群の準同型定理１ ～その準備

２０２４年２月２９日（金）

 

　群の定義は,単純である。

（定義）

　　集合Mに積と呼ばれる演算が定義されていて、次の３条件が満たされるとき、Mを群という。

（１）∀a,b,c∈Mに対して、(ab)c=a(bc)      結合法則

（２）∀a ∈Mに対して、

　　　　　ae=ea=a

　　となる単位元e ∈Mが存在する。　単位元eの存在

（３）∀a ∈Mに対して、逆元a^－1 ∈Mが存在し、

　　　　　a a^ (－ 1 )＝a^  (－ 1 ) a=e

        がなりたつ。　　　　　　　　　　逆元の存在

 

　このように、群の定義は単純である。定義が単純だからであろうか、群は数学の多くの分野に広い応用

を持っている。

　群論の中で、特に重要な定理のひとつが、準同型定理である。今後、３回にわたって群の準同形定理を

述べていこう。今回は、その準備として基礎的な概念を見ていこう。重要な概念として、準同型写像、部

分群、写像ｆの核　kerｆ、商集合等である。この準備の基に、準同型定理を次回にとりあげて証明する。

　なお、このブログの記述は、

　　志賀浩二著『数学３０講シリーズ　群論への３０講』(朝倉書店、1989.0825 初版）

を多いに参考にさせていただいた。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）２月２７日のfacebook投稿から　・・・２月２７日のできごと

　今日は、田中先生のセミナー『日常生活の数学・物理』の開催日でした。岐阜学習センターにいつもの

ように９時少し前に到着しました。セミナーは１０時３０分からですので、時間があります。そこで、１

時間ぐらい視聴覚スペースで自習することにしました。

　今日は『樋口一葉の世界』の第６章「習作期から『武蔵野三部作』へ」を聴講しました。未完の習作と

『武蔵野三部作』に発表された『闇桜』『たま襷』『五月雨』を眺めることでした。雑誌『五月雨』は半

井桃水が発刊した雑誌で、３号で廃刊になっています。この間、一葉は半井桃水の指導を再び受けること

になったのです。

　１０時３０分からセミナーが始まりました。今日のテーマは、前回の続きで「コリオリの力」です。遠

心力もコリオリの力もみかけの力です。遠心力が位置だけで決まるのに対して、コリオリの力は速度だけ

で決まります。実際のコリオリの力がどの程度か、計算で求めることも内容のひとつです。速度が速くな

い場合のコリオリの力は無視できる程です。速度の速いミサイルの動きには、コリオリの力が大きな影響

を与えます。

　１２時過ぎにセミナーが終わって、学生控え室で昼食を取りながら参加者４人等と歓談していました。

　１３時１５分になったので、先に学生控え室を出ました。１３時３０分から１４時までの間に,岐阜教育

事務所教育支援課に行くことになっていたからです。目的は、個人情報保護請求書と情報公開請求書を提

出するためです。今回の請求は、北方町教育委員会に無関係でありませんが、直接関係ありません。請求

先の教育支援課にも無関係です。とにかく、提出してすぐにOKBふれあい会館に駐車場に戻りました。

　余分なことですが、自宅近くでスマートフォンを見たら教育支援課から５回ほど電話がかかってきてい

ました。運転中なので、出られなかったのです。すぐに電話をしたら、受取書を渡すことを忘れたので・

・・と言うことです。大垣市への個人情報保護請求で受取書などもらったことがありませんでしたが、県

の場合は請求者に渡すことになっているようです。それで、２８日１０時頃に受け取りにいくことにしま

した。

※今回の請求は個人的な目的ですので、個人情報保護請求書と情報公開請求書を公開しません。

直方体の2つの容器に入った水の高さの問題 ～２０２４年度ラサール中学校入試の１題より

２０２３年２月２７日（火）

 

　今ブログでは初めて、中学校の算数の入試問題をとりあげる。今年度のラサール中学校の問題６問中（試験

時間６０分）の１問である。

　以前にも書いたことがあるが、私はいわゆる有名私立中学校の算数の入試問題は苦手である。私の知りうる

数学の知識を総動員すれば解けないことはないが、算数の問題として解くことは難しい。まして小学校６年生

に説明することなど出来ない。最も算数的な解法と数学的な解法と言うような明確な区別があるわけでないが、

ここでは小学校算数で習う範囲での解法を算数的な解法と言うことにしよう。

　都市部の進学塾では、有名私立中学校の入学試験対策が盛んに行われている。そして、中学受験の専門の講

師が求められている。数学が得意なだけではダメで、中学入試の算数の指導に精通した講師が求められる。私

は年をとっているからもちろん該当しないが、若いときから中学受験に特化した算数指導の講師として向かな

いと思っていた。

 

小問（２）で使った１次方程式は中学数学１年生で習うことです。この部分を方程式を使わずに解くと、算数

的になるのでしょうか？

　なお、本ブログに記したことは、２月２９日（木）に開かれるサークル「おもしろ物理」の場で話題提供

する予定である。

 

 

（追伸）

　「お助けマン｣氏から、有益な別解を教示していただいた。算数的な解法はサークルのときに紹介すると

して、１次方程式による解を紹介しておこう。

容器Aと容器Bの水の量が等しいとき、普通

　　　容器A の水の量＝容器B 水の量

と考えるが、「お助けマン｣氏は

　　　容器A の水の量＋容器B 水の量＝２倍の水の量

として、１次方程式を立てられた。それを紹介しておこう。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

[別解]

　A、Ｂの水の量をそれぞれXcm³とする。すると、Aの底面積はX/8cm²、Ｂの底面積はX/18cm²となる。

ここで水の高さをhとすると、次の式が成り立つ。

　　　　　(X/8)×h＋(X/18)×h=２X

である。両辺をX(X>０）で割ると

　　　　　h/8＋h/18=２

ここで両辺を72倍すると、

　　　　　72(h/8＋h/18）=２×72

　　　　　9h＋4h=144

　　　　　13h=144

　　　　　h=144/1３cmまたは、h=11＋1/1３cm

　よって答え　144/13cmまたは、11 と1/13cm

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

平面ベクトルの図形への応用問題 〜2 0 2 4年度同志社大学理系の入試より

２０２４年２月２５日（日）

 

　今回も、２０２４年度の私立大学の入試問題をとりあげよう。

　同志社大学理系の記述問題で、４問出題された中で一番やさしい問題である。ベクトルの図形（三角形）

への応用で、この種の典型的な問題である。ただ、ベクトルBMの大きさがｘで与えられていることもあっ

て、小問（２）以降は計算の過程でXを含んだ式を扱うことになる。とはいっても、計算自体は複雑なもの

ではない。

　図をきちんと書いて、じっくり解いていってほしい。

 

放送大学「情報」コースの卒業認定と学位記授与式の案内が郵送されてきた

２０２４年２月２３日（金）

 

はじめに

　放送大学本部および岐阜学習センターから学位記授与式（卒業式）関連の文書が送付されてきた。

　本部からの学位記授与式関連の文書は、「卒業の認定について」と「２０２３(令和５)年度放送大学学位記授与式

等のご案内」と出席ハガキであった。学位記授与式（卒業式）関連の文書は、今回の送付が最後のものとなる。

　上記以外の本部からの文書は、学位記授与式の後に行われる本部・同窓会共催の「２０２３年度『卒業・修了祝賀

パーティー』のご案内」文であった。この文書にその会費（１３０００円）および同窓会への寄付の振込用紙が同封

されていた。こちらは、掲載する必要がないであろう。

　また、別封筒で毎学期送付される今学期の「成績結果表」と、入学したときからの「基盤科目・コース別の修得単位

と成績結果」が用紙で送られてきた。

　これ以前に、下記のような今回の「情報」コース卒業と関連深い事項である継続入学の案内と放送大学エクスパート

の申請書のブログを書いた。あわせて読まれたい。　

　　２０２３年度２学期の単位認定試験を受験する　＆　本部・岐阜学習センターから継続入学の案内が来る

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０２４年１月１６）

　　２０２３年度２学期の単位認定試験の成績発表　＆　放送大学エクスパート『環境科学の基礎』の申請

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０２４年２月１７日）

 

大学本部からの卒業認定・学位記授与式の案内文・出席ハガキ

　私は、本部主催の学位記授与式に参加することは考えていない。それゆえ、今回送付されてきた文書は、「卒業

認定」以外は、不要である。卒業に当たっては、このような文書が送られてくるという記録として掲載しておこう。

 

卒業認定

　卒業認定は、どこの大学もそうであろうが教授会の議決を得て認定される。卒業者・修了者にすべて送付される

正式な文書である。

　今回の「情報」コースの卒業については、私自身再入学をしたときの２年前の意気込みが空振りだったと正直思っ

ている。当初は、コンピューターの通信のしくみ、Webについての知識などのようなコンピュータのハード面・ソ

フト面に近い領域を学習するつもりであった。そして、Pythonプログラミングや統計解析ソフトのRの一定限の理

解も目指した。さらに、数値最適化法・ゲーム理論・待ち行列などの理論のさわりを『問題解決の数理’22』を学ぶ

中で履修しようと思っていた。

　しかし、その何れも履修しなかった。途中で「情報」コースに私自身が向かないことに気づいて、早く卒業しよ

うと思った。そのため、マルチメディア関連の科目・情報教育関連の科目など文系的な要素の強い科目の履修で済

ましてしまった。Pythonプログラミングはともかく、『問題解決の数理’22』で扱われる数値最適化法などの項目や

統計解析ソフトであるRの修得は、私の数学の学習にも必要なので、先々何とか履修したいと思っている。

　とにかく、消化不足の「情報」コースの卒業であった。

 

　

 

本部主催の学位記授与式の案内

　２０２３年度の学位記授与式は、ベルサール高田馬場で１１時から１時間開催される。２０２３年度１学期に卒

業・修了した学生も含めて、２学期の卒業・修了した学生すべてに送付される。出席を希望する卒業・修了生のみ、

ハガキを出すようになる。私のように出席しない人は、ほっておけばいい。

出席ハガキ

 

岐阜学習センターからの学位記授与式の案内

　２月１７日（土）の午後に、岐阜学習センターの野々村所長から卒業のお祝いの電話をいただいた。そして、１９

日（月）には、下のような「２０２３年度第２学期  放送大学岐阜学習センター学位記授与式のご案内」が郵送され

てきた。併せて、式後の「卒業生の皆様を囲む懇談会」の案内も同封されていた。

　私は前述したように東京で行われる本部主催の学位記授与式とその後の懇親会も出席しないが、岐阜学習センター

主催の学位記授与式と懇親会には出席することにしている。学位記は、所長から式の中でひとりひとりに授与される。

２年前の懇親会は面白くなかったが、今回はどうであろうか？

　出席のハガキは、２月２０日（火）に岐阜学習センターに出かけたときに、事務室で直接手渡しした。

　

 

出欠の回答ハガキ

 

 

 

 

ちょっと休息　　

（１）２月２０日のFacebook投稿から

　学びの記録

　今日は９時に岐阜学習センターに着きました。家を出る直前に電話がかかってきて、大事な電話でしたので５分以

上は話していました。そのため、家を出るのが遅くなったのです。

　９時３０分頃に視聴覚スペースに入りました。そしてすぐに『樋口一葉の世界’23』のラジオ放送を視聴しました。

今回は、第５章「小説家への道」でした。一葉の日記『若葉かげ』を通して、小説を書くために半井桃水の指導を受

けて挫折することも含めて、「小説家への道」を志した一葉の思いを考えることでした。興味深かったです。

　１１時近くにロビーで休息してから再び視聴覚スペースに入室しました。今度は『精神疾患と治療’20』のラジオ放

送を視聴しました。第６章「『うつ』をめぐる様々な話題」でした。講義の中でうつは病名でなく病症であるという

ことが強く印象に残りました。その病症の具体的状況と状況にあった治療についての講義でした。

　１２時３０分頃に学生控え室で、コンビニで購入してあった弁当を食べました。そして、１３時頃再び視聴覚スペー

スに入室して『社会学概論‘21』の１回目の講義を聴くことなしに視聴していました。２０２４年２学期には『枕草子

の世界’24』の他に、『社会学概論‘21』か『日本の教職論’22』のいずれかを履修したいと思いました。とらなかった

科目は,それ以降に回そうと、漠然と考えていました。

　いつも会う人とは別の名誉学生の人と少し話した後、２時頃に岐阜学センターを後にしました。

 

（２）２月２０日のFacebook投稿から

学位授与機構に『新しい学士への道　令和６年度版』と『学位授与申請書類一式』の資料請求

　学位授与機構に９月に申請する準備として、冊子『新しい学士への道　令和６年度版』と『申請書類一式』の資料

請求をしました。４月から本格的に取り組もうと思っています。

　岐阜大学の卒業証明書、成績証明書は取り寄せてあります。これが基礎になる大学です。それ以降の玉川大学通信

教育部の科目履修生、岐阜大学教育学部の科目履修生、岐阜聖徳学園大学教育学部の科目履修生、中退した岐阜聖徳

学園大学大学院の成績証明書と教育学部の科目履修生の成績証明書は、すべて揃っています。単位修得の申請がすぐ

に出来るように、申請書類の形式にあわせて整理してあります。放送大学については４月になってから、成績証明書

と全科履修生として在学していない証明としての卒業証明書を申請するつもりです。

　あとは、レポートとそのレポートの趣旨を書くことです。放送大学では一切卒業研究（論文）をとっていませんの

で、その代わりとして学位授与機構にレポートとそのレポートの趣旨を提出するつもりです。レポートを書くに当たっ

ての資料等の収集は、かなり進んできました。４月になってから、少しずつまとめていこうと思っています。　

 

 

代数学の基本定理の証明 ～複素解析学による方法

２０２４年２月２１日（水）

 

　代数学の基本定理とは、

　　　複素係数のn次代数方程式は、複素数の範囲で少なくとも1つの解をもつ

と言う基本的は定理である。この定理から、因数定理が導かれる。

　代数学の基本定理の証明には、いろいろな方法がある。

　まず、複素解析を用いない初等的な証明が、次のホームページ

　　高校数学の美しい物語　　代数学の基本定理とその初等的な証明　

に記載がある。また、Wikipedia

　　代数学の基本定理

の項目のなかにも、初等的な証明が紹介されている。

　

　次に、複素解析を使う証明である。これには、まず第１に私がこのブログで紹介したリウヴィルの定理を

用いる方法と、ルーシェの定理を用いる方法が知られている。ルーシェの定理を用いる証明は、Wikipedia

のなかの

　　代数学の基本定理

に証明の記載がある。

　あまり知られてない証明として、微分位相幾何学の手法による証明がある。

　　   By John W .Milnor  ""Topology from the Differrentaible Viewpoint'' (Princeton  University)

のP８～9のセクション

　　　the Fundamental  Theorem  of  Algebla

に証明の記載がある。訳本として、

　　　J.W.ミルナー著　蟹江幸博訳　『微分トポロジー講義』

　　　　　　　　　　　　　　　（シュプリンガー・フウェアラーク東京、1998.12.07)

の該当部分を参照にしていただきたい。

　

　複素解析に慣れていないと難しいと思うが、順に読んでいってほしい。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）確定申告

　２月１９日に、確定申告を行った。９時頃に海津市役所の会場に出かけたら、順番が７９番であった。待つ

こと２時間強、すべて終わったのが１１時４５分頃だった。

 

（２）北方町長選挙

　資料の提供をしていただいている北学園の保護者も、そしてPTA問題やいじめの問題で私も関心のあった北方

町長選挙・・・残念ながら期待していた新人（町議会議員の半数の５人が応援）は、よく健闘したが当選できな

かった。

　開票率 100%

　　当 　　３４６４ 戸部　哲哉　　 68 無 現 ＜３＞

　 　　　　２８６１ 白木　一秀　　 52 無 新

　町長と議会との意思が異なっているので、これからも波乱があるだろう。

 

（３）２０２４年度公立高校の最終志願者数

　２０２４年度公立高校の最終志願者数が２０日正午に確定した。

　中日新聞からの引用であるが、見にくい点は容赦されたい。

　岐阜地区５校普通課程の入試の厳しさがよくわかる。

２０２４年２月２１日の中日新聞朝刊岐阜県版（広域岐阜）より引用

 

（４）大垣市内中学校（上石津学園を除く）の標準服について

　中日新聞に次のような記事が掲載されていた。

　大垣市はかねてより保護者にアンケートを採るなど,標準服の査定に取り組んできた。その集大成が、下の記

事のようになったのであろう。

２０２４年２月２１日の中日新聞朝刊西濃版より引用