未知の三角形の辺の長さを求める ～ネット上にあった問題より

２０２３年１２月３０日（土）

 

 　あと少しで２０２３年も暮れる。いつもなら、今年の振り返りをするのが普通であるが、いろいろな

こともあって、整理がついているわけでない。今年の振り返りをしないこととした。放送大学の学びに

ついては、２０２３年度末（２０２４年３月３１日）が区切りとなる。２０２４年の初めは、２０２３

年からの継続であるので、特に意味があるわけでない。こちらも書く必要性を感じない。

 

　さて、今回のブログはネット上にあった未知の三角形の辺の長さを求める問題を取りあげて見た。私は

この問題を見たとき、すぐに解法を思いついた。だから、やさしい問題だと思った。最初に思いついたの

が、余弦定理を使う（解法）であった。問題で、与えられた三角形が二等辺三角形であるから、∠Bに注目

して公式を適応すれば、解ける。

　その後、与えられた三角形が二等辺三角形であるから頂点から底辺に垂線を引けば、２つの合同な三角

形ができる。この三角形を利用して三平方の定理を利用すれば中学数学でできるのではないかと思った。

その発想で解いたのが（別解）である。当然ながら、（別解）の方が簡単である。

 

　今年のブログの更新は、今回が最後になる。

　いい年をお迎えください！

 

 

 

 

 

ちょっと休息　

（１）１２月２９日のFacebook投稿

　　今日の午前中に、愛知県弥富市のイオンタウンのビッグに行きました。正月の準備のための買い物です。

　カニの購入がメインです。ビッグは、イオングループですので、カードで購入の場合全製品が５％引きでした。

 

（２）１２月３０日のFacebook投稿

　年末のぎりぎりの今日、放送大学から通信課題の結果と解説の入った封筒単単位認定試験の受験許可と注意事

項の入った封筒が送られてきました。今日は土曜日ですが、配達されました。

　今日送られてきた内容は、既にWEB上で確認しています。

　

Vandermondeの行列式

２０２３年１２月２８日（木）

 

　行列式の計算だけでなく、Vandermondeの行列式を利用すると因数分解もできることになる。たとえば、

例題１で、左辺の行列式を直接をサラスの方法で展開した式と右辺の式とを比較すると

　　a²b＋b²c＋c²a－ab² －bc² －ca²＝(a－b)(b－c)(c－a)

と因数分解できることになる。

　いろいろな数学の場で利用価値の多いVandermondeの行列式について紹介したい。

 

 

 

 

 

ちょっと休息　　正月準備

　１２月２８日は大掃除。１２月２９日午前中は、弥富のイオンタウンのビッグで正月の買い物。

　２０２３年、あと３日となった。

 

整数（倍数）の論証問題 ～２０２３年前期日程の富山大学医学部・薬学部・理学部（数学科）入試より

２０２３年１２月２６日（火）

 

　富山大学の理系の入試問題で、整数に関する論証問題をとりあげる。

　　　命題　P(n) 　　z^3^n－z^3^(nｰ1)≡0 　(mod 3^n)

を証明する問題である。

小問（１）の P(１) の証明、小問（２）の P(２) の証明は、小問（３）の P(ｎ) の証明に対する準備（補助定理）

の役割を果たしている。数学的帰納法を持ちいて、小問（３）の P(ｎ) の証明を行うわけである。

　小問（１）の証明は、容易である。小問（２）の証明は、式の変形の工夫が必要で、それなりに難しい。そして、

小問（３）は、やや難問である。

　

　本ブログでは、現行の数学の「数学と人間の活動」（数研出版の「数学」）で扱われる合同式を最大限利用した。

従来から合同式は、数学Aでは基礎ときな知識として重点的に扱われてこなかった。現に数研出版の『数学A』でも

「補足」（P１７５～P１７６）の扱いである。しかし、ブログでは積極的に扱った。それは、合同式を使うことで

証明の見通しがよくなることと何より証明の記述を簡約できることである。たとえば、整数Nの集合を３で割った余

りによって分類するとき

　　　　n=3k   ,   n=3k+1  , n=3k+2

とするよりも、

　　　　n≡0 (mod 3)  ,   n≡1(mod 3)    ,   n≡2(mod 3)

と表記して計算した方が遙かに短くて済む。試しに本ブログの小問（２）を合同式を使わないで証明の記述を

してみると、このことがよくわかると思う。

 

　まず、解いてみよう。

 

（注）前書きの「合同式」の部分を、一部書き改めた。（２０２３年１２月３１日記）

 

 

 

 

ちょっと休息

（1）PTA関係の2題

　　１　東海テレビの放送

　　　　東海テレビが名古屋市のPTAが学校に寄付している実態を放送しました。PTAが学校の「第二のサイフ」

　　　になっていることを検証したいい番組内容である。
　　　　　

　　　　かわるPTA　　第二のサイフ

　　　　　　https://locipo.jp/creative/9031ed78-f1e1-4743-a2b1-78ce65a23a6f

　　　２．全国PTA組織から脱退へ　さいたま市PTA協議会

　　　　　　日本PTA協議会の混乱ぶりを象徴するニュース

　　　　　　https://news.yahoo.co.jp/articles/c3cbe140b2cbcd48f0c1cc81ff04dc736601ed20

 

（２）校長の戒告処分

　　　２０２１年度に大垣市教育委員会学校教育課の参事をしていたこの校長と、あることで２～３度ほど電話

　　で話したことがあった。その校長に対して、１２月２２日の県教育委員会で戒告の懲戒処分が決定した。

　　　　　　https://www.pref.gifu.lg.jp/uploaded/attachment/379455.pdf

　　　　　　https://news.yahoo.co.jp/articles/252277ce459c7fe5145df749131d7277058f9f09

　　　　　　　　　

ベータ関数

２０２３年１２月２４日（日）

 

　本ブログの最後に述べられているように、ベータ関数は、Γ関数（ガンマ関数）を用いて、

　　　Β(p,q)＝Γ(p) Γ(q) /Γ(p+q)

のように定義することもできる。ベータ関数は、Γ関数（ガンマ関数）と密接な関係がある。このブログのΓ関

数（ガンマ関数）の次の記事を参照にしていただきたい。

　　Γ(ガンマ)関数の基礎的事項　　　（２０２３年１２月６日）

　　Γ(ガンマ)関数の負の数への拡張　（２０２３年１２月１０日）

 

　本ブログでは、ベータ関数を本来の定義である定積分を用いた。そして、

　　　　Β(p,q)＝Γ(p) Γ(q) /Γ(p+q)

は定理として導いた。ベータ関数の出発点をどこに求めるかは自由であるが、ここではオーソドックスな定義

を選んだ。

 

 

 

 

 

ちょっと休息　　１２月２２日のFacebook投稿

（１）学びの記録

　今日は予定外でしたが、岐阜学習センターに出かけました。８時４５分に岐阜学習センターのあるOKBふれあ

いセンターの第２棟２階のロビーに到着しました。９時まで休憩しました。

　視聴覚スペースに入室して、途中休息を挟んで１１時２０分ぐらいまで集中して『生物環境の科学'16』の過

去問を解きました。２０２３年１学期までの過去問のすべてを解いて、完了させました。この科目については

単位認定は大丈夫だろうと、自信が持てました。

　きりがついたところで、学生控え室で昼食を取ることにしました。学生控え室はニューリアルして今日から使

えるようになりました。見違えるほどきれいになりました。名誉学生である学友と話しながら、楽しい時間を過

ごしました。

　１２時２０分頃に、ふたたび頃にふたたび視聴覚スペースに入室しました。今度は『生活環境と情報認知'20』

の過去問を解きました。こちらは３回分しか過去問を所持していませんので、残り１時間ですべて完成させまし

た。この科目は難しく、自信はありませんが、何とかなるとの思いです。

　１３時４０分頃に岐阜学習センターを出ました。年末・正月に向けてガソリンを車に満タンに入れ、灯油４０

リットルを購入する用事がありましたので、岐路の途中に海津のJAのガソリンスタンドに寄りました。

 

（２）１２月２３日のfacebook投稿から

　こんなニュースが飛び込んできました。

　　全国PTA組織から脱退へ　さいたま市協「機能不全」

　　https://news.yahoo.co.jp/articles/c3cbe140b2cbcd48f0c1cc81ff04dc736601ed20

２次方程式の解の存在範囲 ～２０２３年前期日程の神戸大学文系入試より

２０２３年１２月２２日（金）

 

　２次方程式の実数解の存在範囲を求める神戸大学文系の入試問題である。実数解の存在範囲といえば

まず思いつくのは、２次方程式の判別式の利用である。

　例えば、実数mを係数とする２次方程式

　　　　x²＋mx＋2m²－1＝0

があるとき、

①実数解をもつときのｍの範囲

　　　　D＝m²－4(2m²ー1)=－7m²＋4≧0

　　　　　－2/√7 ≦m≦2/√7

②実数解ｘの範囲

　　　2m²＋xm＋x² －1＝0

　　　　D’＝x²－4・2(x² －1)＝－7x²＋8≧0

                     －2√2/√7 ≦x≦ 2√2/ √7

というように、実数解を持つときのｍの範囲も、実数解ｘの範囲を求めることができる。2次方程式の解の

存在範囲を求めるのに，判別式は基本的な技法である。

　本ブログで取りあげた問題も、小問（１）は判別式を用いる。小問（２）以降は、2次関数のグラフから

求める。

 

　なお、図についてはこのブログでは、入試問題集の解説

　　　旺文社刊『２０２４年度受験用　全国大学入試問題正解　数学　追加掲載編』

からの引用が多い。今回も同様である。

 

 

 

 

 

ちょっと休息　　　

（１）１２月２０日のfacebook投稿より

　パソコンで、年賀状を作成しました。使用したソフトは、筆まめでした。

昔は「プリントごっこ」で作成した記憶があります。何日もかかって年賀状を作成した記憶があります。

今日は、１時間もかかりませんでした。

 

（２）１２月２１日のfacebook投稿より

　今日は９時３０分から、小川陽子先生のセミナー『百人一首の世界』にzoomによるオンラインで参加

しました。今日とりあげられた和歌は、次の２首でした。

　　45　あはれとも言ふべき人は思ほえで身のいたづらになりぬべきかな　　（謙徳公＝藤原伊尹）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　50　君がため惜しからざりし命さえ長くもがなと思いけるかな　　　　　（藤原義孝）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　読み手である２人の関係は

　　（藤原師輔）―　藤原伊尹　― 藤原義孝　　―（藤原行成）

　父子です。
　
　　45の出典は、『拾遺和歌集』です。この歌の関連本として、『一条摂政御集』がとりあげられた。

50の出典は、『後拾遺和歌集』です。関連書籍として、『義孝集』『蜻蛉日記』『大鏡』からの和歌

に関連部分の引用がありました。45については関連書籍も含めて和歌の解釈として２通り、50につい

ては３通りの解釈が示されました。それぞれについて参加者がどの解釈を取るか意思表示し、2～3人

が意見を述べました。詳しいことは専門的になるので省きますが、50について私も発言しました。他

の人の意見も、面白かったです。

　小川先生は今年の３まで岐阜大学教育学部の准教授でしたが、今年の４月から広島大学文学部の准

教授として赴任されました。その関係で、今後もこのゼミはオンラインでずっと行われると思います。

※　藤原義孝は、天延2年（９７４年）に天然痘で２１歳で亡くなりました。『大鏡』によると、同じ

日の朝に兄の挙賢が死亡し、その日の夕方に義孝が死亡したとされています。