こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、国立高で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１に示した立体Ｃ－ＡＰＢは、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝２ｃｍ、∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＰ＝９０°の三角すいである。
▲図１．問題図（１）
ただし、点Ｐは２点Ａ、Ｂを直径とする半円の弧ＡＢ上にある点で、点Ａと点Ｂのいずれにも一致しない。
次の各問に答えよ。
［問１］ △ＣＰＢの面積が△ＣＡＢの面積の１/２となるとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。
［問２］ 点Ｂから平面ＣＡＰに垂直な直線を引き、その交点をＨとした場合を考える。
三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるとき、線分ＢＨの長さは何ｃｍか。
ただし、答えだけでなく答えを求める過程が分かるように、途中の式や説明なども書け。
［問３］ 下の図２は、図１において、弧ＡＰ：弧ＰＢ＝２：１、弧ＡＰ上にあり弧ＡＱ：弧ＱＰ＝１：１である点をＱ、辺ＢＣの中点をＭとし、点Ｑと点Ｍを結び、線分ＱＭと平面ＣＡＰの交点をＲとした場合を表している。
▲図２．問題図（２）
点Ｒと点Ａ、点Ｒと点Ｐ、点Ｒと点Ｂをそれぞれ結んでできる三角すいＲ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。」
です。
△ＣＡＢの面積は ４×２×１/２＝４ｃｍ2 ですから、△ＣＰＢの面積は ２ｃｍ2 で、したがって、図３のように、ＰＢ＝２ｃｍになります。
▲図３．ＰＢ＝２ｃｍです
また、点Ｐは線分ＡＢを直径とする半円周上の点なので、∠ＡＰＢ＝９０°です。
そこで、直角三角形ＡＢＰに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、ここに ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＰ＝２ｃｍを代入すると、
です。
すると、△ＡＢＰの面積は、
になり、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、
で、これが［問１］の答えです。
次に［問２］です。
三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるのは△ＡＰＢの面積が最大になるときで、それは図４のように、点Ｐが、∠ＡＯＰ＝９０°となる位置にあるときです。
▲図４．∠ＡＯＰ＝９０°のとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最大になります
このとき、△ＡＰＢは直角二等辺三角形なので、
で、その面積は４ｃｍ2になります。
したがって、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、４×２×１/３＝８/３ ｃｍ3 になります。
続いて△ＡＰＣの面積を計算しましょう。
図４のように、直角三角形ＡＢＣ、ＰＢＣに三平方の定理を適用して、
を求め、それらを二乗すると
になります。
このとき
から
なので、
が成り立ち、三平方の定理の逆から∠ＡＰＣ＝９０°です。
したがって、△ＡＰＣの面積は、
になります。
ここで、三角すいＣ－ＡＰＢの底面を△ＡＰＣとすると、その体積は、
で、これが８/３になることから
で、これが答えです。
最後の［問３］です。
図５のように、点ＰとＱは、弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢを満たす位置になります。
▲図５．弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢになります
すると、△ＡＰＢと△ＡＱＢはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、
なので、△ＡＰＢの面積は、
です。
また、直線ＡＰと直線ＢＱとの交点をＳとすると、△ＯＢＳはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形で、
になります。
ここで図６のように、平面ＢＣＱを考えると、直線ＣＳと直線ＭＱとの交点がＲになり、ＲＴを求めれば三角すいＲ－ＡＰＢの体積を計算することができます。
▲図６．平面ＢＣＱを考えます
△ＱＲＴ∽△ＱＭＢから、ＱＴ：ＲＴ＝ＱＢ：ＭＢなので、
で、これを整理して、
です。
△ＳＲＴ∽△ＳＣＢから、ＳＴ：ＲＴ＝ＳＢ：ＣＢなので、
で、これを整理して、
です。
（１）と（２）から、
です。
したがって、三角すいＲ－ＡＰＢの体積は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は平成３０年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、国立高で出題された大問４の図形問題で、それは、
「下の図１に示した立体Ｃ－ＡＰＢは、ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＣ＝２ｃｍ、∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＰ＝９０°の三角すいである。
▲図１．問題図（１）
ただし、点Ｐは２点Ａ、Ｂを直径とする半円の弧ＡＢ上にある点で、点Ａと点Ｂのいずれにも一致しない。
次の各問に答えよ。
［問１］ △ＣＰＢの面積が△ＣＡＢの面積の１/２となるとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。
［問２］ 点Ｂから平面ＣＡＰに垂直な直線を引き、その交点をＨとした場合を考える。
三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるとき、線分ＢＨの長さは何ｃｍか。
ただし、答えだけでなく答えを求める過程が分かるように、途中の式や説明なども書け。
［問３］ 下の図２は、図１において、弧ＡＰ：弧ＰＢ＝２：１、弧ＡＰ上にあり弧ＡＱ：弧ＱＰ＝１：１である点をＱ、辺ＢＣの中点をＭとし、点Ｑと点Ｍを結び、線分ＱＭと平面ＣＡＰの交点をＲとした場合を表している。
▲図２．問題図（２）
点Ｒと点Ａ、点Ｒと点Ｐ、点Ｒと点Ｂをそれぞれ結んでできる三角すいＲ－ＡＰＢの体積は何ｃｍ3か。」
です。
△ＣＡＢの面積は ４×２×１/２＝４ｃｍ2 ですから、△ＣＰＢの面積は ２ｃｍ2 で、したがって、図３のように、ＰＢ＝２ｃｍになります。
▲図３．ＰＢ＝２ｃｍです
また、点Ｐは線分ＡＢを直径とする半円周上の点なので、∠ＡＰＢ＝９０°です。
そこで、直角三角形ＡＢＰに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、ここに ＡＢ＝４ｃｍ、ＢＰ＝２ｃｍを代入すると、
です。
すると、△ＡＢＰの面積は、
になり、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、
で、これが［問１］の答えです。
次に［問２］です。
三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最も大きくなるのは△ＡＰＢの面積が最大になるときで、それは図４のように、点Ｐが、∠ＡＯＰ＝９０°となる位置にあるときです。
▲図４．∠ＡＯＰ＝９０°のとき、三角すいＣ－ＡＰＢの体積が最大になります
このとき、△ＡＰＢは直角二等辺三角形なので、
で、その面積は４ｃｍ2になります。
したがって、三角すいＣ－ＡＰＢの体積は、４×２×１/３＝８/３ ｃｍ3 になります。
続いて△ＡＰＣの面積を計算しましょう。
図４のように、直角三角形ＡＢＣ、ＰＢＣに三平方の定理を適用して、
を求め、それらを二乗すると
になります。
このとき
から
なので、
が成り立ち、三平方の定理の逆から∠ＡＰＣ＝９０°です。
したがって、△ＡＰＣの面積は、
になります。
ここで、三角すいＣ－ＡＰＢの底面を△ＡＰＣとすると、その体積は、
で、これが８/３になることから
で、これが答えです。
最後の［問３］です。
図５のように、点ＰとＱは、弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢを満たす位置になります。
▲図５．弧ＡＱ＝弧ＱＰ＝弧ＰＢになります
すると、△ＡＰＢと△ＡＱＢはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、
なので、△ＡＰＢの面積は、
です。
また、直線ＡＰと直線ＢＱとの交点をＳとすると、△ＯＢＳはその内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形で、
になります。
ここで図６のように、平面ＢＣＱを考えると、直線ＣＳと直線ＭＱとの交点がＲになり、ＲＴを求めれば三角すいＲ－ＡＰＢの体積を計算することができます。
▲図６．平面ＢＣＱを考えます
△ＱＲＴ∽△ＱＭＢから、ＱＴ：ＲＴ＝ＱＢ：ＭＢなので、
で、これを整理して、
です。
△ＳＲＴ∽△ＳＣＢから、ＳＴ：ＲＴ＝ＳＢ：ＣＢなので、
で、これを整理して、
です。
（１）と（２）から、
です。
したがって、三角すいＲ－ＡＰＢの体積は、
で、これが答えです。
簡単な問題です。
