３変数の整数方程式

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同様、秋晴れになりました。昨日に比べて湿度が高いようで、少し蒸し暑く感じます。

先日、東大大学院入試問題で、ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝０　を満たす自然数ｍ、ｎの組を求める問題を紹介しましたが、今回は変数が３つあるものを紹介します。

問題は、２００２年の同志社大に出題されたもので、
「０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　である整数ｘ、ｙ、ｚについて、
ｘｙｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋５
を満たす整数ｘ、ｙ、ｚをすべて求めよ」
というものです。

これも東大大学院の問題と同様に因数分解すれば簡単です。まず、右辺のｘｙ、ｙｚ、ｚｘの項を移項して、
ｘｙｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝５
とし、左辺を因数分解すると、
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＋１＝５
より、
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝４
を得ます。

ここで、ｘ－１、ｙ－１、ｚ－１　は正の整数で、０≦ｘ－１≦ｙ－１≦ｚ－１　が成り立ち、かつ、４の約数なので、
（ｘ－１、ｙ－１、ｚ－１）＝（１、１、４）、（１、２、２）
となります。

したがって、
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（２、２、５）、（２、３、３）
が正解になります。

実はこの問題には続きがあって、
「０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　である整数ｘ、ｙ、ｚについて、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　　
を満たす整数ｘ、ｙ、ｚをすべて求めよ」
というものです。

残念ながら、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　　（１）　
は、因数分解できないので別の方法を考えなければならないのですが、東大大学院入試問題で示したように、（１）の両辺をｘｙｚで割るのが定番のテクニックです。

すると、
１＝１/ｙｚ＋１/ｚｘ＋１/ｘｙ　　（２）
となります。

ここで、０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　なので、
３/ｚ^2≦１/ｙｚ＋１/ｚｘ＋１/ｘｙ≦３/ｘ^2　　　（ｘ^2はｘの２乗を表します。また、左の不等式は不要です）

したがって、
１≦３/ｘ^2
ｘ^2≦３
より、
ｘ＝１
となります。

（１）にｘ＝１を代入すると、
ｙｚ＝ｙ＋ｚ＋１　　　（３）
となり、これは因数分解できるので（（ｙ－１）（ｚ－１）＝２））簡単に解けるのですが、ここでは（３）の両辺をｙｚで割って解きます。

１＝１/ｚ＋１/ｙ＋１/ｙｚ　　　（４）
３/ｙｚ≦１/ｚ＋１/ｙ＋１/ｙｚ≦３/ｙ

したがって、
１≦３/ｙ
ｙ≦３
となります。

最後に、（３）に、ｙ＝１、２、３を代入し、ｚを求めると、
ｙ＝１のとき、
ｚ＝ｚ＋２
で不適

ｙ＝２のとき、
２ｚ＝ｚ＋３
より、
ｚ＝３

ｙ＝３のとき、
３ｚ＝ｚ＋４
より、
ｚ＝２
これは、ｙ≦ｚより不適

となり、正解は、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、２、３）となります。

また、より簡単な解法として、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≦３ｚ
から
ｘｙ≦３
を導く方法もあります。

以上のような整数方程式の問題では、因数分解して約数を調べるか、因数分解できなければ、一番次数の高い項で割って不等式を作り、変数の範囲を絞り込むというテクニックを覚えておきましょう。

ＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」－家督相続－

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋晴れで、気温２６℃、湿度３９％と過ごしやすい日になりました。暫く良い天気が続くようです。

昨夜のＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」は、聚楽第落首事件、棄誕生と官兵衛の隠居を中心に展開しました。

聚楽第落首事件というのは、天正１７年２月２５日に聚楽第南門に秀吉を中傷する落書きを発端とする事件で、これに激怒した秀吉が多くの人を処刑します。

この事件については、「多聞院日記」に記述されていて、２月２８日には、警備担当の１０大名を追放、３月１８日には、警備担当者１７名を磔としています。

さらに事件の容疑者と目された尾藤次郎右衛門入道道休を自害させ、その妻子や近所に住む町人など無関係な人々も多数処刑します。

その後の５月２７日には、淀城で茶々が棄（鶴松）を出産しますが、棄は病弱だったようで、２年後の天正１９年８月５日に病気のため亡くなってしまいます。しかし、その２年後の文禄２年８月３日に茶々は捨を産み、この捨が後の豊臣秀頼になります。

さて、主人公の官兵衛ですが、天正１７年５月に家督を長政に譲ります。このとき、官兵衛４４歳、長政２２歳です。

このときの様子を黒田家譜には、
「孝高、秀吉公に被申上けるは、私事病者になり候間、とても長生は仕るまじく候。願くは存生の内、愚息吉兵衛に領地を譲り、吉兵衛が身に引受、拝領の地の仕置を仕らせ、家人共能召つかひ、上の御用に立候様に後見いたし、安堵仕度由、重畳こひ申されけれども、秀吉公あへて許容したまはず。孝高猶黙止がたくて、北の政所をたのみ、内請つよく申されければ、領地を長政にゆづり給ふ事は、願のごとく相かなひけり。」
と記されていて、北の政所（おね）を通じての請願で家督相続が認められます。しかし、官兵衛の隠居は認められず、秀吉の側に居て軍師として働くことになります。

このように急いで家督を長政に譲った背景について、黒田家譜には、
「孝高早く禄をゆづり官職を捨給ふ事は、利欲うすくして昿達なるのみならず。秀吉公其大志と武略すぐれたる事を知て、忌おそれ給ひ、其権臣等も、孝高の功名英才の大に人に過たるを妬む者多ければ、其讒をさけ災をのがれん為也。是明哲にして身を保つの道なるべし。」
とあります。ここで「昿達」というのは、心がひろく，物事にこだわらない・こと（さま）のことで、権臣の代表は三成なのでしょう。

このように家督相続を許された長政は、６月１７日に従五位下諸大夫に叙され、甲斐守に任じられます。めでたしめでたしと言ったところでしょうか。

さて、来週は小田原攻めです。ドラマの終盤に北条氏政、氏直親子が出てきましたが、氏政は早雲から数えて４代目にあたる後北条氏当主で、堅城小田原城を拠りどころにして大軍勢の秀吉軍を迎え撃ちます。乞うご期待。

５感を表現する動詞

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し風がありますが、晴れて過ごしやすい天気になりました。少し前の予報では明日は雨模様ということでしたが、新しい予報では暫く晴れが続くようです。

中３の英語で、　“ｌｏｏｋ”　の後に形容詞がきて、「～のように見える」という意味になる語法を勉強します。例えば、　“Ｍｉｋｉ　ｌｏｏｋｓ　ｈａｐｐｙ．”（美紀は幸せそうに見えます）などです。

さらに、この　“ｌｏｏｋ”　は話し手が視覚から受けた印象を表していますが、他の感覚器官を通して受けた印象を表す動詞には、　
“ｓｏｕｎｄ”（～に聞こえる）
“ｔａｓｔｅ”（～な味がする）
“ｓｍｅｌｌ”（～な臭いがする）
“ｆｅｅｌ”（～肌触りがする）
などがあります。　

また、これらの動詞の後ろに形容詞の代わりに名詞を使いたい場合、つまり、「〈名詞〉のように・・・する」を表すには、　動詞の後ろに　“ｌｉｋｅ”　を置いて、それに名詞を続けます。例えば、　“Ｍｉｋｉ　ｌｏｏｋｓ　ｌｉｋｅ　ａｎ　ａｃｔｒｅｓｓ．”（美紀は女優のようだ）　などです。（“ｔａｓｔｅ”　と　“ｓｍｅｌｌ”　の場合は、　“ｌｉｋｅ”　の代わりに　“ｏｆ”　を使うこともできます）

高校入試問題でよく見かけるのは、　“ｌｏｏｋ”　と　“ｓｏｕｎｄ”　ですが、５つともしっかり覚えておくと良いでしょう。　

従属接続詞と時制の一致

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝、教室に来るとき、運動会の太鼓の音や花笠音頭が聞こえてきました。秋晴れとはいきませんが、雨にならずに良いことです。

中２の英語では、　“ｔｈａｔ”、　“ｗｈｅｎ”、　“ｉｆ”、　“ｂｅｆｏｒｅ”、　“ａｆｔｅｒ”　などの従属接続詞を勉強します。その従属接続詞で従属節が構成されるのですが、従属節の動詞の時制が主節の動詞の時制との関係で決まることを「時制の一致」と呼びます。

例えば、　“Ｉ　ｋｎｏｗ　ｔｈａｔ　ｈｅ　ｉｓ　ｂｕｓｙ．”（私は彼が忙しいことを知っています）　の主節の動詞　“ｋｎｏｗ”　を過去形の　“ｋｎｅｗ”　にすると、従属節の動詞　“ｉｓ”　を過去形　“ｗａｓ”　にして、　“Ｉ　ｋｎｅｗ　ｔｈａｔ　ｈｅ　ｗａｓ　ｂｕｓｙ．”（私は彼が忙しいことを知っていた）となります。

ところが、上に挙げた２つの例文の従属節の和訳部分は、２つとも　「彼が忙しいこと」となっていて違いはありません。（もっとも、“Ｉ　ｋｎｅｗ　ｔｈａｔ　ｈｅ　ｗａｓ　ｂｕｓｙ．”　を　「私は彼が忙しかったことを知っていた」と訳して従属節の時制を和訳に反映させることもできますが）

それでは、従属接続詞　“ｂｅｆｏｒｅ”　の例をみてみると、例えば、　“Ｂｅｆｏｒｅ　Ｉ　ｗｅｎｔ　ｔｏ　Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，Ｉ　ｓｔｕｄｉｅｄ　Ｅｎｇｌｉｓｈ．”（ニューヨークに行く前に、私は英語を勉強した）では、「ニューヨークに行った前に、私は英語を勉強した」とは言いません。

日本語の場合、「前」（“ｂｅｆｏｒｅ”）に対しては「いく」（現在形）、　「後」（“ａｆｔｅｒ”）に対しては「行った」（過去形）という言い方が普通で、これは英語との大きな違いです。

この理由をマーク・ピーターセン著「日本人の英語」では、英語が「時」のことばかり気にするのに対して、日本語は「時」自体に関しては特に気にせず、いつも「相」のことを気にしているからと述べています。

これを言い換えると、英語にとっては行動と状態の時が最も大事なのに対して、日本語にとっては行動と状態の完了の程度が最も大事であるということです。

つまり、先の例文で、“Ｂｅｆｏｒｅ　～”（前）　であれば、～した行動の時を問わず、未だ始まらない状態を言っているので、「～した前」にはならない訳で、　“Ａｆｔｅｒ”（後）であれば、行動の時を問わず、もう終わった状態を言っているので、「～する後」にはならないという訳です。

高校では勉強する時制も増えて、また時制の一致の例外なども勉強することになるので楽しみにしてください。　

「楽しむ」を表す英語

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

良い天気になりました。気温も２８℃くらいになるようで少し汗ばむほどです。

中１の英語教科書に日本語で「楽しむ」という意味の　“ｅｎｊｏｙ”　と　“ｈａｖｅ　ｆｕｎ”　が登場します。その用例は、
“Ｉ　ｅｎｊｏｙｅｄ　ｍａｎｙ　ｅｖｅｎｔｓ．”（私はたくさんの行事を楽しんだ）、　“Ｂｕｔ　Ｉ　ｈａｄ　ｆｕｎ　ｗｉｔｈ　Ｋｕｍｉ．”（しかし、私は久美と楽しんだ）
です。

これらをそれぞれ言い換えると、
“Ｉ　ｈａｄ　ｆｕｎ　ｗｉｔｈ　ｍａｎｙ　ｅｖｅｎｔｓ．”　 、　“Ｂｕｔ　Ｉ　ｅｎｊｏｙｅｄ　ｍｙｓｅｌｆ　ｗｉｔｈ　Ｋｕｍｉ．”　となります。

“ｅｎｊｏｙ”　は目的語なしに用いることができないので、「楽しむ」、「楽しく過ごす」と言うとき、　“ｅｎｊｏｙ　ｏｎｅｓｅｌｆ”　という表現を使います。

中２になると動名詞を勉強し、次のような用例がでてきます。　

“Ｏｕｒ　ｃｌａｓｓ　ｗｉｌｌ　ｅｎｊｏｙ　ｃｏｏｋｉｎｇ　ａｎｄ　ｅａｔｉｎｇ　ｔｈｅｍ．”（私たちのクラスはそれらを料理して食べることを楽しむでしょう）

これを　“ｈａｖｅ　ｆｕｎ”　を使って表すと、
“Ｏｕｒ　ｃｌａｓｓ　ｗｉｌｌ　ｈａｖｅ　ｆｕｎ　ｃｏｏｋｉｎｇ　ａｎｄ　ｅａｔｉｎｇ　ｔｈｅｍ．”　でＯＫです。

他の表現には、　“ｈａｖｅ　ａ　ｇｏｏｄ　ｔｉｍｅ”　や　“ｈａｖｅ　ａ　ｇｒｅａｔ　ｔｉｍｅ”　などもあるので覚えておくと良いでしょう。　　

“Ｗｏｕｌｄ ｙｏｕ ｌｉｋｅ ～？” と “Ｄｏ ｙｏｕ ｗａｎｔ ～？”

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から細雨で、予報では終日降ったり止んだりということでしたが、今は晴れ間も見られます。いずれにしても、明日から週末は晴れになるようです。

中３の英語では、　“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　～？”（～はいかがですか）という丁寧な依頼や申し出をするときによく使われる表現がでてきます。例えば、“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　ｔｏ　ｐｌａｙ　ｔｅｎｎｉｓ　ｗｉｔｈ　ｍｅ？”（私とテニスをしませんか）などです。

これを　“ｗａｎｔ”　を使って表現すると、　“Ｄｏ　ｙｏｕ　ｗａｎｔ　ｔｏ　ｐｌａｙ　ｔｅｎｎｉｓ　ｗｉｔｈ　ｍｅ？”　となりますが、三省堂「ウィズダム英和辞典」によると、これも聞き手の希望を尋ねる丁寧な申し出としてしばしば用いられる表現になります。しかし、　“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　～？”　よりは直接的表現で、イギリス英語よりアメリカ英語で好まれるようです。

この２つの表現の違いを　“Ｏｘｆｏｒｄ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｌｅａｒｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ”　で調べてみると、
“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　～？　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｕｓｕａｌ　ｐｏｌｉｔｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　ｆｏｒｍ　ｆｏｒ　ｏｆｆｅｒｓ　ａｎｄ　ｉｎｖｉｔａｔｉｏｎｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｉｎ　ＢｒＥ．”（“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｌｉｋｅ　～？”　は、特にイギリス英語では、申し出や依頼についてのもっとも一般的な丁寧な表現（疑問文形式））
に対して、
“Ｄｏ　ｙｏｕ　ｗａｎｔ　～？　ｉｓ　ｌｅｓｓ　ｆｏｒｍａｌ　ｍｏｒｅ　ｄｉｒｅｃｔ．　Ｉｔ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｉｎ　ＮＡｍＥ　ｔｈａｎ　ＢｒＥ．”（“Ｄｏ　ｙｏｕ　ｗａｎｔ　～？”　は、やや堅くなく、より直接的で、イギリス英語よりアメリカ英語でよく使われる）
ということです。

ところが、　“Ｉ　ｗａｎｔ　ｙｏｕ　ｔｏ　ｐｌａｙ　ｔｅｎｎｉｓ．”　などの形で聞き手に対する依頼を表現する場合、これは先ほどの疑問文の場合と違ってぶっきらぼうな言い方となり、家族や親しい友人など以外には、　“Ｉ　ｗｏｕｌｄ　ｌｉｋｅ　ｙｏｕ　ｔｏ　ｐｌａｙ　ｔｅｎｎｉｓ．”　を使うほうが無難ということです。

ついでに、より丁寧な表現としては、　“Ｗｏｕｌｄ　ｙｏｕ　ｃａｒｅ　～？”　というのがあるのですが、これはとても形式ばった表現で古臭く聞こえるということです。

海外に行ったら取りあえず　“ｗｏｕｌｄ　ｌｉｋｅ　～”　を使っておけば大きな間違いはないようです。　

“ａｓ” と “ｌｉｋｅ” の話

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今は雲りですが、塾生が来塾するころに雨になるようです。明日も同じような空模様ですが、明後日には晴れ間が見られるようです。

学生のとき、「へーっ」と思ったのが、　“ａｓ”　と　“ｌｉｋｅ”　です。両方とも「～のように（な）」と同じような意味を表すのですが、それぞれの品詞は、　“ａｓ”　が接続詞、　“ｌｉｋｅ”　が前置詞です。つまり、 “ａｓ”　の後ろには、主語と動詞を伴う節がくるのに対し、　“ｌｉｋｅ”　の後ろには、名詞や代名詞がきます。

例文として、　“Ｉ　ｌｅｆｔ　ａｓ　Ｉ　ｈａｄ　ｐｒｏｍｉｓｅｄ．”（私は約束通りに出かけた）　や　“Ⅰ　ｗｏｒｋｅｄ　ｌｉｋｅ　ａ　ｓｌａｖｅ．”（私は奴隷のように働いた）　などを挙げることができます。

これだけで終わってくれると簡単な話で、「へーっ」などと思う必要はないのですが、これからが七変化です。（少しオーバーですが）

まず、　“ａｓ”　の後で節が省略されることもあり、先に挙げた例文が、“Ｉ　ｌｅｆｔ　ａｓ　ｐｒｏｍｉｓｅｄ．”　となることもあります。まあ、節の主語が省略されたと思えば大したことはないのですが。

おまけに　“ａｓ”　は前置詞でもあって、　前の２つ目の例文の　“ｌｉｋｅ”　を
　“ａｓ”　に置き換えると、　“Ｉ　ｗｏｒｋｅｄ　ａｓ　ａ　ｓｌａｖｅ．”（私は奴隷として働いた）　という意味になります。品詞が違うので、　“ａｓ”（前置詞：～として）と覚えておけばＯＫなのですが。　

実はここが問題で、口語体のアメリカ英語では、　“Ｉ　ｃａｎ’ｔ　ｃｏｏｋ　ｌｉｋｅ　ｍｙ　ｍｏｔｈｅｒ　ｃａｎ．”（私は母のように料理できない）　などのように、　“ｌｉｋｅ”　を　“ａｓ”　の代わりに接続詞として使うことが多く、この用法はイギリス英語でも一般的になってきていているところです。今は　“ｌｉｋｅ”　を接続詞として使うことは誤りとする人もいるので、試験などでは　“ａｓ”　を使うほうが無難ですが、そのうち正しい用法になっていくのでしょう。

ついでに、　古い用法では、　“ｌｉｋｅ　ａｓ”（ちょうど～のように）　や　“（ａｓ）ｌｉｋｅ　ａｓ　ｎｏｔ”（恐らく）　もあります。

まとめると、　“ｌｉｋｅ”　が接続詞として使われることも多いことを頭に入れておくと良いでしょう。　

中学教科書の英単語今昔

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予報通り良い天気になりました。お彼岸なので近所の菓子屋におはぎを買いに行ったのですが、日向は結構暑かったです。明日、明後日は、台風の影響で崩れるようですが、それ以降は晴れるようです。

中学校では、今月末から来月初めに２学期の中間試験があります。この中間試験は内申点に大きく影響するので、特に３年生は頑張ってください。

中間試験で思い出したのですが、中学の英語教科書に出てくる英単語も時代とともに変わっていて、「試験」という英単語は、“ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ”　→　“ｅｘａｍ”　となりました。

“ｅｘａｍ”　は　“ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ”　の短縮形で、　“Ｏｘｆｏｒｄ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｌｅａｒｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ”　には、　“Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｆｏｒｍａｌ　ｗｏｒｄ．”（Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ　は、とても格式ばった言葉）　とあるので、今は　“ｅｘａｍ”　が普通なのでしょう。

同じように、“ｂｉｃｙｃｌｅ”（自転車）　→　“ｂｉｋｅ”　、　“ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”（数学）→“ｍａｔｈ”　、　“ｒｅｆｒｉｇｅｒａｔｏｒ”（冷蔵庫）　→　“ｆｒｉｄｇｅ”　　もあります。（“ｒｅｆｒｉｇｅｒａｔｏｒ”　が昔の教科書にあったかは定かではありませんが）

そこで中学のときに使っていた岩波の英和辞典でそれらを調べてみると、
“ｅｘａｍ”　⇒《口語》＝“ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ”
“ｂｉｋｅ”　⇒《俗》＝“ｂｉｃｙｃｌｅ”
“ｍａｔｈ”　と　“ｆｒｉｄｇｅ”　は載っていませんでした。

さらに高校で使っていた研究社の辞典では、
“ｅｘａｍ”　⇒《口語》＝試験。“ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ”　の省略形
“ｂｉｋｅ”　⇒《口語》＝“ｂｉｃｙｃｌｅ”、“ｍｏｔｏｒｃｙｃｌｅ”
“ｍａｔｈ”　⇒《米口語》＝“ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”
“ｆｒｉｄｇｅ”⇒《口語》＝“ｒｅｆｒｉｇｅｒａｔｏｒ”
とありました。

因みに、最新の　“Ｏｘｆｏｒｄ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｌｅａｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　８ｔｈ　ｅｄｉｔｉｏｎ”　では、
“ｂｉｋｅ”⇒（ｉｎｆｏｒｍａｌ）　“ａ　ｂｉｃｙｃｌｅ”　とあり、“ｗｏｒｄ　ｏｒｉｇｉｎ”（語源）には、１９世紀後半、省略形、　とあります。

“ｍａｔｈ”　には、＝“ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”　とあるだけで、　“ｍａｔｈ”　がアメリカ英語、　“ｍａｔｈｓ”　がイギリス英語とあります。

“ｆｒｉｄｇｅ”　は、“ＢｒＥ　”（イギリス英語）で、その語源には、１９２０年代、省略形、多分、商標名　“Ｆｒｉｇｉｄａｉｒｅ”　に由来、とあります。この　“Ｆｒｉｇｉｄａｉｒｅ”　は、アメリカの家電製品を製造している会社です。　

一方、　“ｒｅｆｒｉｇｅｒａｔｏｒ”　は、“ＮＡｍＥ　ｏｒ　ｆｏｒｍａｌ”　（アメリカ英語、または、堅苦しい言葉）　となっています。

昔と今の教科書に出てくる英単語の変化を取り上げましたが、より簡単な省略形の台頭が著しいようで、生徒にすれば喜ばしいことですね。

ＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」－宇都宮氏滅亡－

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

少し暑く感じるほど良い天気で、明日の秋分の日も秋晴れになりそうです。

昨夜のＮＨＫ大河ドラマ「軍師官兵衛」では、先週謀殺された宇都宮鎮房に続き、官兵衛に従い肥後に従軍していた鎮房の嫡男朝房も誅されました。黒田家譜にはこの辺りの状況を次のように記しています。

「城井が館即時に攻やぶられ、妻子もみなとられ、忽に彼地平ぎね。中務の父長甫は、豊後をさして落ちゆかんとしけるが、追手をかけてからめとり殺されける。長政は其日中津川へ帰り給ふ。城井が父子一族十三人、中津川に磔にぞかけられける。城井を討たる事を、長政より孝高へ注進給ひければ、城井彌三郎も肥後にて誅せられぬ。抑此城井中務は、其勇猛に誇り、其上城井谷は極てよき要害にて、他所より侵し攻る事なければ、其切所を頼て、ますます近方を掠めけるが、時勢をしらずして、小以大につかふる理をわきまへざる故、公命にしたがはずして叛逆をなし、終に先祖より久しき家をほろぼし、身もほろびけるこそ愚なれ。」

ドラマでは、鎮房の娘鶴姫は逃がされることになりましたが、先の黒田家譜にある中津川での城井一族十三人のなかに含まれていたとする説もあるようです。

この鶴姫は、黒田氏と宇都宮氏との和睦のとき、黒田家に預けられるのですが、その身分が人質という説と長政の側室または正室という説があるのですが、このことについて黒田家譜には、次のように記しています。

「或説に此時長政城井か婿に成給ふといふは虚説なり。是より以前長政既に蜂須賀彦左衛門正勝の息女を娶て内室とし、女子を誕生す。故有て離別し給しは是より後年の事なり。」

わざわざこのようなことを書き記すというのは、何か裏がありそうな気配ですが、少なくとも虚説と言って否定しているということは、これが広く知られていたということの証左でしょう。

また、ここに書かれているように、後日、長政は正室の糸姫と離縁します。これは、秀吉の死後、家康は有力大名との婚姻政策を進め、黒田家に対しては家康の養女（保科正直の娘）栄姫を正室として迎え入れさせます。これ以来、黒田家と蜂須賀家は仲が悪く、１５０年間に渡り不通大名（絶交した大名同士）となりました。

さて、来週は官兵衛の隠居を中心にストーリーが展開するようです。その後、小田原攻めということになるのでしょう。乞うご期待。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ここ二、三日でめっきり涼しくなりました。今日は晴れて穏やかな過ごしやすい天気で、滝山名店会では「１００円商店街」が催されていて、結構な人出でした。

今日は、平成１９年度東大大学院工学系研究科システム量子工学の問題で、
「ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝０　を満たす正の自然数ｍ、ｎ の組をすべてもとめよ」
を取り上げます。

以前に書いたように、東大大学院入試では論理的思考を試すということで、規則性、魔方陣、推理算、暗号などパズルが出題されるのですが、今回の問題は、高１レベルの数学の問題です。（もちろん中学生でも解けますが）

多くの数学の問題には解法パターンがあり、この問題も例外ではありません。与式、
ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝０　　　　（１）
を
（ｍ－２）（ｎ－３）＝６　　（２）
と変形します。

さらに、ｍ、ｎは自然数なので、（２）の左辺の（ｍ－２）と（ｎ－３）は整数となります。つまり、（２）の右辺の６の約数を見つける問題になり、それらを求めると次のようになります。

ｍ－２＝±１、ｎ－３＝±６→（ｍ、ｎ）＝（３、９）、（１、－３）
ｍ－２＝±２、ｎ－３＝±３→（ｍ、ｎ）＝（４、６）、（０、０）
ｍ－２＝±３、ｎ－３＝±２→（ｍ、ｎ）＝（５、５）、（－１、１）
ｍ－２＝±６、ｎ－３＝±１→（ｍ、ｎ）＝（８、４）、（－４、２）

ここで、ｍ、ｎは自然数なので、満足する組み合わせは、
（ｍ、ｎ）＝（３、９）、（４、６）、（５、５）、（８、４）
になります。

このように解法パターンを知っていれば簡単に解ける訳ですが、それを知らない場合、どのように正解に辿りつくことができるかを考えてみます。

まず、このような自然数や整数の組み合わせを求める問題ではその解が有限個なので、ｍとｎの取り得る範囲を求めて、その範囲にある数が与式を満足するか片っ端から調べて正解に辿りつくことができます。

それでは、（１）からｍとｎの取り得る範囲を求めてみましょう。初めに、（１）をｍｎ（≠０）で割ると、
１－３/ｎ－２/ｍ＝０　　　（３）
となり、
３/ｎ＝１－２/ｍ　　　　　（４）
です。

（４）の左辺は正なので、
１－２/ｍ＞０
より、
ｍ＞２　　　（５）

ｎについても同様に、
２/ｍ＝１－３/ｎ　　　　　　（６）

（６）の左辺は正なので、
１－３/ｎ＞０
より、
ｎ＞３　　　（７）
となります。

ここで、（３）－３/ｎと－２/ｍの項を右辺に移項して、
１＝３/ｎ＋２/ｍ　　　　　（８）

（８）の右辺は、（７）より、ｎ＝４のとき最大となるので、
１≦３/４＋２/ｍ
より、
１/４≦２/ｍ
故に、
ｍ≦８　　　（９）
となります。

つまり、（５）と（９）から
２＜ｍ≦８　　（１０）
ここで、ｍは自然数なので、
ｍ＝３、４、５、６、７、８　　　　（１１）
とｍの取り得る範囲が判りました。

次に、（１１を（４）に代入していくと、
ｍ＝３のとき、
３/ｎ＝１－２/３＝１/３　より、ｎ＝９
ｍ＝４のとき、
３/ｎ＝１－２/４＝１/２　より、ｎ＝６
ｍ＝５のとき、
３/ｎ＝１－２/５＝３/５　より、ｎ＝５
ｍ＝６のとき、
３/ｎ＝１－２/６＝２/３　より、ｎ＝９/２
ｍ＝７のとき、
３/ｎ＝１－２/７＝５/７　より、ｎ＝２１/５
ｍ＝８のとき、
３/ｎ＝１－２/８＝３/４　より、ｎ＝４
なので、この組み合わせからｍ、ｎが自然数のものを選ぶと、
（ｍ、ｎ）＝（３、９）、（４、６）、（５、５）、（８、４）
と正解に辿りつきました。

しかし、この解法は、（１）の定数項が０だったので簡単にできましたが、例えば、
ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝１　　　　（１２）
のような場合、Ｍ＝ｍ＋１、Ｎ＝ｎ－２/３　などと置換し、
ＭＮ－（７/３）Ｍ－３Ｎ＝０
と変形する必要があります。

それに対して、初めの解法では、（１２）を
（ｍ－２）（ｎ－３）＝７　　　（１３）
と変形し、（１３）の右辺の７の約数を調べればＯＫなので簡単です。

ということで、ｍ、ｎが整数で、
ｍｎ＋ｐｍ＋ｑｎ＋ｒ＝０
を満たす整数ｍ、ｎの組を求めよ、という問題に出会ったら、
（ｍ＋α）（ｎ＋β）＝ｓ
と変形し、ｓの約数を調べるという解法パターンを覚えておくと良さそうです。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日は終日曇りのようですが、涼しくて過ごしやすいです。予報では暫く雨も降らないようです。

さて、昨日提示した平成２０年度東大大学院工学系研究科システム創成学の暗号問題で、それは、
「次の２つの例は、あるルールに基づいて作られた暗号である。
（４９，７５，１１３，１２６，１２９）：ｋｅｙ３７＝ｌａｂｏｒ
（７１，４５，５３，６７，１１２，８２）：ｋｅｙ３１＝ｉｎｖｅｓｔ
このルールに基づくと、以下の暗号は何と読むことができるか？
（１０６，１１２，７７，１０７，９２，７１）：ｋｅｙ２９＝？？？」
というものです。

まず全体を見渡すと、左にある数列を右にあるアルファベット列に変換するもので、さらに、数列にある数の個数とアルファベット列の文字数が同じであることから、数列の各数がアルファベットに１対１に対応していることが予想できます。

また、等号の左のｋｅｙの数がアルファベット文字数の２６より大きいのでｋｅｙの数で数列の各数の剰余がアルファベットに対応していそうです。

ということで与えられた２式について、それぞれの数列にある数のｋｅｙの数による剰余を計算します。

（４９，７５，１１３，１２６，１２９）：ｋｅｙ３７→（１２，１，２，１５，１８）
（７１，４５，５３，６７，１１２，８２）：ｋｅｙ３１→（９，１４，２２，５，１９，２０）

あとは、変換した数とアルファベットの対応を考えれば良いわけですが、変換した２つの数列の１つ目にある（＊，１，２，＊，＊）の１、２に注目すると、それぞれに対応するアルファベットが ａ、ｂであることが判ります。つまり、アルファベット順に１、２、３、・・・と対応することが予想できます。下表にその対応表を示します。

▲表.数とアルファベットとの対応表

この対応表を使って、先ほど計算した数列をアルファベット列に変換してみると、
（１２，１，２，１５，１８）→（ｌ，ａ，ｂ，ｏ，ｒ）
（９，１４，２２，５，１９，２０）→（ｉ，ｎ，ｖ，ｅ，ｓ，ｔ）
と問題に与えられた式を満たすことが判ります。

そこで最後に、（１０６，１１２，７７，１０７，９２，７１）：ｋｅｙ２９　を復号します。まず、数列の各数のｋｅｙの数２９による剰余を計算し、
（１９，２５，１９，２０，５，１３）
を得ます。

次に表を使ってそれぞれの数をアルファベットに変換すると、
（１９，２５，１９，２０，５，１３）→（ｓ，ｙ，ｓ，ｔ，ｅ，ｍ）　となり、正解はシステム創成学に因んで　“ｓｙｓｔｅｍ”　でした。

このような暗号は古典的なもので換字式暗号と言われます。本問はとてもシンプルなものですが、例えば、数とアルファベットの対応に一ひねり加えると一段と難しくなり、所定時間（１０分/１問）で解けなくすることも可能でしょう。入試問題なのである程度正解する人が必要なところが、本来の暗号の持つ目的に反するところです。とは言ってもこれほど簡単では全員正解で、これは入試問題の持つ目的に反しているのかもしれません。

明日は、平成１９年度工学系研究科システム量子工学の問題を取り上げます。
「ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝０　を満たす正の自然数ｍ、ｎ の組をすべてもとめよ」

よろしかったら挑戦してみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同様過ごしやすい日になりました。何人かの塾生が、修学旅行で京都、奈良に行っているので、そちらのほうも雨ではなく良かったです。

今日の問題は、平成１７年度工学系研究科システム量子工学の
「図の数字はある規則で並んでいる。Ａに入る数字を答えよ」

問題図

というものです。

一見して、各行の隣り合う数の差の絶対値をとると、ほとんど上手くいきます。ただ、１行目の右の２つの数、つまり、１６２と６８７については、
｜１６２－６８７｜＝５２５≠３０
となって上手くいかないのですが、この辺りはいくらでも方法があります。

例えば、図１のように、３桁の数については、百の位の数を下２桁の数に足して２桁の数に変換する（図１の青字の数）という規則と、先ほどの各行の隣り合う数の差の絶対値をとるという規則を組み合わせれば、求めるべきＡ（図１の赤字の数）は２となります。

▲図１．３桁の数で百の位の数を下２桁の数に加える規則

ここでちょっと引っかかるのは、上述した２つの規則、つまり、
（１）３桁の数の場合、百の位の数を下２桁の数に加え２桁の数に変換する
（２）各行の隣り合う数の差の絶対値をとる
の（１）を無視しても、言い換えれば、１行目の右の２つの数について（２）の規則が成り立たないことを無視しても、Ａが２となってしまうところです。

という訳で、違う規則を探すのですが、そこで目に付くのが右上の６８７とその下の３０です。

１行目の４つの数を比べると６８７が突出して大きく、２行目の３つの数を比べると、１行目の６８７ほどではありませんが、３０が大きいことが特徴的です。つまり、大きい数から少し大きい数が生じているので各桁の数の和や積が関係していそうと感じるわけです。

そこで、各桁の数の和を作ってみると、１行目の４つの数は、左から順に、
１６０→７
１４４→９
１６２→９
６８７→２１
となり、次に隣り合う数の和をとると、
７＋９＝１６
９＋９＝１８
９＋２１＝３０
と２行目の３つの数と一致しました。

新しい規則（各桁の数の和を作り隣り合う２つの数の和を作るという操作を繰り返す）を適用すると、図２にあるように、Ａ＝１６（図２の赤字の数）となります。

▲図２．各桁の数の和を作る規則

初めの規則と新しい規則を比べると、新しい規則のほうがすっきりしていますが、だからと言って初めの規則が複雑すぎるということもないような気もします。まあ、新しい規則が正解で初めの規則は誤答だと思いますが、実際の採点はどうしたのでしょうか。興味のあるところです。

明日は、平成２０年度工学系研究科システム創成学の暗号問題です。

「次の２つの例は、あるルールに基づいて作られた暗号である。
（４９，７５，１１３，１２６，１２９）：ｋｅｙ３７＝ｌａｂｏｒ
（７１，４５，５３，６７，１１２，８２）：ｋｅｙ３１＝ｉｎｖｅｓｔ
このルールに基づくと、以下の暗号は何と読むことができるか？
（１０６，１１２，７７，１０７，９２，７１）：ｋｅｙ２９＝？？？」

あまりにも簡単なのでつまらないとは思いますが・・・。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北風が吹いて秋らしい涼しい日になりました。明日も同じような天気ですが、土曜日から雨模様です。

昨日提示した平成１９年度工学系研究科システム量子工学の入試問題を見ていきます。問題は、
「暗号文「９７０」は「○□△☆×」、「２２２０」は「△□△☆×」、「２９３０」は「☆△□○×」で表される。このとき、「７８１」はどのように表されるか」
というものです。

暗号文というと第二次世界大戦当時のドイツの「エニグマ」とか、素数を利用した暗号システムＲＳＡとか想像してしまいますが、それらは普通の試験問題とはいささか縁が薄いようで、入試に出題されるものは簡単な数学規則で数値を数値に変換するようなものでしょう。

実際、この問題も易しくて、直ぐに１０進法から５進法への変換かなと予想できました。その理由は、
（１）３桁の９７０と４桁の２２２０が同じ数の記号で表されている
（２）記号の種類が５種類
ということです。

（１）については、○と△の桁数が違えば理由にならないのですが、細かいことは気にせず、取りあえず挙げられた数を５進法に変換してみるのが手っ取り早いです。図１に９７０、２２２０、２９３０を１０進法から５進法に変換した結果を示します。

▲図１．１０進法→５進法

案の定、（　（　　）10 は、１０進法表記、（　　）5 は５進法表記を表します）
（９７０）10→（１２３４０）5
（２２２０）10→（３２３４０）5
（２９３０）10→（４３２１０）5
となり、
○＝１
□＝２
△＝３
☆＝４
×＝０
と解読できました。

次に、（７８１）10 を５進法に変換し、各桁の数を記号に置き直せば終わりです。図２に（７８１）10 を５進法に変換する計算を示します。

▲図２．（７８１）10　の５進法表記

つまり、（７８１）10＝（１１１１１）5 なので、これを記号で表した、○○○○○ が正解となります。

もし、１０進法→ｐ進法と予想したならば、
　９７０＝○・ｐ^4＋□・ｐ^3＋△・ｐ^2＋☆・ｐ＋×　　（１）
２２２０＝△・ｐ^4＋□・ｐ^3＋△・ｐ^2＋☆・ｐ＋×　　（２）
２９３０＝☆・ｐ^4＋△・ｐ^3＋□・ｐ^2＋○・ｐ＋×　　（３）
と立式し、（２）－（１）から
２２２０－９７０＝１２５０
＝２・５^4
＝（△－○）・ｐ^4
からｐ＝５を導き出して進める方法もありそうです。

明日は、平成１７年度工学系研究科システム量子工学の
「図の数字はある規則で並んでいる。Ａに入る数字を答えよ」

問題図

を取り上げます。気が向いたら挑戦してみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今は曇りですが夜には雨が降りそうで、さらに週末にかけて下り坂ということです。

さて、今回も東大大学院入試問題を取り上げます。問題は、平成２０年度工学系研究科環境海洋工学入試の
「以下の数字はある規則に従って並んでいる。（Ａ）に入る値は何か
π/４、４９π/３６、１７π/３６、１９π/１２、２５π/３６、（Ａ）」
というものです。

５分掛からずに解けた（つもり）ので難しくないと思うのですが、はたしてそれが正解なのかどうか判りません。

では、どのようにアプローチしたかを交えながら進めていきます。

まず、目に付くのが「π」で、左の２項が分子、分母とも平方数になっているのでなんとなく円の面積に関連していそうな気がします。しかし、第３、４項目と平方数からずれてきて、また、円の面積で単調でない変化する例など思い浮かばないので、円の面積については棄却します。（というか図形を使って考えないということで、この数列が円の面積を表していようとどうでもいい話なのですが）

そこで、不要な「π」を取ってしまうと、考えるべき数列は、
「１/４、４９/３６、１７/３６、１９/１２、２５/３６、（Ａ’）」
となります。

次に目に付くのは、いくつかの項の分母にある「３６」で、さらに、第１、４項の分母の「４」、「９」も「３６」の約数なので、通分すると、
「９/３６、４９/３６、１７/３６、５７/３６、２５/３６、（Ａ’）」
となり、考えるべき数列は、
「９、４９、１７、５７、２５、（Ａ”）」
となります。

実は、この辺りで解けたなと感じていて、とりあえずいつものように階差を調べてみると、
　９→４９　　差＋４０
４９→１７　　差－３２
１７→５７　　差＋４０
５７→２５　　差－３２
のように＋４０と－３２が繰り返していて、少し拍子抜けです。

つまり、一般項をａ(n)とすると、
ａ(n+1)＝（ａ(n)＋４０）π/３６　　ｎが奇数
ａ(n+1)＝（ａ(n)－３２）π/３６　　ｎが偶数
ということで、求める（Ａ）は、６５π/３６　になります。

しかし、奇数項と偶数項との２つに場合分けしたところが少し引っかかっていて、階差の＋４０と－３２をひねり出せないかと少し考えたのですが、良いアイデアもなく（正解と思っていてあまり真剣に考えていないのですが）　終わりにしました。もし、正解を知っている方がいましたら教えて頂けるとありがたいです。

明日は、以下に示す平成１９年度工学系研究科システム量子工学の入試問題を取り上げます。

「暗号文「９７０」は「○□△☆×」、「２２２０」は「△□△☆×」、「２９３０」は「☆△□○×」で表される。このとき、「７８１」はどのように表されるか」

興味があれば挑戦してみてください。

中学生でも解ける東大大学院入試問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昼過ぎに大きな地震があり驚きました。物が落下するなどの被害もなく良かったです。

これまで何回か取り上げましたが、東大大学院入試には論理的思考を試すということで、規則性、魔方陣、推理算、暗号などパズルが出題されます。それらの問題は、中学生でも解ける、結構面白いもので、今回は平成１９年度工学系研究科システム量子工学の問題を取り上げます。

問題は、
「以下の（Ａ）に入る数字は何か？
６４→２８→６８→７６→５０→（Ａ）→２→４→１６→３８→７０」
というものです。

これは数列の規則性を見つける問題です。なかなか難しく、解くのに約１５分掛かりました。（但し、正解を知らないので合っているかわかりませんが）今回は、この問題にどのようにアプローチしたかを説明しながら進めて行きたいと思います。

まず、与えられた数列全体を見渡すと、項間の増減は、減→増→増→減→？→？→増→増→増→増と増減を不規則に繰り返しているので、高校で勉強する等差、等比、階差数列で表すのは難しそうです。

また、増加と減少を繰り返すためには、減算（引き算）か除算（割り算）の関与が予想できますが、除算では割り切れない場合があるので減算のほうが簡単そうです。（結局、これは関係なかったのですが）

次に、与えられた数列の細部に目をやると特徴的なのが、（Ａ）の右側の２→４→１６で、４と１６は、２の２乗、４の２乗で表せます。

さらに、１６の次項が３８で１６の２乗の２５６とは大きくずれてしまうのですが、３８に近い平方数３６を思い浮かべると（ここがポイントです）、それは１６の一の位の６の２乗です。そこで十の位の１を使って、その２倍を３６に加えて３８を作ります。

つまり、ある項を　（１０ａ＋ｂ）　とすると次の項が　（ｂ^2＋２ａ）　（ｂ^2はｂの２乗を表します）と予想する訳です。

この規則を数列の端から適用してみると、
６４→４^2＋２×６＝２８
となって、これは解けたかもしれないと、脳にドーパミンが出始める次第です。

さらに検証を重ねると、
２８→８^2＋２×２＝６８
６８→８^2＋２×６＝７６←ここで確信します
７６→６^2＋２×７＝５０
５０→０^2＋２×５＝１０←これが（Ａ）
１０→０^2＋２×１＝２
　２→２^2＋２×０＝４
　４→４^2＋２×０＝１６
１６→６^2＋２×６＝３８
３８→８^2＋２×３＝７０
と予想が正しいことがわかりました。

もし、ある項を　（１０ａ＋ｂ）　とし、次の項が　（ｂ^2＋７ａ）　、つまり、（Ａ）の右側の項が、２→４→１６→４３　となると、また一段と難しくなりそうです。

明日は下記の数列の問題を説明します。興味があれば挑戦してみてください。

明日の問題（平成２０年度工学系研究科環境海洋工学入試問題）
「以下の数字はある規則に従って並んでいる。（Ａ）に入る値は何か
π/４、４９π/３６、１７π/３６、１９π/１２、２５π/３６、（Ａ）」