２０２４年７月２８日（日）
前回のブログ、
微分可能な多様体の接ベクトル空間１ （２０２４年７月２４日）
のつづきとして、今回も接ベクトル空間のいくつかの基礎的な性質を扱ってみる。
まず接ベクトル空間は、局所座標の取り方に依存することなく、ベクトル空間としては同一であると言
うことである。定理４の主張である。
次に、局所座標で表された２つの接ベクトル相互の成分の変換則である。接ベクトルの基底は共変基底
であるから、その変換則による成分のベクトルは反変ベクトルとなる。しかし、そのことには深入りせずに
に普通に接ベクトルを表記したのが定理４である。
今回の主題は、上に述べた２つである。接ベクトル空間のごく基本的な部分を考えて見たのである。
（訂正）
本文２枚目下から６行目
（誤）半変基底 → （正）反変基底
ちょっと休息
（１）７月２６日（金）のfacebook投稿より
今日は７月最後の金曜日でしたので、「おもしろ物理」サークルがある日でした。しかし急用ができまし
たので、行くことができませんでした。
明日は観光バスのツアーで、京都迎賓館に出かけます。
２０２４年７月２６日（金）
面白い問題である。私は始め記号⌈x⌉を、ガウス記号[x]と思っていた。問題を解くにあたって、問題文をよく
読んでみたら、ガウス記号[x]と違うことに気づいた。
記号⌈x⌉とガウス記号[x]とは定義が異なるが、ガウス記号[x]の場合と同じように解くことができる。小問（１）
は⌈x⌉＝ｍとおけば、mに関する２次不等式になる。小問（２）は、⌈x＋4/3⌉＝ｍとおく。(ｘ＋４/3)－1＝ｘ＋１/3
との関係を使う。すると、⌈x＋１/3⌉＝ｍ－１となる。小問（３）は、（解法）の通りである。
２０２４年７月２４日（水）
微分可能な多様体（可微分多様体）については、いずれ別の機会に述べたい。ここでは、多様体の接ベクトル
空間（接平面）について、そのさわりを考えてみたい。微分可能な多様体については、かってそして現在も私が
を最も関心もって学習している分野である。
接ベクトル空間とは、例えば２次元の曲面のある点の接平面を考えるとわかりやすい。曲面がz=f(x,y)であたえ
られるとき、その全微分は、
dz＝｛∂f(x,y)/∂x｝dx+ ｛∂f(x,y))/∂y｝dy
で表すことができる。ここに出てくる
∂/∂x ∂/∂y
を基底（基底ベクトル）として、接ベクトルは
ｖ＝a(∂/∂x)+b(∂/∂y)
と表すことができる。このベクトルｖが生成する空間を接平面というわけである。
このブログの内容は、この２次元の曲線の接空間の概念を微分可能な多様体に移したものである。多様体であ
るから、議論はある点っｘを含む開集合に導入された極所座標上で展開される。ｘを含む別の開集合に導入され
た極所座標とは、座標変換でお互いに移り合える。
ｘを含む２つの開集合の共通部分をある変換則によって接平面を貼り合わせて多様体全体に拡張したものが接
空間である。
多様体になじみの薄い人には難しいかも知れないが、あくまでも私自身の学習として整理したものである。
２０２４年７月２２日（月）
重複順列に関する数学Bの教科書の例題程度のやさしい問題である。
この問題の場合、右方向の異動を→で表し、上方向を↑で表すとする。すると、AからBに行く場合、
道順は
→ → → → ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
の並べ方による。例えば並べ方が
→ ↑ ↑ ↑ → ↑ → → ↑
の場合の道順は、
右 上 上 上 右 上 右 右 上
に対応する。すなわち、→４つ、 ↑５つの同じ物を1列に並べる重複順列になる。その方法は、
９！/(４！・５！)＝９・８・７・６/４・３・２・１＝１２６
となるわけである。
やさしいので、全問解いてほしい。
ちょっと休息
（１）７月１９日（金）のFacebook投稿より
２０２４年７月１９日（金）
位相空間の３つめの定義として、近傍系を定めることについて述べてみた。
近傍とは、ごく簡単にある多様体の１点ｘを含む開集合のことである。例えば、球体Vと球面Sを考えて見
よう。球体の境界面∂V上に1点ｘをとる。境界面∂Vと球面Sとは、ｘの近傍が違う。このことから、球体Vと
球面Sとは、多様体として別のものであることがわかる。
このように、点ｘの近傍とは我々の常識的な範囲で理解できる概念である。
