最小多項式

２０２４年６月７日（金）

 

　２次正方行列を考えよう。行列が高校の教材にあったときには、ケーリー・ハミルトンの方程式がよく登場

していた。ケーリー・ハミルトンの方程式とは、次の方程式を言う。（注）

　

　ｎ次正方行列に拡張すると、ケーリー・ハミルトンの方程式は次のようになる。

　＜ケーリー・ハミルトンの方程式の定義＞

　　ｎ次正方行列Ａの固有多項式を

　　　　　　Φ_A (λ)=det(A — λE)

　とすると

　　　　　　Φ_A (Ａ)＝０

　が成立する。これを、ケーリー・ハミルトンの定理という。

 

　この定理は、ある多項式に行列Ａを代入すると、零行列となるような多項式が存在することを保証している。

このような多項式の中で最低の次数の多項式を、最小多項式という。

 

　本ブログは、ある３次正方行列の最小多項式を求めて見よう。最小多項式は、次回の２次・３次正方行列の

ジョルダン標準形と関係が深い。

　

（注）

　この表現は、誤解を与えるかも知れない。

　　　Ａ²－(tr A)A＋(det A)E＝０

の意味である。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）６月５日（水)のFacebook投稿より・・・学習の記録

　今日は、自習のために岐阜学習センターに出かけました。８時５０分ぐらいに岐阜学習センターに到着し、

９時まで学生控え室で休息しました。

　９時から視聴覚スペースに入室しました。１０時過ぎまで学位授与機構に提出する数学のレポートのため

の準備をしました。少しずつノートに整理して、７月の放送大学の単位認定試験終了後になったら、本格的

にレポートの執筆にかかりたいと思います。

　１０時１０分ぐらいから履修科目の『樋口一葉の世界'23』の過去問題である２０２３年度１学期の単位認

定試験の問題を解きました。２３年度開講科目ですから、過去問は２回分しかありません。印刷教材の関連

部分を読みながら、解答していきました。本番の単位認定試験も、このように解いて行くだろうと思いまし

た。難しくありませんでした。

　１１時２０分頃に、学生控え室で昼食を食べました。途中、海津市のコンビニで購入した弁当です。

　１２時前に再び視聴覚スペースに入室しました。『枕草子の世界'24』の聴講を始めました。印刷教材は、

視聴覚スペースにおいてある本を借りました。第５講「中宮定子の輝き」を視聴しました。枕草子の列挙章

段には、定子とのやりとりが多く書かれています。興味ある章ですが、不覚なことに私自身が途中で寝てし

まいました。昨日から今日にかけてなぜか眠れず、結局４時間ぐらいしか寝ていませんでした。聴講しなが

ら、いつからか寝てしまいました。気づいた頃には、授業が終わりかけでした。履修科目でありませんし、急

ぐこともありませんので、次回に再度この講義を聴こうと思っています。

　とにかく、１３時になったらすぐに岐阜学習センターを後にしました。

 

（２）６月６日（木)のFacebook投稿より

　今日１０時に、今年６月のＪＡにしみの総代会をもって退任される常勤役員があいさつのために、自宅を訪

ねられました。１時間ほど、積もる話をしました。

　６年間、２期にわたり常勤役員を勤められ、本当にご苦労さんでした。