符号計算の答えに（＋）（－）のどちらを付けるか説明のできる先生が増えて欲しい

　今も昔も変わらぬ指導法。それは符号学習の（＋）（－）の授業。

　＋と＋は、（＋）

　－と＋は、（－）

　＋と－は、（－）

　－と－は、（＋）になるので、暗記して下さい。覚えておきましょう。

少なくとも、私はこのように指導されたことを覚えています５６年前の事です。

 

　現役中学生に直接尋ねても、私と同じ指導の回答が今までのところ１００％です。暗記指導でもいいじゃないですか、と言われるかも知れませんがこれが為に理解が進まなくなる生徒が多くいることを知って欲しいのです。

 

　あなたは、大丈夫ですか？　　何故か説明が出来ますか？

　説明があったとすれば暗記指導法とどのように違うのか！少しばかり述べてみますと、暗記指導は主に計算テクニックにあります。これには異論が出ると思いますしかしながら説明が不足すると「勘違い」が入り込みます。特に＋・－の符号ゆえ数の増減を強く意識されてしまうのです。これが勘違いの始まりで、座標の利用・グラフ図の理解・式作りの理解・（－）符号の奇数個偶数個の利用・累乗問題の理解行く行くは方程式の解き方など、繋がりのある部分が途切れてしまう作用を起こしてしまうのです。

　現状分からなくなって困っている方の多くはここにあります。暗記指導で習ったもののほかの問題に繋がって行かないので、ほとほと困り数学に興味をなくし挙句は諦めてしまいます。

 

　このような生徒を作る・作らないは指導次第と申し上げたいのです。

　こうした部分で、指導法を根本的に変える必要性を訴えています。

　すごく大きな「落とし穴」に先生方は沈んだままなのです。いち早く抜け出して頂ければ生徒たちが救われる事と思います。

 

　その解決の為の方法は、今まですでに述べました「方向図」と「領域図」の説明にあります。これは実績があります。

　生徒側にとっても大変理解しやすいものです。　次に続きます。乞うご期待。

関数に関する指導については、親切・丁寧・分かり易くが不足しています

つい先日、ある中学生と久しぶりに会いました。

その中学生とは、昨年の１２月まで私が担当していた放課後学習で算数を習っていた児童で、学校の帰り道に立ち寄ってくれたのです。

そこで私がここぞとばかりに「どう！数学の符号問題理解できているかい？」と聞いてみた。「まあー！出来ています」と答えたので、それじゃ問題を出してみるから！

という事で、「（＋４）×（－８）＝いくらと聞いてみた」ー３２と答えた。合っている。そこで何故（ー）がつく答えになったのと聞いてみると「＋とーの組み合わせは、（ー）になるんだと教えられた。」「おぼえておくように！」暗記法の指導なんですね！この暗記法だと何故（ー）になるのか説明は絶対不可能なんです。

　実は、中学生にアンケートをとってみても「この回答」がほとんどなんです。

　関数に強くならないどころか、弱くする・嫌いにする元凶なんですね！

　関数の指導で最も大事な部分が抜け落ちているんですよ！学校の指導ミスなんですね。

教育関係者のどなたでも良いから早く気付いて頂けないでしょうか。生徒が可愛そうですよ

 

　符号問題の入り口で、丁寧に分かり易く教える一例を述べてみますと・・・・・・・・・

　４×８＝　これは絶対値のけいさんです。小学校２年生の問題と同じです。答え３２ですこの問題に符号をつけてみますと、例えば（＋）と（ー）にしましょうか。すると（＋４）×（ー８）になります。この例から分かるように、符号問題は（符号＝方向）と（絶対値）に分けての学習で、学習の目的がここにあるわけなんです。

　皆さんが気付かれるまでは、おそらく何の疑問も持たずに、先生の言われるままに鵜呑みした形で授業を受けられてきたと思います。（これが日本の教育の姿といっても良いぐらい関数学習では平均的な形だと言っても過言ではないと思います。）

　

　（符号＝方向）と（絶対値）が理解できれば、符号問題を掛け合わせれば（決まった数）を求めたことになると気づきます。なぜなら、（＋）の方向と(ー）の方向の組み合わせは座標と同じですので、Xとｙを掛けたことになり、これは反比例を意味します。従ってｙ＝a/ x　の　a が３２となり曲線上はすべて３２を示し、約数によって整数の座標が見つけられてテストで出題される問題も簡単に解けるのです。

 

　上記の曲線上に直線を交じらわせて出来る交点を利用して、Xｙを求め直線の関数式が分かり易く求められて、おそらく半数以上の生徒は「分かり易い授業の恩恵を受けて」苦手意識は遠のくことと思います。

 

　直線は（０）を通ることで、ｙ＝aｘ（ーエリアからーエリアの線は、ｙ＝－aｘ）と知りｙ軸線上を＋方向に３つ上がれば（切片）ｙ＝aｘ＋３　ー方向に４つ下がればｙ＝aｘ－４となることも簡単に生徒は理解できる。　

 

　これだけでは、説明がまだ不十分な事は重々分かっておりますが、符号問題では以上の点で最低限何故こうなるのかの説明が必要なのに、なされていない授業がまかり通っていることに警鐘を鳴らさざるを得ない現状がある。

　関数理解を高める研究が遅れている事を指摘する者です。

関数を嫌いから好きになる為には！

　関数嫌いの方は、先入観を捨てて、今一度符号問題に取り組んでみて下さい。

　このブログで多分「新しい発見」があると思います。美作市のある中学校の「夏期補充授業」で使用した小冊子で説明をしていきます。

　P　１　　新しい発見を楽しんで下さい　

　　　　　　（＋・－の加減算に方向有り！）

　　　　加減算の＋・－の方向は、数直線を使うと　中心に基点となる「０」を境に右側を　　　　　　

　　　「＋方向」左側を「－方向」としています。（方向なんですね）

　　　　たとえば、　　「　７　」が書いてあるとしましょうか。これだけでは右に行くものか、左に行くものか指示がないので分かりませんので、数字に「＋」「－」を付けて方向を指示しています。「７」は絶対値と言って「０」からの「きょり」を示しているのです。

　数の増減よりも方向別の加減（和と差）を学習しています

　　（例）　ー３ー２＋７＝　　　　　ーの方向の和　ー（３＋２）＝ー５

　　　　　＋の方向７とーの方向５との差は２　絶対値の大きい＋を付けて　答え＋２

　　（例）　＋４ー（＋２）＋（ー３）＝　加減算ではこの形になると難しいようです

　　　　　＊この解決策は、（　）の中の符号はまだ変化があるとして、（　）のすぐ前の符号と組み合わせて方向（＋・ー）を確定するように学習する。（符号を確定させる方法は乗除算と同様に出来る指導法がありますので、次の「乗除算にも方向有り！」で参考にして下さい）

 

　　　　　　　（×・÷の乗除算にも方向有り！）

　　加減算では、単独の数値による「方向と絶対値」の和と差で答えを求めました。

　　乗除算になりますと、複数の数値による「方向と絶対値」の積と商を求めます。

　　　加減算では、数直線１本で領域（＋・ーのエリア）を見つけました。

　　　乗除算では、複数の数値の為数直線２本（X軸・ｙ軸）でエリアを求めます。

　　　　　　　　　ｙ軸

　　　　（ー＋）　｜　　（＋＋）

　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　次の４つの乗算パターンは、左の図に当てはめる

　　ーのエリア｜　＋のエリア

　　＿＿＿＿＿＿＿｜＿＿＿＿＿＿＿＿X軸（＋２）×（＋５）＝＋＋の方向で＋エリア

　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　（ー４）×（＋３）＝ー＋の方向でーエリア

　　＋のエリア｜　ーのエリア　　　

　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　（＋８）×（ー２）＝＋ーの方向でーエリア

　　　　（ーー）　｜　　（＋ー）　　　　（ー５）×（ー４）＝ーーの方向で＋エリア

 

　　　上の図の４つのパターンから方向と領域（エリア）が分かり、それぞれの計算における（＋）（ー）の符号がどのように関連付けられているかが、しっかりと判断できます。

 

　このエリアが、グラフ図・関係式・表といった関数全般につながっているという事が最近の研究により明らかにされて、生徒さんの飛躍的な理解向上に役立っています。

 

　問題の数字を見ていただいても分かるように、中学生になって何をいまさらといった程度の問題。計算力を試しているのではなく、また別の目的がある訳で、それは関数につなげる基礎学習であると符号学習は物語っています。

符号問題の加減算・乗除算同時に教える方策が見つかる

　美作市のある中学校の校長先生から夏期補充授業の依頼があって

対象となる生徒さんたちの理解レベルは高くない、高くないという

よりまだ小学生レベルを卒業できていないぐらいですと説明を受け

ました。

　実際に中１の符号問題加減算で苦戦している生徒が沢山おられた。

　そこで、この符号問題の指導はこの学校だけではなく、他校でも

同じような指導上の悩みがあるのではないかと思われます。

　指導上の悩みと言いますと、符号問題だけに焦点を合わせますが

大方の指導法は、「暗記」に頼った指導に陥っていると言っても

過言ではないと思われます。「なぜ、そうなるんですか」と質問を

されますと、納得のいく説明が出来れば良いのですが、現状はできて

いないようです。

 

　暗記法で教えますと、符号問題では計算テクニックに走ってしまい

がちです。大事なことは、符号問題の加減乗除とも共通した指導法が

あるという事と「関数のグラフ・表・式」のすべてにつながった或い

は一次関数・二次関数の基本学習であるという点に着目しなければ、

指導の目標は達成出来ないという事です。

 

　今回の中学校で感じたことは、今回もと言った方が適切かも知れませ

んね！

　次のような問題を同時に教えるとどうなるか?

  (+4)+(－８）＝　　　　　　　　　（ー６）×（＋５）＝

　ではどのような指導が、ではどのような指導法があるでしょうか？

暗記法では、＋・－の異符号だからとなるでしょう。

すると、生徒さんから「なぜ、異符号なら（ー）となるのですか」と

質問が来る、（ー）×（ー）＝なぜ、（＋）の答えに変換されるのです

か？と質問をされると、どのような説明を持ち合わせておられる

のか、「ここのところが、生徒は知りたがっている」

何故という疑問に答える。（答えられるなら問題はないのですが）

もも同時に同じような指導法で、指導者として簡単に分かりやすく

指導できるようにしておかねばなりません。（同じような指導法？）

想像がつくでしょうか？

 

　今回の小冊子（１５枚）の項目を記して、次回から具体的に説明した

小冊子の中身を丸写しで、シリーズ５からご披露したいと思います。

　　　ｐ１　　新しい発見を楽しんでください

　　　P2　　４つのパターン　方向と領域

　　　P3　　問題のどこを組み合わせるのでしょう

　　　ｐ４　問題を解いていきましょう（加減算）

　　　P5　　乗除の問題を解きましょう

　　　ｐ６　グラフ図の読み方書き方につなげていく

　　　P7　　グラフに分かった事を書き込んで行きましょう

　　　ｐ８　曲線を記入する練習

　　　ｐ９　謎めいた問題！？

　　　ｐ１０　反比例の曲線はどうすれば描けるの？

　　　ｐ１１　グラフ図で曲線と直線が交差すると難しいのですが！

　　　ｐ１２　　文章

　　　ｐ１３　　文章

　　　ｐ１４　ちょっと休憩　違いが分かれば解けるでしょう

　　　ｐ１５　ちょっと休憩タイム　　基本計算　経験だ～！

　　　以上が小冊子の項目別タイトルです。（参加の生徒・講師の

　　方々に配布して書き込み方式で使います）

　　　次回以降一度では無理ですので何かいかに分けて投稿の予定

新発見・符号計算の加減乗除算指導法に共通性があった！

何の共通性があったのか！

例えば、A,（ー４）＋（ー６)=   と言う指導と

　　　　B,（ー４）X（ー６）＝　と言う指導では、

別々の項目として扱っていた。その為に区別して理解すると

言う事がなかなか出来なかった。（すぐ出来る生徒もあった）

　それが方向図によって同時に加減乗除が指導できるように

なり、その負担が随分と軽減され表情に変化が現れてきた。

　こうした問題では、符号の決まりごとは丸暗記でも良いの

ですが、＋ーの組み合わせで「なぜこうなるのか」と言う

説明が出来るか出来ないかの違いは、後々重要な絡みが見て

取れるようになります。

　グラフ図が、一瞬にして読み取れる事。

　生徒にすれば夢のような事なのですが、本当なのです。

実は、この方向図の利用の仕方で「差」が生じるのです。

　（ー）X（ー）＝　＋の答えになる　　なぜか？といった

論争に終止符が打たれます。

　この続きは次回（１０日後位に）で投稿の予定です。