「棒の時間からのローレンツ変換の導出」をやっておきましょう。
計算の前提は次の通りです。
物体ｍが左から右に静止系に対して速度０．８Ｃで動いています。
それを左から右に静止系に対して速度０．６Ｃで動く慣性系Ｋから観測する事を考えます。
静止系時間で０秒で静止系原点、Ｋ系原点、物体ｍが同じ場所にいました。
で１秒後にどうなっているか、それをまずは考えます。
物体ｍは距離０．８Ｃの所まで移動しました。
慣性系Ｋは距離０．６Ｃの所まで移動しました。
そうであれば慣性系Ｋの原点から物体ｍまでの距離は
０．８Ｃー０．６Ｃ＝０．２Ｃ です。
それでこの物体ｍを慣性系Ｋはどのように観測するのか？という事になります。
慣性系Ｋの原点から物体ｍまでの距離は０．２Ｃですが慣性系Ｋの棒＝物差しの長さはローレンツ短縮をおこして縮んでいます。
その割合はｓｑｒｔ（１－０．６＾２）＝０．８です。
従って慣性系Ｋの原点に立つ観測者は「物体ｍまでの距離は０．２５Ｃだ」と見ます。
０．２/０．８＝０．２５ だからですね。
これが棒の長さになります。
さて次に静止系時間で１秒経過でした。
そうであれば慣性系Ｋ時間では１秒経過＊０．８＝０．８秒経過です。
そうして長さ０．２５Ｃの棒が速度０．６Ｃで右に動いていますからその先端の時刻は棒の原点時刻に対して０．２５＊０．６＝０．１５秒、遅れます。
従って長さ０．２５Ｃの棒の先端に立つ観測者は「０．６５秒で距離０．２５Ｃを動いた」と報告する事になります。
０．８－０．１５＝０．６５秒だからですね。
さて以上で静止系座標で（ｔ、ｘ）＝（１秒、０．８Ｃ）の点が０．６Ｃで動いている慣性系Ｋの座標（ｔ’、ｘ’）＝（０．６５秒、０．２５Ｃ）に変換できた事になります。
ちなみにこの時慣性系Ｋから物体ｍを観測した時に得られる相対速度Ｖ’は
Ｖ’＝ｘ’/ｔ’=０．２５Ｃ/０．６５秒=0.384615・・・＝5/13
と計算できます。（注１）
さてそれで上記計算で行った事を一般化します。
ちなみに到達目標のローレンツ変換式は次の様な形をしています。
ｘ’＝（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
ｔ’＝（ｔ－Ｖ＊ｘ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
ここで（ｔ、ｘ）は変換前の静止系での座標値、（ｔ’、ｘ’）はＫ系に変換後の座標値、Ｖは慣性系Ｋが静止系に対して持つ相対速度になります。
さて静止系時間でｔ秒後の物体ｍの位置をｘとします。
そうしますとそれを速度Ｖで追いかける慣性系Ｋの原点から物体ｍまでの距離は
ｘ－ｖ＊ｔ となります。
次に慣性系Ｋの物差しはローレンツ短縮して縮んでいます。
その割合はｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）です。
従って慣性系Ｋの原点に立つ観測者は物体ｍまでの距離を短くなった物差しで測りますから
（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）となります。
つまりは距離が伸びて観測されるのです。
さてこれがｘ’でした。したがって
ｘ’＝（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
さて次に静止系時間でｔ秒経過でした。
速度Ｖで移動している慣性系Ｋの原点時間は静止系の原点時間ｔに対してｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）の割合で遅れます。
そうであれば慣性系Ｋの原点時間ではｔ秒＊ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）秒経過です。
そうして速度Ｖで動く長さ（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）の棒の先端の時間は原点に対して 速度＊長さ の分だけ遅れます。
つまりは Ｖ＊（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）で遅れるのです。
従って長さ（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）の棒の先端に立つ観測者は物体ｍがその場所に到達した時間ｔ’を次のように記録します。
ｔ’＝慣性系Ｋの原点時間ー棒の先端での時間のずれ分
＝ｔ秒＊ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）ーＶ＊（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
＝ｔ＊ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）＋Ｖ＾２＊ｔ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）－Ｖ＊ｘ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
ここで最初の２項を整理します。
ｔ＊ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）＋Ｖ＾２＊ｔ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
＝ｔ＊（（１－Ｖ＾２）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）＋Ｖ＾２/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２））
＝ｔ＊（（１－Ｖ＾２）＋Ｖ＾２）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
＝ｔ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
従って
ｔ’＝ｔ＊ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）＋Ｖ＾２＊ｔ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）－Ｖ＊ｘ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
＝ｔ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）ーＶ＊ｘ/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
＝（ｔ－Ｖ＊ｘ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）
Q.E.D.
こうして「棒の時間をつかった一連の手順がローレンツ変換と同じものである事が確認できる」のでした。（注２）
ちなみにこの時慣性系Ｋから物体ｍを観測した時に得られる相対速度Ｖ’はローレンツ変換したX'とｔ’から直接求める事ができました。
V'=X'/ｔ’＝（ｘ－ｖ＊ｔ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２）/（（ｔ－Ｖ＊ｘ）/ｓｑｒｔ（１－Ｖ＾２））
＝（ｘ－ｖ＊ｔ）/（ｔ－Ｖ＊ｘ）
＝（ｘ/t－ｖ＊ｔ/t）/（ｔ/t－Ｖ＊ｘ/t）
=（ｘ/t－ｖ）/（１－Ｖ＊ｘ/t）
ｘ/tは物体ｍの静止系に対する相対速度Ｖ１です。
Ｖは慣性系Ｋの静止系に対する相対速度。
従って慣性系Ｋから物体ｍを観測した場合の相対速度Ｖ’は
Ｖ’＝（Ｖ１－Ｖ）/（１－Ｖ＊Ｖ１）
これは
速度の加法則
Ｖ１＝（Ｖ’＋Ｖ）/（１＋Ｖ’＊Ｖ）
を変形したものになっています。（注３）
つまり「ローレンツ変換から直接、速度の加法則が導出できる」のです。
注１：速度の加法則によれば
Ｖ’＝（０．８－０．６）/（１－０．８＊０．６）＝０．２/0.52=5/13 です。
この結果は本文で出した値と同じになっています。
注２：静止系に対して運動する棒の長さが縮み、時間が遅れ、時間がずれる、通常はこの事は「ローレンツ変換がそのような現象を生む原因である」と説明されています。
しかしながら物事は逆転してとらえる事が可能です。
つまり「我々の暮らす宇宙では静止系に対して運動する棒の長さは縮み、時間が遅れ、時間がずれる、と言うのが決まりである」とするのです。
「その様に宇宙が出来ている」と認めるのですね。
そうするとその事実から上記本文の様にローレンツ変換の式が出てくることになります。
つまりは「ローレンツ変換の式というのは『静止系に対して運動する棒の長さが縮み、時間が遅れ、時間がずれる、と言うのが決まりである』という事を数式化したものである」ととらえる事ができるのです。
そうして実際の所、その様にとらえても何も問題は生じないのです。
なんとなれば「ローレンツ変換の式と棒の時間を使った変換の方法は全く同じ結果をもたらすから」であります。
さてそれで、ここで「何故宇宙はそのように出来上がっているの？」と問う事はもちろんできます。
アインシュタインはその一つの答えとして２つの今ではよく知られた原理、光速不変の原理と相対性原理を提案しました。
「その２つの原理は自明であって、疑う事ができない」としてそれを理論の出発点に、公理として置いたのです。
しかしながらこの２つの原理についてさえ「何故その原理が成立しているの？」と問う事が出来ます。
さてそうであればアインシュタインの提案についてさえ最後には「宇宙は何故そのように出来上がっているの？」と問う事が出来るのです。
そうして「そのように問う事は無駄である」とは言いません。
事実そのようにして物理は進んできたと言えるからですね。
しかしながら少なくとも「特殊相対論の中にはその答えは無い」という事が出来ます。
注３：一応やっときますと
Ｖ’＝（Ｖ１－Ｖ）/（１－Ｖ＊Ｖ１） から
Ｖ’＊（１－Ｖ＊Ｖ１）＝（Ｖ１－Ｖ）
で
Ｖ’ーＶ’＊Ｖ＊Ｖ１＝（Ｖ１－Ｖ）
Ｖ１で整理して
Ｖ１＋Ｖ’＊Ｖ＊Ｖ１＝Ｖ’＋Ｖ
Ｖ１＊（１＋Ｖ’＊Ｖ）＝Ｖ’＋Ｖ
従って
Ｖ１＝（Ｖ’＋Ｖ）/（１＋Ｖ’＊Ｖ）
Q.E.D.
つまり「ローレンツ変換したX'とｔ’から直接 速度の加法則が出てくる」のです。
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