こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
東西に長くのびた前線を伴う南岸低気圧の影響で、気温がぐっと下がりました。さらに明日も下がって、最高気温が１０℃に届かない真冬のような寒さになるようです。暖かくして過ごしましょう。
さて、今回は平成２９年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、共通問題に出題された大問２の創作問題で、それは、
「ある中学校で、Ｓさんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［Ｓさんが作った問題］
下の図１のように、上から順に、１段目に２個、２段目に３個、３段目に４個と、１段ごとに１個ずつマスを増やし、左端のマスが縦にそろうように１０段目まで、並べたものを考える。
▲図１．問題図（１）
全ての段の左端のマスに５、右端のマスに－３を入れる。
２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れる。例えば、２段目の中央のマスには、１段目の－３と１段目の５の和である２が入る。
このとき、１０段目ある■で示したマスに入る数を考えてみよう。
なお、図１は、全て段の左端のマスに５、右端のマスに－３を入れ、両端のマス以外のそれぞれのマスについて、２段目、３段目の順に、３段目まで数を入れた場合を示している。
［問１］ ［Ｓさんが作った問題］で、１０段目にある■で示したマスに入る数を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア －２２ イ －１９ ウ ３７ エ ４２
先生は、［Ｓさんが作った問題］をもとにして、次の問題を作った。
［先生が作った問題］
下の図２は、上から順に、１段目に２個、２段目に３個、３段目に４個と、１段ごとに１個ずつマスを増やし、左端のマスが縦にそろうように５段目まで並べたものである。
▲図２．問題図（２）
図３は、図２において、全ての段の左端マスに１、右端のマスに４を入れ、２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れたものである。
▲図３．問題図（３）
図３のそれぞれの段において、全てのマスに入っている数の和について考えると、
１段目は、１＋４＝５
２段目は、１＋５＋４＝１０＝５×２
３段目は、１＋６＋９＋４＝２０＝５×４
４段目は、１＋７＋１５＋１３＋４＝４０＝５×８
５段目は、１＋８＋２２＋２８＋１７＋４＝８０＝５×１６となり、
２段目以降のそれぞれの段において、全てのマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和である５の倍数となっている。
図２において、全ての段の左端のマスに入れる数をａ、右端のマスに入れる数をｂとし、２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れるとき、５段目にある６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍となることを確かめなさい。
ただし、ａ、ｂは自然数とする。
［問２］ ［先生が作った問題］で、５段目にある６個のマスに入ってい数をそれぞれａ、ｂを用いた式で表し、５段目にある６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍となることを証明せよ。」
です。
まず、［問１］です。
ｎ段目の右端から１つ目のマスの数は、ｎ－１段目の右端から１つ目のマスの数から３を引いたものです。
したがって、１０段目にある■で示したマスに入る数は、５＋（－３）×（１０－１）＝５－２７＝－２２で、答えは ア になります。
続いて［問２］です。
全ての段の左端のマスに入れる数をａ、右端に入れる数をｂとすると、図４のようになります。
▲図４．全ての段の左端のマスにａ、右端のマスにｂを入れました
ここで、問題に与えられた方法で、図４の空いているマスに数を入れると、図５のようになります。
▲図５．空いているマスに数を入れました
５段目の６個のマスに入っている数は、左から、ａ、４ａ＋ｂ、６ａ＋４ｂ、４ａ＋６ｂ、ａ＋４ｂ、ｂ で、これらの和は、
ａ＋４ａ＋ｂ＋６ａ＋４ｂ＋４ａ＋６ｂ＋ａ＋４ｂ＋ｂ＝１６ａ＋１６ｂ＝１６（ａ＋ｂ）
です。
一方、１段目の２個のマスに入っている数の和はａ＋ｂです。
したがって、５段目の６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍です。
例年より問題文が長く判り難かったかもしれません。
東西に長くのびた前線を伴う南岸低気圧の影響で、気温がぐっと下がりました。さらに明日も下がって、最高気温が１０℃に届かない真冬のような寒さになるようです。暖かくして過ごしましょう。
さて、今回は平成２９年度都立高校数学入試問題を取り上げます。
問題は、共通問題に出題された大問２の創作問題で、それは、
「ある中学校で、Ｓさんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［Ｓさんが作った問題］
下の図１のように、上から順に、１段目に２個、２段目に３個、３段目に４個と、１段ごとに１個ずつマスを増やし、左端のマスが縦にそろうように１０段目まで、並べたものを考える。
▲図１．問題図（１）
全ての段の左端のマスに５、右端のマスに－３を入れる。
２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れる。例えば、２段目の中央のマスには、１段目の－３と１段目の５の和である２が入る。
このとき、１０段目ある■で示したマスに入る数を考えてみよう。
なお、図１は、全て段の左端のマスに５、右端のマスに－３を入れ、両端のマス以外のそれぞれのマスについて、２段目、３段目の順に、３段目まで数を入れた場合を示している。
［問１］ ［Ｓさんが作った問題］で、１０段目にある■で示したマスに入る数を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア －２２ イ －１９ ウ ３７ エ ４２
先生は、［Ｓさんが作った問題］をもとにして、次の問題を作った。
［先生が作った問題］
下の図２は、上から順に、１段目に２個、２段目に３個、３段目に４個と、１段ごとに１個ずつマスを増やし、左端のマスが縦にそろうように５段目まで並べたものである。
▲図２．問題図（２）
図３は、図２において、全ての段の左端マスに１、右端のマスに４を入れ、２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れたものである。
▲図３．問題図（３）
図３のそれぞれの段において、全てのマスに入っている数の和について考えると、
１段目は、１＋４＝５
２段目は、１＋５＋４＝１０＝５×２
３段目は、１＋６＋９＋４＝２０＝５×４
４段目は、１＋７＋１５＋１３＋４＝４０＝５×８
５段目は、１＋８＋２２＋２８＋１７＋４＝８０＝５×１６となり、
２段目以降のそれぞれの段において、全てのマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和である５の倍数となっている。
図２において、全ての段の左端のマスに入れる数をａ、右端のマスに入れる数をｂとし、２段目以降にある両端のマス以外のそれぞれのマスに、１つ上の段にある真上のマスと、その左隣のマスに入っている２つの数の和を入れるとき、５段目にある６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍となることを確かめなさい。
ただし、ａ、ｂは自然数とする。
［問２］ ［先生が作った問題］で、５段目にある６個のマスに入ってい数をそれぞれａ、ｂを用いた式で表し、５段目にある６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍となることを証明せよ。」
です。
まず、［問１］です。
ｎ段目の右端から１つ目のマスの数は、ｎ－１段目の右端から１つ目のマスの数から３を引いたものです。
したがって、１０段目にある■で示したマスに入る数は、５＋（－３）×（１０－１）＝５－２７＝－２２で、答えは ア になります。
続いて［問２］です。
全ての段の左端のマスに入れる数をａ、右端に入れる数をｂとすると、図４のようになります。
▲図４．全ての段の左端のマスにａ、右端のマスにｂを入れました
ここで、問題に与えられた方法で、図４の空いているマスに数を入れると、図５のようになります。
▲図５．空いているマスに数を入れました
５段目の６個のマスに入っている数は、左から、ａ、４ａ＋ｂ、６ａ＋４ｂ、４ａ＋６ｂ、ａ＋４ｂ、ｂ で、これらの和は、
ａ＋４ａ＋ｂ＋６ａ＋４ｂ＋４ａ＋６ｂ＋ａ＋４ｂ＋ｂ＝１６ａ＋１６ｂ＝１６（ａ＋ｂ）
です。
一方、１段目の２個のマスに入っている数の和はａ＋ｂです。
したがって、５段目の６個のマスに入っている数の和は、１段目の２個のマスに入っている数の和の１６倍です。
例年より問題文が長く判り難かったかもしれません。
