中学生でも手が届く京大入試問題（５９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１８年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「放物線

と２直線ｌ1：ｙ＝ｐｘ－１、ｌ2：ｙ＝－ｘ－ｐ＋４ は１点で交わるという。このとき、実数ｐの値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

下図のように、放物線Ｃと２直線ｌ1、ｌ2 が１点で交わるときのｐを求めよということです。

▲図．放物線Ｃと２直線ｌ1、ｌ2 が１点で交わっています

初めに、２直線ｌ1とｌ2の交点を求めましょう。

ｐｘ－１＝－ｘ－ｐ＋４
から
（ｐ＋１）ｘ＝－ｐ＋５
です。

ここで、ｐ＝－１のとき、
ｌ1 ： ｙ＝－ｘ－１
ｌ2 ： ｙ＝－ｘ＋５
で、この２直線は平行になり、交点をもたないので、ｐ≠－１です。

したがって、

で、これをｌ1 の式に代入して、

です。

つまり、２直線の交点の座標は、

になります。

このとき、この交点が放物線Ｃ上にあることから

が成り立ち、これを整理すると、

になります。

この左辺を因数分解すると、

になり、したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。