　（１）
の整数になります。

このとき、Ｎはａで割り切れることから

は整数になり、したがって、ａはｂを割り切り、
ｂ＝ｋａ　　　　　　　　　（２）
とすることができます。

ここで、

から、ｋは、

を満たす整数です。　

さらに、Ｎはｂで割り切れることから

は整数になり、したがって、ｂは１０ａを割り切ります。

すると（２）から、ｋａは１０ａを割り切ることになり、したがって、ｋは１０を割り切ります。

ここで、１０を割り切る正の整数は、１、２、５ なので、ｋ＝１、２、５ になります。

ここから、ｋの値で場合分けしましょう。

● ｋ＝１ の場合
（２）から ａ＝ｂ で、
Ｎ＝１１、２２、３３、４４、５５、６６、７７、８８、９９
です。

● ｋ＝２ の場合
（２）から ａ＝２ｂ で、
Ｎ＝１２、２４、３６、４８
です。

● ｋ＝５ の場合
（２）から ａ＝５ｂ で、
Ｎ＝１５
です。

以上から、条件を満たすＮの総和は、
　　１１＋２２＋３３＋４４＋５５＋６６＋７７＋８８＋９９
　＋１２＋２４＋３６＋４８
　＋１５
＝　１１×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）
　＋１２×（１＋２＋３＋４）
　＋１５
＝１１×４５＋１２×１０＋１５
＝４９５＋１２０＋１５
＝ ６３０
で、これが答えです。


簡単な問題です。

ｇｏｏｄ ｐｏｉｎｔｓ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の英語教科書に、
Ｌｅｔｔｅｒｓ　ａｎｄ　ｐｈｏｎｅ　ｃａｌｌｓ　ａｒｅ　ｌｅｓｓ　ｐｏｐｕｌａｒ， ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｈａｖｅ　ｇｏｏｄ　ｐｏｉｎｔｓ．
（手紙や電話は（Ｅメール）より人気がありませんが、それらにも良いところがあります）
という文があります。

この ｐｏｉｎｔ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、

ａ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｒ　ｆｅａｔｕｒｅ　ｔｈａｔ　ｓｏｍｅｏｎｅ/ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｈａｓ
（人や物が有する注目すべき性質または特徴）

と説明していて、用例として、

Ｌｉｖｉｎｇ　ｉｎ　Ｓｃｏｔｌａｎｄ　ｈａｓ　ｉｔｓ　ｇｏｏｄ　ｐｏｉｎｔｓ　ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｗｅａｔｈｅｒ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅｍ．
（スコットランドに住むと良いことがあるが天気は別だ）

Ｔａｃｔ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｈｅｒ　ｓｔｒｏｎｇ　ｐｏｉｎｔｓ．
（気配りは彼女の良いところの一つではない→彼女は気が利かない）

Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｏｔｅｌ’ｓ　ｐｌｕｓ　ｐｏｉｎｔｓ（＝ｇｏｏｄ　ｆｅａｔｕｒｅ） ｉｓ　ｔｈａｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｃｅｎｔｒａｌ．
（そのホテルの良い点はとても地の利がよいことだ）

などを挙げています。

これらの用例にある ｇｏｏｄ　ｐｏｉｎｔｓ，ｓｔｒｏｎｇ　ｐｏｉｎｔｓ，ｐｌｕｓ　ｐｏｉｎｔｓ はいずれも「長所、良いところ」を意味しますが、これらの 使用頻度 を Ｇｏｏｇｌｅ　Ｂｏｏｋｓ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で調べてみると、

ｇｏｏｄ～ ： ｓｔｒｏｎｇ～ ： ｐｌｕｓ～ ＝ １９ ： １８ ： １

と、ｇｏｏｄ　ｐｏｉｎｔｓ と ｓｔｒｏｎｇ　ｐｏｉｎｔｓ は拮抗していて、どちらもよく使われているようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

組合せの問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、組合せの問題です。

問題は、
「０，１，２，３，４，５，６ の７個の数を一列に並べる。このとき、すべての連続する４個の数の和が３で割りきれるような並べ方は何通りか。」
です。

ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，ａ5，ａ6，ａ7
を条件を満たす並べ方とすると、
ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＝（３の倍数）　　　（１）
ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＝（３の倍数）　　　（２）
ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＝（３の倍数）　　　（３）　　　
ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7＝（３の倍数）　　　（４）
になります。

ここで（１）＋（４）から
　ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7
＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7＋ａ4
＝（３の倍数）
で、このとき、
ａ１＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7
＝０＋１＋２＋３＋４＋５＋６
＝２１
＝（３の倍数）
なので、
ａ4＝（３の倍数）
です。

すると（１）と（４）から
ａ1＋ａ2＋ａ3＝（３の倍数）－ａ4＝（３の倍数）
ａ5＋ａ6＋ａ7＝（３の倍数）－ａ4＝（３の倍数）
です。

ここで、０から６までの３で割ったときの余りをまとめると、
数　 余り
０ → ０
１ → １
２ → ２
３ → ０
４ → １
５ → ２
６ → ０
で、このとき、ａ4 を３で割ったときの余りは０なので、残りの余りは、０、１、２がそれぞれ２個ずつになり、したがって、（ａ1，ａ2，ａ3） と （ａ5，ａ6，ａ7） のいずれの組も、余り０、１、２の並び替えになります。

一方、（１）－（２）、（２）－（３）、（３）－（４）から、
ａ1－ａ5＝（３の倍数）
ａ2－ａ6＝（３の倍数）
ａ3－ａ7＝（３の倍数）
で、ａ1、ａ2、ａ3、ａ5、ａ6、ａ7 を３で割った余りは、ａ1 と ａ5、ａ2 と ａ6、ａ3 と ａ7 で同じになります。

以上をまとめると、
① ａ4 は、０、３、６ のいずれか
②（ａ1，ａ2．ａ3）と（ａ5，ａ6，ａ7）の組は３で割った余りが（０，１，２）の並び替え
③ ３で割った余りは、ａ1 と ａ5、ａ2 と ａ6、ａ3 と ａ7 で同じ
になります。

あとは組合せ数を計算してお仕舞いです。

①②③のそれぞれの場合の数は、
① ａ4 の選び方は３通り
② ａ4 を除いて残った数を３で割ったときの余りは０、１、２が２個ずつなので、（ａ1，ａ2，ａ3）と（ａ5，ａ6，ａ7）の２組への振り分け方は、２×２×２＝８（通り）
③ ａ1、ａ2、ａ3 の数を決めるとａ5、ａ6、ａ7 の数が決まるので、（ａ1，ａ2，ａ3）、（ａ5，ａ6，ａ7）の並べ方は３×２×１＝６（通り）
です。

したがって、条件を満たす並べ方は、３×８×６＝１４４（通り）で、これが答えです。


合同式を利用すると簡潔になります。

ｈｅｌｐｉｎｇ のはなし

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の英語教科書に、
ａｎｏｔｈｅｒ　ｈｅｌｐｉｎｇ
（おかわり）
という言葉があります。

この ｈｅｌｐｉｎｇ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、
ａｎ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｆｏｏｄ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ａｔ　ｍｅａｌ
（食事に出される食べ物の量）
とあって、例文として、
Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｈｅｌｐｉｎｇ　ｏｆ　ｍａｓｈｅｄ　ｐｏｔａｔｏｅｓ？
（マッシュポテトのおかわりはいかがですか）
を挙げています。

さらに、 ａｎｏｔｈｅｒ の代わりに ｓｅｃｏｎｄ　ｈｅｌｐｉｎｇ として「おかわり」を表わすこともできます。

また、 ｓｅｒｖｉｎｇ は、
ａｎ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｆｏｏｄ　ｆｏｒ　ｏｎｅ　ｐｅｒｓｏｎ
（一人分の食べ物の量）
という意味で、
ａｎｏｔｈｅｒ　ｓｅｒｖｉｎｇ
ｓｅｃｏｎｄ　ｓｅｒｖｉｎｇ
も「おかわり」を意味します。

ちなみに、 Ｏｘｆｏｒｄ　Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｆｏｒ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｅｎｇｌｉｓｈ によると、「大盛り、山盛り」は、
ｇｅｎｅｒｏｕｓ　ｈｅｌｐｉｎｇ
ｌａｒｇｅ　ｈｅｌｐｉｎｇ
ｈｅａｐｉｎｇ　ｈｅｌｐｉｎｇ（ＡｍＥ）
などと言うようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

図形問題（３７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１７年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「ＡＢ＝８２、ＡＤ＝４２の長方形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤの中点をＭ、ＡＢを１：２に内分する点をＮ、直線ＣＭと直線ＤＮの交点をＯとする。線分ＣＭ上の点をＰとし、四角形ＢＣＯＮの面積が直線ＢＰで二等分されるとき、△ＰＣＤの面積を求めよ。」
です。

問題の図を描くと図１のようになります。

▲図１．問題の図を描きました

ここは、
　四角形ＢＣＯＮの面積
→△ＰＢＣの面積
→底辺をＢＣとしたときの△ＰＢＣの高さ
→底辺をＣＤとしたときの△ＰＣＤの高さ
→△ＰＣＤの面積
という段取りで進めればよさそうです。

まず図２のように、点ＮからＡＤに平行な直線を引き、直線ＣＭとの交点をＱとします。

▲図２．直線ＮＱを引きました

このとき、

です。

また、△ＯＤＭ∽△ＯＮＱ（∠ＤＯＭ＝∠ＮＯＱ：対頂角、∠ＯＤＭ＝∠ＯＮＱ：ＤＭ//ＱＮで錯角）で、その相似比は ２１：２８＝３：４ です。

ここで図３のように、ＡＤに垂直で点Ｏを通る直線ＴＵを引くと、∠ＴＵＮ＝９０°で、さらに、
ＯＴ：ＯＵ＝ＡＮ－ＯＵ：ＯＵ
　　　　　＝２８－ＯＵ：ＯＵ
　　　　　＝３：４
から、
４×２８－４ＯＵ＝３ＯＵ
７ＯＵ＝４×２８
ＯＵ＝１６
です。

したがって、
（△ＯＮＱの面積）＝ＮＱ×ＯＵ÷２＝２８×１６÷２＝２２４
になります。

▲図３．△ＯＮＱの面積は２２４です

また、
（台形ＢＣＱＮの面積）＝（ＢＣ＋ＮＱ）×ＢＮ÷２
　　　　　　　　　　　＝（４２＋２８）×５６÷２
　　　　　　　　　　　＝１９６０
です。

ここで、
（四角形ＢＣＯＮの面積）＝（△ＯＮＱの面積）＋（台形ＢＣＱＮの面積）
　　　　　　　　　　　　＝２２４＋１９６０
　　　　　　　　　　　　＝２１８４
で、さらに△ＰＢＣの面積は四角形ＢＣＯＮの面積の１/２であることから
（△ＰＢＣの面積）＝２１８４÷２
　　　　　　　　　＝１０９２
になります。

続いて図４のように、点ＰからＢＣに下ろした垂線の足をＶとすると、
ＰＶ＝１０９２÷４２×２＝５２
で、さらに点ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＷとすると、

になり、これでで△ＰＣＤの底辺（ＣＤ）の長さと高さ（ＰＷ）を求めることができました。

▲図４．△ＰＣＤの底辺（ＣＤ）の長さと高さ（ＰＷ）を求めることができました

以上から
（△ＰＣＤの面積）＝ＣＤ×ＰＷ÷２
　　　　　　　　　＝８４×１３÷２
　　　　　　　　　＝ ５４６
で、これが答えです。


簡単な問題です。