中学生でも手が届く東大入試問題（４１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１９年度東大入試問題（前期、文理共通）です。

問題は、
「表が出る確率がｐ、裏が出る確率が１－ｐであるような硬貨がある。ただし、０＜ｐ＜１とする。この硬貨を投げて、次のルール（Ｒ）の下で、ブロック積みゲームを行う。
　　　
　　　① ブロックの高さは、最初は０とする。
（Ｒ）② 硬貨を投げて表が出れば高さ１のブロックを積み上げ、
　　　　 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さを０に戻す。

ｎを正の整数、ｍを０≦ｍ≦ｎを満たす整数とする。

（１） ｎ回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さがｍになる確率ｐｍを求めよ。
（２） （１）で、最後にブロックの高さがｍ以下になる確率ｑｍを求めよ。
（３） ルール（Ｒ）の下で、ｎ回硬貨投げを独立に２度行い、
　　　 それぞれ最後のブロックの高さを考える。
　　　 ２度のうち、高い方のブロックの高さがｍである確率ｒｍを求めよ。
　　　 ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

０≦ｍ＜ｎのとき、最後にブロックの高さがｍになるのは、
・ １からｎ－（ｍ＋１）回目までのｎ－ｍ－１回は硬貨の表が出ようと裏が出ようとどちらでもよく、
・ ｎ－ｍ回目に裏が出て、
・ ｎ－（ｍ－１）回目からｎ回目までのｍ回すべてで表が出る
場合なので、最後にブロックの高さがｍになる確率ｐｍは、

です。

ｍ＝ｎのとき、１回目からｍ回目までのｍ回すべてで表が出る場合なので、

です。

したがって、
・０≦ｍ＜ｎのとき
　　
・ｍ＝ｎ　　のとき
　　
で、これが（１）の答えです。

次に（２）です。

０≦ｍ＜ｎのとき、

です。

ｍ＝ｎのとき、
最後のブロックの高さは必ずｍ以下になるので、
ｑｍ＝１
です。

したがって、
・０≦ｍ＜ｎのとき
　　
・ｍ＝ｎのとき
　　
で、これが答えです。

最後の（３）です。

２度の操作で、高い方のブロックの高さがｍになるのは、
［１］ １度目の最後のブロックの高さがｍで、２度目の最後のブロックの高さがｍ－１以下
［２］ １度目の最後のブロックの高さがｍ－１以下で、２度目の最後のブロックの高さがｍ
［３］ １度目と２度目の最後のブロックの高さがｍ
の場合です。

そこで［１］［２］［３］の確率の和を計算すると、

です。

ここで、
０≦ｍ＜ｎのとき
（１）から

なので、これらを（★）に代入して、

です。

ｍ＝ｎのとき
（１）から

なので、これらを（★）に代入して、

です。

したがって、
・０≦ｍ＜ｎのとき
　　
・ｍ＝ｎのとき
　　
で、これが答えです。


０≦ｍ＜ｎとｍ＝ｎの場合分けを忘れないようにしましょう。