こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「正の整数ｎに対して、正の整数ｍであってｍとｎが互いに素であり、ｍ＋１とｎ＋１も互いに素となるようなもののうち最小のものをｆ（ｎ）で表す。このとき、
のうちに現れる正の整数は何種類あるか。」
です。
素数を小さい順に、
ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk，・・・，ｐl
（ｋ、ｌは正の整数、ｋ≦ｌ）
として、
とします。
このとき、αxは整数で、
α1，α2，・・・，αk-1≧１
αk＝０
αk+1，・・・，αl≧０
です。（つまり、ｐkがｎ＋１の約数ではない最小の素数になります）
初めに、
１≦ｍ＜ｐk－１
を満たすｍを調べます。
上記の不等式の各辺に１を加えると、
２≦ｍ＋１＜ｐk
になり、これからｍ＋１はｐkより小さい素数ｐrを因数にもちます。
このとき、ｐrはｐ1、ｐ2、・・・、ｐk-1のいずれかで、するとｐrはｎ＋１の約数になり、ｎ＋１とｍ＋１は互いに素ではありません。
したがって、条件を満たすｍは、
ｍ≧ｐk－１
になり、
ｆ（ｎ）≧ｐk－１ （★）
です。
次に、
ｐk－１＜ｐk
から、ｐk－１の約数は ｐ1、ｐ2、・・・ｐk-1 のいずれかなので、
と表すことができます。
このとき、βxは整数で、
β1，β2，・・・，βk-1≧０
です。
すると、
から、ｎとｐk－１は互いに素で、さらに、
から、ｎ＋１とｐkも互いに素になります。
これは、ｐk－１はｍの条件を満たす整数であることを示していて、このとき（★）から、ｐk－１がｍの最小値になるので、
ｆ（ｎ）＝ｐk－１
であることが判りました。
続いて、
について、最大になるｐkを求めます。
そこで、素数を小さい方から順に掛け合わせいくと、
から、ｐkの最大値は３１です。
（２から３１までの素数を１つずつ掛け合わせた積が
を超えるので、
以下の整数のなかに２から３１までのすべての素数で割り切れるものはありません）
したがって、ｐkがとりうる値は、
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１
の１１種類で、これらのそれぞれについて、条件を満たす最小のｍ、つまり、ｆ（ｎ）が、
１、２、４、６、１０、１２、１６、１８、２２、２８、３０
になるようなｎが存在することを確かめればお仕舞です。
のとき、ｎ＋１と互いに素になる最小のｍ＋１は３１で、したがって、
です。
同様に、
になり、１１種類のｆ（ｎ）に対して、
が存在します。
以上から、
に現れる正の整数は １１ 種類 で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「正の整数ｎに対して、正の整数ｍであってｍとｎが互いに素であり、ｍ＋１とｎ＋１も互いに素となるようなもののうち最小のものをｆ（ｎ）で表す。このとき、
のうちに現れる正の整数は何種類あるか。」
です。
素数を小さい順に、
ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk，・・・，ｐl
（ｋ、ｌは正の整数、ｋ≦ｌ）
として、
とします。
このとき、αxは整数で、
α1，α2，・・・，αk-1≧１
αk＝０
αk+1，・・・，αl≧０
です。（つまり、ｐkがｎ＋１の約数ではない最小の素数になります）
初めに、
１≦ｍ＜ｐk－１
を満たすｍを調べます。
上記の不等式の各辺に１を加えると、
２≦ｍ＋１＜ｐk
になり、これからｍ＋１はｐkより小さい素数ｐrを因数にもちます。
このとき、ｐrはｐ1、ｐ2、・・・、ｐk-1のいずれかで、するとｐrはｎ＋１の約数になり、ｎ＋１とｍ＋１は互いに素ではありません。
したがって、条件を満たすｍは、
ｍ≧ｐk－１
になり、
ｆ（ｎ）≧ｐk－１ （★）
です。
次に、
ｐk－１＜ｐk
から、ｐk－１の約数は ｐ1、ｐ2、・・・ｐk-1 のいずれかなので、
と表すことができます。
このとき、βxは整数で、
β1，β2，・・・，βk-1≧０
です。
すると、
から、ｎとｐk－１は互いに素で、さらに、
から、ｎ＋１とｐkも互いに素になります。
これは、ｐk－１はｍの条件を満たす整数であることを示していて、このとき（★）から、ｐk－１がｍの最小値になるので、
ｆ（ｎ）＝ｐk－１
であることが判りました。
続いて、
について、最大になるｐkを求めます。
そこで、素数を小さい方から順に掛け合わせいくと、
から、ｐkの最大値は３１です。
（２から３１までの素数を１つずつ掛け合わせた積が
を超えるので、
以下の整数のなかに２から３１までのすべての素数で割り切れるものはありません）
したがって、ｐkがとりうる値は、
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１
の１１種類で、これらのそれぞれについて、条件を満たす最小のｍ、つまり、ｆ（ｎ）が、
１、２、４、６、１０、１２、１６、１８、２２、２８、３０
になるようなｎが存在することを確かめればお仕舞です。
のとき、ｎ＋１と互いに素になる最小のｍ＋１は３１で、したがって、
です。
同様に、
になり、１１種類のｆ（ｎ）に対して、
が存在します。
以上から、
に現れる正の整数は １１ 種類 で、これが答えです。
簡単な問題です。
