中学生でも手が届く京大入試問題（６０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１１年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「鋭角三角形△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭ、ＡからＢＣにひいた垂線をＡＨとする。点Ｐを線分ＭＨ上にとるとき、

となることを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

問題の図を描くと図１のようになります。

▲図１．問題の図を描きました/Ｍの左側（Ｂ側）にＨがある場合です

ここは、問題に与えられた不等式にある斜めの線分（ＡＢ、ＡＣ、ＡＰ）の長さを三平方の定理を使って、辺ＢＣ上にある線分とＡＨの長さに変換すればよさそうです。

そこで、

とし、ここに、

を代入すると、
　
です。

ここで図１では、
ＢＨ＝ＢＰ－ＰＨ
ＣＨ＝ＣＰ＋ＰＨ
で、これらを（★）に代入すると、

です。

このとき、ＣＰ≧ＢＰなので、Ｓ≧０になり、問題に与えられた不等式は成り立ちます。

また、図２のように、

▲図２．Ｍの右側（Ｃ側）にＨがある場合です

ＢＨ＝ＢＰ＋ＰＨ
ＣＨ＝ＣＰ－ＰＨ
の場合は、これらを（★）に代入して、

です。

このとき、ＢＰ≧ＣＰなので、Ｓ≧０になり、問題に与えられた不等式は成り立ちます。

以上から、

が成り立つことを示すことができました。


簡単な問題です。