ある数学愛好者のひとり言

数学好きな私がひとり言をつぶやきます。

群の準同型定理1 ~その準備

2024-02-29 00:00:46 | 数学・数学教育

2024年2月29日(金)

 

 の定義は,単純である。

(定義)

  集合Mに積と呼ばれる演算が定義されていて、次の3条件が満たされるとき、Mを群という。

(1)∀a,b,c∈Mに対して、(ab)c=a(bc)      結合法則

(2)∀a ∈Mに対して、

     ae=ea=a

  となる単位元e ∈Mが存在する。 単位元eの存在

(3)∀a ∈Mに対して、逆元a^-1 ∈Mが存在し、

     a a^ (- 1 )=a^  (- 1 ) a=e

        がなりたつ。          元の存在

 

 このように、群の定義は単純である。定義が単純だからであろうか、群は数学の多くの分野に広い応用

を持っている。

 群論の中で、特に重要な定理のひとつが、準同型定理である。今後、3回にわたって群の準同形定理を

述べていこう。今回は、その準備として基礎的な概念を見ていこう。重要な概念として、準同型写像

分群写像fの核 kerf商集合等である。この準備の基に、準同型定理を次回にとりあげて証明する。

 なお、このブログの記述は、

  志賀浩二著『数学30講シリーズ 群論への30講』(朝倉書店、1989.0825 初版)

を多いに参考にさせていただいた。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

(1)2月27日のfacebook投稿から ・・・2月27日のできごと

 今日は、田中先生のセミナー『日常生活の数学・物理』の開催日でした。岐阜学習センターにいつもの

ように9時少し前に到着しました。セミナーは10時30分からですので、時間があります。そこで、1

時間ぐらい視聴覚スペースで自習することにしました。

 今日は『樋口一葉の世界』の第6章「習作期から『武蔵野三部作』へ」を聴講しました。未完の習作と

『武蔵野三部作』に発表された『闇桜』『たま襷』『五月雨』を眺めることでした。雑誌『五月雨』は

井桃水が発刊した雑誌で、3号で廃刊になっています。この間、一葉は半井桃水の指導を再び受けること

になったのです。

 10時30分からセミナーが始まりました。今日のテーマは、前回の続きで「コリオリの力」です。

心力もコリオリの力もみかけの力です。遠心力が位置だけで決まるのに対して、コリオリの力は速度だけ

で決まります。実際のコリオリの力がどの程度か、計算で求めることも内容のひとつです。速度が速くな

い場合のコリオリの力は無視できる程です。速度の速いミサイルの動きには、コリオリの力が大きな影響

を与えます。

 12時過ぎにセミナーが終わって、学生控え室で昼食を取りながら参加者4人等と歓談していました。

 13時15分になったので、先に学生控え室を出ました。13時30分から14時までの間に,岐阜教育

事務所教育支援課に行くことになっていたからです。目的は、個人情報保護請求書情報公開請求書を提

出するためです。今回の請求は、北方町教育委員会に無関係でありませんが、直接関係ありません。請求

先の教育支援課にも無関係です。とにかく、提出してすぐにOKBふれあい会館に駐車場に戻りました。

 余分なことですが、自宅近くでスマートフォンを見たら教育支援課から5回ほど電話がかかってきてい

ました。運転中なので、出られなかったのです。すぐに電話をしたら、受取書を渡すことを忘れたので・

・・と言うことです。大垣市への個人情報保護請求で受取書などもらったことがありませんでしたが、県

の場合は請求者に渡すことになっているようです。それで、28日10時頃に受け取りにいくことにしま

した。

※今回の請求は個人的な目的ですので、個人情報保護請求書と情報公開請求書を公開しません。

コメント
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする

直方体の2つの容器に入った水の高さの問題 ~2024年度ラサール中学校入試の1題より

2024-02-27 00:00:06 | 数学・数学教育

2023年2月27日(火)

 

 今ブログでは初めて、中学校の算数の入試問題をとりあげる。今年度のラサール中学校の問題6問中(試験

時間60分)の1問である。

 以前にも書いたことがあるが、私はいわゆる有名私立中学校の算数の入試問題は苦手である。私の知りうる

数学の知識を総動員すれば解けないことはないが、算数の問題として解くことは難しい。まして小学校6年生

に説明することなど出来ない。最も算数的な解法と数学的な解法と言うような明確な区別があるわけでないが、

ここでは小学校算数で習う範囲での解法を算数的な解法と言うことにしよう。

 都市部の進学塾では、有名私立中学校の入学試験対策が盛んに行われている。そして、中学受験の専門の講

師が求められている。数学が得意なだけではダメで、中学入試の算数の指導に精通した講師が求められる。私

は年をとっているからもちろん該当しないが、若いときから中学受験に特化した算数指導の講師として向かな

いと思っていた。

 

小問(2)で使った1次方程式は中学数学1年生で習うことです。この部分を方程式を使わずに解くと、算数

的になるのでしょうか?

 なお、本ブログに記したことは、2月29日(木)に開かれるサークル「おもしろ物理」の場で話題提供

する予定である。

 

 

(追伸)

 「お助けマン」氏から、有益な別解を教示していただいた。算数的な解法はサークルのときに紹介すると

して、1次方程式による解を紹介しておこう。

容器Aと容器Bの水の量が等しいとき、普通

   容器A の水の量=容器B 水の量

と考えるが、「お助けマン」氏は

   容器A の水の量+容器B 水の量=2倍の水の量

として、1次方程式を立てられた。それを紹介しておこう。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

[別解]

 A、Bの水の量をそれぞれXcm³とする。すると、Aの底面積はX/8cm²、Bの底面積はX/18cm²となる。

ここで水の高さをhとすると、次の式が成り立つ。

     (X/8)×h+(X/18)×h=2X

である。両辺をX(X>0)で割ると

     h/8+h/18=2

ここで両辺を72倍すると、

     72(h/8+h/18)=2×72

     9h+4h=144

     13h=144

     h=144/13cmまたは、h=11+1/13cm

 よって答え 144/13cmまたは、11 と1/13cm

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

コメント (13)
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする

平面ベクトルの図形への応用問題 〜2 0 2 4年度同志社大学理系の入試より

2024-02-25 00:00:45 | 数学・数学教育

2024年2月25日(日)

 

 今回も、2024年度の私立大学の入試問題をとりあげよう。

 同志社大学理系の記述問題で、4問出題された中で一番やさしい問題である。ベクトルの図形(三角形)

への応用で、この種の典型的な問題である。ただ、ベクトルBMの大きさがxで与えられていることもあっ

て、小問(2)以降は計算の過程でXを含んだ式を扱うことになる。とはいっても、計算自体は複雑なもの

ではない。

 図をきちんと書いて、じっくり解いていってほしい。

 

コメント
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする

放送大学「情報」コースの卒業認定と学位記授与式の案内が郵送されてきた

2024-02-23 00:00:40 | 放送大学等の学び

2024年2月23日(金)

 

はじめに

 放送大学本部および岐阜学習センターから学位記授与式(卒業式)関連の文書が送付されてきた。

 本部からの学位記授与式関連の文書は、「卒業の認定について」「2023(令和5)年度放送大学学位記授与式

等のご案内」と出席ハガキであった。学位記授与式(卒業式)関連の文書は、今回の送付が最後のものとなる。

 上記以外の本部からの文書は、学位記授与式の後に行われる本部・同窓会共催の「2023年度『卒業・修了祝賀

パーティー』のご案内」文であった。この文書にその会費(13000円)および同窓会への寄付の振込用紙が同封

されていた。こちらは、掲載する必要がないであろう。

 また、別封筒で毎学期送付される今学期の「成績結果表」と、入学したときからの「基盤科目・コース別の修得単位

と成績結果」が用紙で送られてきた。

 これ以前に、下記のような今回の「情報」コース卒業と関連深い事項である継続入学の案内放送大学エクスパート

の申請書のブログを書いた。あわせて読まれたい。 

  2023年度2学期の単位認定試験を受験する & 本部・岐阜学習センターから継続入学の案内が来る

                                    (2024年1月16)

  2023年度2学期の単位認定試験の成績発表 & 放送大学エクスパート『環境科学の基礎』の申請

                                    (2024年2月17日

 

大学本部からの卒業認定・学位記授与式の案内文・出席ハガキ

 私は、本部主催の学位記授与式に参加することは考えていない。それゆえ、今回送付されてきた文書は、「卒業

認定」以外は、不要である。卒業に当たっては、このような文書が送られてくるという記録として掲載しておこう。

 

卒業認定

 卒業認定は、どこの大学もそうであろうが教授会の議決を得て認定される。卒業者・修了者にすべて送付される

正式な文書である。

 今回の「情報」コースの卒業については、私自身再入学をしたときの2年前の意気込みが空振りだったと正直思っ

ている。当初は、コンピューターの通信のしくみWebについての知識などのようなコンピュータのハード面・ソ

フト面に近い領域を学習するつもりであった。そして、Pythonプログラミング統計解析ソフトのRの一定限の理

解も目指した。さらに数値最適化法・ゲーム理論・待ち行列などの理論のさわりを『問題解決の数理’22』を学ぶ

中で履修しようと思っていた。

 しかし、その何れも履修しなかった。途中で「情報」コースに私自身が向かないことに気づいて、早く卒業しよ

うと思った。そのため、マルチメディア関連の科目・情報教育関連の科目など文系的な要素の強い科目の履修で済

ましてしまった。Pythonプログラミングはともかく、『問題解決の数理’22』で扱われる数値最適化法などの項目や

統計解析ソフトであRの修得は、私の数学の学習にも必要なので、先々何とか履修したいと思っている。

 とにかく、消化不足の「情報」コースの卒業であった。

 

 

 

本部主催の学位記授与式の案内

 2023年度の学位記授与式は、ベルサール高田馬場で11時から1時間開催される。2023年度1学期に卒

業・修了した学生も含めて、2学期の業・修了した学生すべてに送付される。出席を希望する卒業・修了生のみ、

ハガキを出すようになる。私のように出席しない人は、ほっておけばいい。

出席ハガキ

 

岐阜学習センターからの学位記授与式の案内

 2月17日(土)の午後に、岐阜学習センターの野々村所長から卒業のお祝いの電話をいただいた。そして、19

日(月)には、下のような「2023年度第2学期  放送大学岐阜学習センター学位記授与式のご案内」郵送され

てきた。併せて、式後の「卒業生の皆様を囲む懇談会」の案内も同封されていた。

 私は前述したように東京で行われる本部主催の学位記授与式とその後の懇親会も出席しないが、岐阜学習センター

主催の学位記授与式と懇親会には出席することにしている。学位記は、所長から式の中でひとりひとりに授与される。

2年前の懇親会は面白くなかったが、今回はどうであろうか?

 出席のハガキは、2月20日(火)に岐阜学習センターに出かけたときに、事務室で直接手渡しした。

 

 

出欠の回答ハガキ

 

 

 

 

ちょっと休息  

(1)2月20日のFacebook投稿から

 学びの記録

 今日は9時に岐阜学習センターに着きました。家を出る直前に電話がかかってきて、大事な電話でしたので5分以

上は話していました。そのため、家を出るのが遅くなったのです。

 9時30分頃に視聴覚スペースに入りました。そしてすぐに『樋口一葉の世界’23』のラジオ放送を視聴しました。

今回は、第5章「小説家への道」でした。一葉の日記『若葉かげ』を通して、小説を書くために半井桃水の指導を受

けて挫折することも含めて、「小説家への道」を志した一葉の思いを考えることでした。興味深かったです。

 11時近くにロビーで休息してから再び視聴覚スペースに入室しました。今度は『精神疾患と治療’20』のラジオ放

送を視聴しました。第6章「『うつ』をめぐる様々な話題」でした。講義の中でうつは病名でなく病症であるという

ことが強く印象に残りました。その病症の具体的状況と状況にあった治療についての講義でした。

 12時30分頃に学生控え室で、コンビニで購入してあった弁当を食べました。そして、13時頃再び視聴覚スペー

スに入室して『社会学概論‘21』の1回目の講義を聴くことなしに視聴していました。2024年2学期には『枕草子

世界’24』の他に、『社会学概論‘21』か『日本の教職論’22』のいずれかを履修したいと思いました。とらなかった

科目は,それ以降に回そうと、漠然と考えていました。

 いつも会う人とは別の名誉学生の人と少し話した後、2時頃に岐阜学センターを後にしました。

 

(2)2月20日のFacebook投稿から

学位授与機構に『新しい学士への道 令和6年度版』と『学位授与申請書類一式』の資料請求

 学位授与機構に9月に申請する準備として、冊子『新しい学士への道 令和6年度版』『申請書類一式』の資料

請求をしました。4月から本格的に取り組もうと思っています。

 岐阜大学の卒業証明書、成績証明書は取り寄せてあります。これが基礎になる大学です。それ以降の玉川大学通信

教育部の科目履修生、岐阜大学教育学部の科目履修生、岐阜聖徳学園大学教育学部の科目履修生、中退した岐阜聖徳

学園大学大学院の成績証明書と教育学部の科目履修生の成績証明書は、すべて揃っています。単位修得の申請がすぐ

に出来るように、申請書類の形式にあわせて整理してあります。放送大学については4月になってから、成績証明書

と全科履修生として在学していない証明としての卒業証明書を申請するつもりです。

 あとは、レポートとそのレポートの趣旨を書くことです。放送大学では一切卒業研究(論文)をとっていませんの

で、その代わりとして学位授与機構にレポートとそのレポートの趣旨を提出するつもりです。レポートを書くに当たっ

ての資料等の収集は、かなり進んできました。4月になってから、少しずつまとめていこうと思っています。 

 

 

コメント
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする

代数学の基本定理の証明 ~複素解析学による方法

2024-02-21 00:00:01 | 数学・数学教育

2024年2月21日(水)

 

 代数学の基本定理とは、

   複素係数のn次代数方程式は、複素数の範囲で少なくとも1つの解をもつ

と言う基本的は定理である。この定理から、因数定理が導かれる。

 代数学の基本定理の証明には、いろいろな方法がある。

 まず、複素解析を用いない初等的な証明が、次のホームページ

  高校数学の美しい物語  代数学の基本定理とその初等的な証明 

に記載がある。また、Wikipedia

  代数学の基本定理

の項目のなかにも、初等的な証明が紹介されている。

 

 次に、複素解析を使う証明である。これには、まず第1に私がこのブログで紹介したリウヴィルの定理

用いる方法と、ルーシェの定理を用いる方法が知られている。ルーシェの定理を用いる証明は、Wikipedia

のなかの

  代数学の基本定理

に証明の記載がある。

 あまり知られてない証明として、微分位相幾何学の手法による証明がある。

     By John W .Milnor  ""Topology from the Differrentaible Viewpoint'' (Princeton  University)

のP8~9のセクション

   the Fundamental  Theorem  of  Algebla

に証明の記載がある。訳本として、

   J.W.ミルナー著 蟹江幸博訳 『微分トポロジー講義』

               (シュプリンガー・フウェアラーク東京、1998.12.07)

の該当部分を参照にしていただきたい。

 

 複素解析に慣れていないと難しいと思うが、順に読んでいってほしい。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

(1)確定申告

 2月19日に、確定申告を行った。9時頃に海津市役所の会場に出かけたら、順番が79番であった。待つ

こと2時間強、すべて終わったのが11時45分頃だった。

 

(2)北方町長選挙

 資料の提供をしていただいている北学園の保護者も、そしてPTA問題やいじめの問題で私も関心のあった北方

町長選挙・・・残念ながら期待していた新人(町議会議員の半数の5人が応援)は、よく健闘したが当選できな

かった。

 開票率 100%

  当   3464 戸部 哲哉   68 無 現 <3>

      2861 白木 一秀   52 無 新

 町長と議会との意思が異なっているので、これからも波乱があるだろう。

 

(3)2024年度公立高校の最終志願者数

 2024年度公立高校の最終志願者数が20日正午に確定した。

 中日新聞からの引用であるが、見にくい点は容赦されたい。

 岐阜地区5校普通課程の入試の厳しさがよくわかる。

2024年2月21日の中日新聞朝刊岐阜県版(広域岐阜)より引用

 

(4)大垣市内中学校(上石津学園を除く)の標準服について

 中日新聞に次のような記事が掲載されていた。

 大垣市はかねてより保護者にアンケートを採るなど,標準服の査定に取り組んできた。その集大成が、下の記

事のようになったのであろう。

2024年2月21日の中日新聞朝刊西濃版より引用

コメント
  • X
  • Facebookでシェアする
  • はてなブックマークに追加する
  • LINEでシェアする