関数の一様収束 ～京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻入試より

２０２３年１１月１１日（土）

 

　一様収束の概念は、関数列｛f_n(x)}の収束を考えることによって生み出されたものである。一様収束の

ε-δを用いた定義は、本文に記したとおりである。より簡単に述べるならば、一様収束は

　　　一様ノルム　　　||f||_∞＝sup f(x)

で、

　　　lim_n→∞　||f_n－f||=0

と同値である。すなわち、一様収束とは、一様ノルムの収束のことである。

 

　関数列が一様収束するとき、lim と∫との交換が可能となる。すなわち、

　　　∫_I  ｛lim_ｎ→∞ ( f_n) ＝lim_ｎ→∞  {(∫_I (f_n)}

が成立するのである。リーマン積分で関数列｛f_n(x)}が一様積分かどうか調べるのは、大変である。そこで、

積分概念が拡張され、ルベーク積分が登場する。ルベーク積分では、lim と∫との交換が可能となる。

 

　前置きはこの位にして、具体的に京都大学大学院の入試問題を解いてみよう。

 

 

 

 

ちょっと休息　　

①１１月８日のFacebook投稿

　今日の午前中は、海津市医師会病院で人間ドックでした。８時２０分から１０時２０分ごろまでかかりまし

 

た。最後は胃検診で胃カメラで行いました。異常がありませんでした。

 

　午後は、放送大学の通信教育課題の問題を解いてＷＥＢ上から提出しました。『生物環境の科学'16]』を最

 

初に提出しました。昨日、学習センターで解いてあったこともあったので実際には解答を写していっただけで

 

す｡５分で終了。１４問中１３問正解でした。

 

　次にあまり得意でない『生活環境と情報認知'20』の提出に移りました。こちらは苦手と言うこともあって、

 

以前から解いてありましたので写しただけでした。５分もかからず、７問中全問正解でした。ついでに発展問

 

題も提出しました。こちらも全問正解でした。

 

　これで、提出しなければならない通信課題は終了しました。単位認定試験の受験資格を得るための通信課題

 

については、放送大学は簡単だと思います。他の通信制大学のようなレポートの提出でなく、択一式の問題を

 

解いて提出するだけだからです。もっとも、科目によっては、記述式の通信課題もありますが・・・。

 

 

②１１月８日のFacebook投稿

 

　今日は、放送大学のセミナー小川陽子先生の『百人一首の世界』に参加しました。zoomによるオンライン

 

参加です。

 

　今日の百人一首の和歌は、

 

42　清原元輔　 契リきなかたみに袖をしぼりつつ末の松山波越さじとは

 

62 　清少納言　 夜をこめて鳥の空音ははかるともよに逢坂の関はゆるさじ

 

の２首です。

 

　清原元輔は、清少納言の父です。後拾遺和歌集に収録されている和歌です。ある人に頼まれた代作の和歌です。

 

「末の松山」は歌枕で、末の松山を絶対波が超えないことから、男女が別の相手に心変わりしないという意味で

 

使われます。

 

　清少納言の和歌は、『史記』のなかの孟嘗君の話が踏まえられています。「逢坂の関」も、歌枕です。

 

　楽しい１時間３０分でした。