参考資料 ： http://www2.physics.umd.edu/~yakovenk/teaching/Lorentz.pdf
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さて今度は次のセクションです。
そうしてこの部分が「変換が群をなす」を使う、この方法の山場ですので複雑になります。
まあしかしながら「トレースできない」という事はありませんので、焦らずに行きましょう。
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『4）2つのローレンツ変換の組み合わせもローレンツ変換である必要があります。
速度v1でO系に対して移動する参照フレームO'と、速度v2でO'系に対して移動する参照フレームO''を考えてみましょう。
次に、
x’’ =γ(v2)（x'− v2 t'）、 x'=γ(v1)（x− v1 t）、
t'' =γ(v2)（F(v2)x'+ t'）、 t' =γ(v1)（F(v1)x + t）、（10）
（訳注：γ(v2)はγが速度v2の関数である事を示す。F(v2)についても同じ。）
またはマトリックス形式で
（11）式・・・（訳注：pdfを参照の事）
（10）の2番目の式の x’とt’を（10）の 最初の式に代入します。
x'' =γ(v2)γ(v1)[（1− F(v1)v2）x −（v1 + v2）t）]、
t'' =γ(v2)γ(v1)[（F(v1) + F(v2)）x +（1 − F(v2)v1）t]、（12）
またはマトリックス形式で
（13）式・・・（訳注：pdfを参照の事）
一般的なローレンツ変換の場合、式（7）の xの前の係数と(8）式の tの前の係数は等しい、つまり、式（9）の対角行列要素は等しい。
式（12）および（13）もその要件を満たさなければなりません。
1 − F(v1)v2 = 1 −F(v2)v1 ⇒ v2/ F(v2)=v1 /F(v1) 、（14）
（14）式の2番目の式では、左側はv2のみに依存し、右側はv1のみに依存します。
この方程式は、比率v / F(v) が速度vに依存しない定数である場合にのみ満たすことができます。
つまり、
F(v) = v/a 、 （15）
（15）式を（7）と（8）、および（9）式に代入します。
x'=γ(v)（x − v t）、t' =γ(v)（x v / a + t）、（16）
またはマトリックス形式で
（17）式・・・（訳注：pdfを参照の事）
ここで、未知の関数γ(v)を1つだけ見つける必要がありますが、係数aはvに依存しない基本定数です。』
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さてまずは『4）2つのローレンツ変換の組み合わせもローレンツ変換である必要があります。
速度v1でO系に対して移動する参照フレームO'と、速度v2でO'系に対して移動する参照フレームO''を考えてみましょう。
次に、
x’’ =γ(v2)（x'− v2 t'）、 x'=γ(v1)（x− v1 t）、
t'' =γ(v2)（F(v2)x'+ t'）、 t' =γ(v1)（F(v1)x + t）、（10）
（訳注：γ(v2)はγが速度v2の関数である事を示す。F(v2)についても同じ。）
またはマトリックス形式で
（11）式・・・（訳注：pdfを参照の事）
（10）の2番目の式の x’とt’を（10）の 最初の式に代入します。
x'' =γ(v2)γ(v1)[（1− F(v1)v2）x −（v1 + v2）t）]、
t'' =γ(v2)γ(v1)[（F(v1) + F(v2)）x +（1 − F(v2)v1）t]、（12）
またはマトリックス形式で
（13）式・・・（訳注：pdfを参照の事）』
の部分です。
まずは冒頭の部分『2つのローレンツ変換の組み合わせもローレンツ変換である必要があります。』は『慣性フレーム間の座標変換は、群（＝グループ＝適切なローレンツグループと呼ばれる）を形成します。』の事を言っています。（注１）
さてそれでビクターさんは「ここではそれを（＝変換が群になる事を）使う」と宣言としています。
それで「（10）の2番目の式の x’とt’を（10）の 最初の式に代入します。」をやってみましょう。
x’’ =γ(v2)（x'− v2 t'）＝γ(v2)（γ(v1)（x− v1 t）− v2 γ(v1)（F(v1)x + t））
=γ(v2)γ(v1) (（x− v1 t）-v2 （F(v1)x + t）)
=γ(v2)γ(v1) [ (1-F(v1) v2) x - (v1 + v2) t ] ・・・①式
t'' =γ(v2)（F(v2)x'+ t'）=γ(v2)（F(v2) γ(v1)（x− v1 t）+γ(v1)（F(v1)x + t））
=γ(v2)γ(v1)（（F(v2) x− v1 t）+（F(v1)x + t））
=γ(v2)γ(v1) [ (F(v2)+F(v1)) x + (1-v1 F(v2)) t ] ・・・②式
はい、たしかに①式と②式は（12）になりました。
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次は『一般的なローレンツ変換の場合、式（7）の xの前の係数と(8）式の tの前の係数は等しい、つまり、式（9）の対角行列要素は等しい。
式（12）および（13）もその要件を満たさなければなりません。
1 − F(v1)v2 = 1 −F(v2)v1 ⇒ v2/ F(v2)=v1/ F(v1)、 （14）
（14）式の2番目の式では、左側はv2のみに依存し、右側はv1のみに依存します。
この方程式は、比率v / F(v) が速度vに依存しない定数である場合にのみ満たすことができます。
つまり、
F(v) = v/a 、 （15）』
の部分ですね。
ここで『2つのローレンツ変換の組み合わせもローレンツ変換である必要があります。』を使います。（注２）
つまり x'=γ（x − vt）、（7）と t'=γ（F x + t）、（8）を見るならば確かにｘとｔの前の係数は γ であり同じです。
そうして（７）と（８）は一般的な慣性系間の座標変換式のはずでした。
従って
『式（7）の xの前の係数と(8）式の tの前の係数は等しい、つまり、式（9）の対角行列要素は等しい。
式（12）および（13）もその要件を満たさなければなりません。』という主張が成立する事になります。
それで式（12）の xの前の係数と tの前の係数を等しい とおくと
γ(v2)γ(v1) [ (1-F(v1) v2) ] = γ(v2)γ(v1) [ (1-v1 F(v2)) ]
従って
1 − F(v1)v2 = 1 −F(v2)v1 ⇒ v2 /F(v2)=v1 /F(v1) 、（14）
（訳注：F(v1)v2=F(v2)v1 従って v2 /F(v2)=v1 /F(v1)＝a ）
となる次第です。
ここでビクターさんは
『（14）式の2番目の式では、左側はv2のみに依存し、右側はv1のみに依存します。
この方程式は、比率v / F(v) が速度vに依存しない定数(=a：訳注)である場合にのみ満たすことができます。
つまり、
F(v) = v/a 、 （15）』と言います。
ここで v / F(v)＝a 但しaは定数 だとすると
F(v) = v/a となります。
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次は『（15）式を（7）と（8）、および（9）式に代入します。
x'=γ(v)（x − v t）、t' =γ(v)（x v / a + t）、（16）
またはマトリックス形式で
（17）式・・・（訳注：pdfを参照の事）
ここで、未知の関数γ(v)を1つだけ見つける必要がありますが、係数aはvに依存しない基本定数です。』の所です。
これは単なる置き換えです。
（15）式を（7）と（8）式に代入すると
x'=γ(v)（x − v t）、（7）
t'=γ(v)（F(v) x + t）=γ(v)（ (v/a) x + t）、（8）
となります。
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注１：この件、内容詳細については前準備の「その２・光速不変を使わないローレンツ変換の導出・相対論」： http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29029 ：を参照願います。
PS：相対論の事など 記事一覧