ｙ＝ｍｘに対して、点Aと対称な点を求める

２０２４年４月２５日（木）

 

　高校数学を学ぶ者が一度は解いておきたいと思う問題が、

　　　ｙ＝ｍｘに対して、点A(a,b)と対称な点B(u,v)を求めよ

という問題である。この問題に対して、オーソドックスな解法は、次の手順に従う方法である。

（ⅰ）　中点をMとしたとき、M((a+u)/2, (b+v)/2 )は、ｙ＝ｍｘ上にあるから

　　　　　　(b+v)/2 ＝m・(a+u)/2　

         が成立する。

（ⅱ）　AM⊥ｙ＝ｍｘの方向ベクトル(1,m)であるから、ベクトルAM・ｙ＝ｍｘの方向ベクトル＝０となる。す

　　なわち、

　　　　　　(u－a,v －b)・(1,m)＝０

　　　　　　u－a＋m(v －b)=0

       が成り立つ。

         ※　この部分は、直線AMの傾きとｙ＝ｍｘの傾きｍの積はー1になる。このことを使ってもいい。すなわち、

                   （v－b)/(u－a)・ｍ＝－1

                       u－a＋m(v －b)=0

       が成り立つ。

（ⅲ）　（ⅰ）（ⅱ）をu,vの連立方程式として、u,vをa,bで表す。

 

　上の解法は本文と重なるが、教科書が上の解法を掲載していることもあってあえて記述した。何れも、文字

a,bを含む連立方程式となるから、計算が大変である。そこで、ここでは行列を用いて計算を楽にすることを考

えた。行列は新しい高校の学習指導要領で数学Cの一部として登場した。しかし、選択となっているので本格的

に学ぶ機会は少ないであろう。その意味で、本文の（解法１）・（解法２）も現行の高校数学の範囲を超えて

いるかも知れない。しかし、以前の高校数学（『代数・幾何』の単元となっていた「1次変換」）では、（解法

１）・（解法２）も高校数学で扱われていたし、このような問題も試験に出題されていた。