ある数学愛好者のひとり言

数学好きな私がひとり言をつぶやきます。

微分可能な多様体の接ベクトル空間2

2024-07-28 00:00:54 | 数学・数学教育

2024年7月28日(日)

 

 前回のブログ、

   微分可能な多様体の接ベクトル空間1 (2024年7月24日)

のつづきとして、今回も接ベクトル空間のいくつかの基礎的な性質を扱ってみる。

 まず接ベクトル空間は、局所座標の取り方に依存することなく、ベクトル空間としては同一であると言

うことである。定理4の主張である。

 次に、局所座標で表された2つの接ベクトル相互の成分の変換則である。接ベクトルの基底は共変基底

であるから、その変換則による成分のベクトルは反変ベクトルとなる。しかし、そのことには深入りせずに

に普通に接ベクトルを表記したのが定理4である。

 今回の主題は、上に述べた2つである。接ベクトル空間のごく基本的な部分を考えて見たのである。

 

(訂正)

 本文2枚目下から6行目

 (誤)変基底  → (正)変基底

 

 

 

 

ちょっと休息

(1)7月26日(金)のfacebook投稿より

 今日は7月最後の金曜日でしたので、「おもしろ物理」サークルがある日でした。しかし急用ができまし

たので、行くことができませんでした。

 明日は観光バスのツアーで、京都迎賓館に出かけます。

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記号⌈x⌉を用いた不等式・方程式 ~2024年度前期日程の鳥取大学医学部医学科の入試より

2024-07-26 00:00:40 | 数学・数学教育

2024年7月26日(金)

 

 面白い問題である。私は始め記号⌈x⌉を、ガウス記号[x]と思っていた。問題を解くにあたって、問題文をよく

読んでみたら、ガウス記号[x]と違うことに気づいた。

 記号⌈x⌉とガウス記号[x]とは定義が異なるが、ガウス記号[x]の場合と同じように解くことができる。小問(1)

⌈x⌉=mとおけば、mに関する2次不等式になる。小問(2)は、⌈x+4/3⌉=mとおく。(x+4/3)-1=x+1/3

との関係を使う。すると、⌈x+1/3⌉=m-1となる。小問(3)は、(解法)の通りである。

   

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微分可能な多様体の接ベクトル空間1

2024-07-24 00:00:56 | 数学・数学教育

2024年7月24日(水)

 

 微分可能な多様体(可微分多様体)については、いずれ別の機会に述べたい。ここでは、多様体の接ベクトル

空間(接平面)について、そのさわりを考えてみたい。微分可能な多様体については、かってそして現在も私が

を最も関心もって学習している分野である。

 接ベクトル空間とは、例えば2次元の曲面のある点の接平面を考えるとわかりやすい。曲面がz=f(x,y)であたえ

られるとき、その全微分は、

   dz={∂f(x,y)/∂x}dx+ {∂f(x,y))/∂y}dy

で表すことができる。ここに出てくる

   ∂/∂x   ∂/∂y

基底(基底ベクトル)として、接ベクトルは

   v=a(∂/∂x)+b(∂/∂y)

と表すことができる。このベクトルvが生成する空間を接平面というわけである。

 このブログの内容は、この2次元の曲線の接空間の概念を微分可能な多様体に移したものである。多様体であ

るから、議論はある点っxを含む開集合に導入された極所座標上で展開される。xを含む別の開集合に導入され

た極所座標とは、座標変換でお互いに移り合える。

 xを含む2つの開集合の共通部分をある変換則によって接平面を貼り合わせて多様体全体に拡張したものが

空間である。

 

多様体になじみの薄い人には難しいかも知れないが、あくまでも私自身の学習として整理したものである。

 

 

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重複順列の問題 ~2024年前期日程の鳥取大学医学部医学科以外の学部・学科の入試より

2024-07-22 00:00:34 | 数学・数学教育

2024年7月22日(月)

 

 重複順列に関する数学Bの教科書の例題程度のやさしい問題である。

 この問題の場合、右方向の異動で表し、上方向を↑で表すとする。すると、AからBに行く場合、

道順は

  → → → →  ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

の並べ方による。例えば並べ方が

  →  ↑ ↑ ↑  →  ↑  → →  ↑

の場合の道順は、

  右 上 上 上 右 上 右 右 上

に対応する。すなわち、→4つ、 ↑5つの同じ物を1列に並べる重複順列になる。その方法は、

  9!/(4!・5!)=9・8・7・6/4・3・2・1=126

となるわけである。

 やさしいので、全問解いてほしい。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

(1)7月19日(金)のFacebook投稿より

学びの記録
 
 今日は暑い日でしたので、室内に閉じこもりました。エアコンをつけっぱなしにしました。そして、図の挿入を
 
除いて、学位授与機構に提出する学修成果のレポートを完成させました。表紙・目次・本文(序論・本文3章・終
 
章)・参考文献とすべて1つのレポートとしてPDFファイルに直してみました。全部で、16ページになりました。
 
 後は細部を手直しして、誤りなどの訂正の作業をします。また、レポートの要旨をA4にまとめる必要があります。
 
何れも学習成果のレポート等は、8月中に完成させればいいのです。
 
 
(2)Facebookへのある投稿者に対する私のコメント(投稿日は7月20日)
 
 PTAは入退会自由な任意団体です。PTAに入らない理由など必要ありません。
 
>「PTA会員向け(限定)の活動を学校内の生徒に行ったことが知られました。」
 
⇒事情がわかりませんが、もし事実ならば、学校・校長が追及されても仕方がないことだと思います。PTA活動は学校
 
の活動とは全く別物であり、校長は児童・生徒に強制的に参加させることはできないからです。事故があれば公的な
 
保障は受けられないし、PTAからの保障は非会員の生徒・児童には及びません。こうしたことは、やめさせなければな
 
りません。かって江並中学校で同じようなことがありましたが、私は県教委・市教委・学校に抗議して事実上生徒の参
 
加はなくなりました。
 
 
 PTAの加入率が下がっているのは全国的傾向ですが、その原因はPTA自身にあると言わざるを得ません。加入率が下がっ
 
てきたとしても、卒業生に寄付している卒業証書を入れるフォルダーの実費を非会員に要求することは許されないこと
 
です。「PTAの寄付は、全児童・生徒を対象にした場合のみ、学校・校長は受け入れる」との県教委の指針もありますし、
 
市教委も校長会に伝えていると思います。
 
 いずれにしても、PTAは学校の組織と何の関係もありません。校長は任意団体のひとつに過ぎないとの認識で、PTAに対
 
応していく必要があります。
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位相空間の3つの定義について2 ~近傍系による定義

2024-07-19 00:00:11 | 数学・数学教育

2024年7月19日(金)

 

 位相空間の3つめの定義として、近傍系を定めることについて述べてみた。

 

 近傍とは、ごく簡単にある多様体の1点xを含む開集合のことである。例えば、球体Vと球面Sを考えて見

よう。球体の境界面∂V上に1点xをとる。境界面∂Vと球面Sとは、xの近傍が違う。このことから、球体Vと

球面Sとは、多様体として別のものであることがわかる。

 このように、点xの近傍とは我々の常識的な範囲で理解できる概念である。

 

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