ある数学愛好者のひとり言

数学好きな私がひとり言をつぶやきます。

1辺がaの正四面体の体積と表面積・高さを求める ~中学校数学の話題から

2024-03-22 00:00:24 | 数学・数学教育

2024年3月22日(金)

 

 本文に重大なミスがあったので、書き改めた。再掲載する。

 

 正四面体の体積と底面積(底面積 ×4=表面積)・高さを求めてみよう。

 正四面体は正三角錐であるから、正三角錐の表面積・高さおよび体積を求める場合と同様にできる。ここに、

正三角錐とは、

  底面・・・正三角形   側面・・・合同な3つの二等辺三角形

からできている立体のことである。その正四面体の体積を求めるには、通常中学校数学では次のようにする。

(1)底面積を求める。

    底面は正三角形であるから、頂点から底辺に垂線をひいて、三平方の定理を用いると正三角形の高

   が求まる。本文に記述がある。

(2)高さを求める。

    正四面体の頂点から底辺に引いたの足の足は、底面の重心になる。このことから、頂点と底辺の重心

   と底辺の正三角形の頂点を結んだ三角形は、直角三角形になる。三平方の定理を用いると、高さが求ま

   る。

(3)体積を求める。

    正四面体の底面積と高さがもとまれば、体積は     

     体積=1/3×底面×高さ

  で計算できる。

 

 多くの中学生は、上の(1)・(2)(3)の手順で正四面体の体積を求めるであろう。しかし、正四面体

の体積は、もっと簡単に求まるのである。それを紹介しよう。

 

注意

 大日本図書の教科書『数学の世界3』に類似した正四角錐の体積を求める次の問題の記載がある。

 

大日本図書『数学の世界3』7章「三平方の定理」p214より引用

 

 

 

 

ちょっと休息

(1)3月20日(水)のfacebook投稿より  入手した2つの放送大学の印刷教材

 今日(3月20日)に、アマゾンに予約してあった2冊の放送大学の印刷教材が配達されました。それは、『枕草

子の世界’24』『物理の世界’24』です。何れも2024年1学期からの新規開講科目です。

 このうち『枕草子の世界’24』は、私が特に読みたいと思って購入した本です。2学期に履修予定の科目ですが、
 
それとは別に早く読みたいと思っていました。おそらく、今年度末に放送大学を退官される島内裕子先生の学部で
 
の最後の授業となる気がします。2024年1学期の間に時間的余裕を見つけて、ラジオ放送の授業をネット配信
 
で聴講しながら、この本を読み終えたいと思っています。
 
 『物理の世界’24』は、今すぐ学習を始めるわけでありません。履修も落ちつく2025年1学期頃を考えています。
 
「おもしろ物理サークル」での提案の際に、参考にしたいと考えています。
 
 何れの印刷教材も前もって購入したいと思っていましたので、割高になりましたが早く入手できてよかったと思っ
 
ています。

コメント (10)    この記事についてブログを書く
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする
« 鋭角三角形に関する不等式の... | トップ | 方程式の実数解周辺に関する... »
最新の画像もっと見る

10 コメント

コメント日が  古い順  |   新しい順
Unknown (お助けマン)
2024-03-20 23:10:19
 こんばんは。早速の一辺がaの正四面体の体積、表面積、高さのご解説ありがとうございます。まず、以前、投稿しました私の投稿が掲載されています。先生のパソコンも復帰して現在は、先生の解説はすべて正しいので、以前投稿のコメント1の削除をお願い出来ますと有り難く存じます。
 それと、高さhの求め方は、先生の求め方もとても素晴らしい解法と思います。私は、両辺を12倍して、次のように高さhを求めてみました。
1/3✕√3/4a²h=√2/12a³の両辺を12倍すると、
√3a²h=√2/12a³よってh=√2/√3a=√6/3aで勿論答えは、先生の答えと同じになります。
 今回の先生の解法は、とても有益な解法かと思います。正四面体の底面積と高さを用いる解法は、時間もかかり間違えやすい計算もあり、中学生にとっても、とても参考になるかと思います。私も正四面体の体積=1/3✕立方体の体積の解法を用いて解いています。とても有益な解法の紹介は、とても素晴らしい解法と思います。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。
 
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-20 23:22:16
 こんばんは。先ほど投稿させていただきました、お助けマンであります。誠に申し訳ございませんが、両辺を12倍した式に誤りがございました。正しくは、√3a²h=√2a³であります。よって、h=√2/√3a=√6/3aとなります。間違えましてすみませんでした。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-20 23:31:20
 こんばんは。先生の本文に体積を求める式に、✕✕の部分がありました。正しくは、体積=1/3✕底面積✕高さ かと思います。ご確認いただけますと有り難く存じます。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。
返信する
「お助けマン」氏へ (Y.H)
2024-03-21 05:26:06
おはようございます。

残念ながらパソコンは,結局直りませんでした。スキャナーをノートパソコンにつなぎ直して,何とか画像を取り込んでいます。

以前のブログ、見直せば良かったのですがあわてていたこともあってそのまま掲載してしまいました。ご指摘によって、重大な誤りに気づいて直したわけです。
ありがとうございました。
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-21 07:15:22
 おはようございます。早速の変更、有り難く存じます。パソコンも十分には、直っていないとのこと。了解しました。しっかりと最初のコメントも消してもらえまして、嬉しく思います。そして、本文も「体積=1/3✕底面✕高さ」に変更され、良かったです。
 とにかく、素早いご対応に感謝しています。ありがとうございます。
 今回の正四面体の話題のご提供は、とても素晴らしいと思います。先生の知的好奇心・探究心・向上心の発揮と思います。本当に素晴らしいです。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。
返信する
「お助けマン」氏へ (Y.H)
2024-03-21 08:23:41
今後もご教示、よろしくお願いします。
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-22 07:56:53
おはようございます。先生の正四面体のブログをじっくりと拝読させていただき、とても嬉しく思います。有り難く存じます。先生の本文で、正四面体は、正三角錐と書いてありますが、正四面体は合同な正三角形が4枚で囲まれた図形かと思います。その証拠に先生は、表面積は、正三角形を4倍されています。よって、正四面体は、正三角錐ではないと思いますが、いかがでしょうか。ご確認いただけますと、嬉しく思います。ご教示いただけますと有り難く存じます。宜しくお願いしますお助けマンより。
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-22 08:28:21
 おはようございます。追伸です。正四面体は、正三角錐には含まれますが、「正四面体=正三角錐」ではないと、私なりに解釈しました。先生のご教示をいただけますと嬉しく思います。宜しくお願いします。
返信する
「お助けマン」氏へ (Y.H)
2024-03-22 09:11:43
コメントありがとうございます。
鋭い指摘ですが、「正四面体は正三角錐である」との表現はよく使います。
  正四面体⇒正三角錐
  正四面体⊂正三角錐
この場合、特段正四面体を強調する場合以外は、「正四面体は正三角錐である」と言っていいと思います。正四面体と正三角錐とは、排反的な概念でないからです。

同じことは、よく中学数学で問題になる「多項式」と「単項式」も同様です。中学数学ではこの2つの概念を排反的に使っています、すなわち別の物とはっきり区別していますが、これは間違いです。
 単項式は、項が1つである多項式と定義する
これが高校数学の多数の教科書や大学での数学の「単項式」の定義です。
  単項式⊂多項式
だから、2xのような中学数学の単項式を私達は
「多項式2x」というような言い方をします。単項式と多項式の2つを区別する必要がないからです。というより、「単項式は多項式でない」とすると、代数系が構築できなくなりますから、「単項式は多項式である」というのが当然のことです。代数系とは、群・環・体やベクトル空間(線型空間)などの理論体系のことです。

以上から、「正四面体は正三角錐である」と言ってもいいと思います。私のブログでは、このような言い方を多くしています。
返信する
Unknown (お助けマン)
2024-03-22 09:31:33
 おはようございます。早速のご教示、本当にありがとうございます。納得出来ました。当初、私は、中学数学の範疇で考えて、「正四面体は、正三角錐である。」は、「正四面体は、正三角錐に含まれる。」と思い、先生のご教示をお願いしました。そうしますと、とても説得力のあるご教示を賜わり、感謝しています。数学の多方面に渡り、ご見識のある先生を尊敬しています。これから宜しくお願いします。お助けマンより。
返信する

コメントを投稿

数学・数学教育」カテゴリの最新記事