図形の回転は、すべてが同じ角度で回転する～～

図形を回転させるとき、どこを回転の中心にしても

中心と各頂点でできる線の 回転角度は どの頂点においても

同じ角度だけ 回転します。

また、その時  回転前と 回転後の 各辺がつくる角度も 同じになります。

ここで、どうしてみんな同じ角度になるのか？ということを

納得できるまで じっくり説明してもらえる場が、学校の授業だといいのですが

これがなかなか難しいようで、できない場合が多いようです。

 

今回は、この図形の回転の性質を使います。

前回の問題で、図の中に

Aを 回転の中心とした

回転前の三角形（黄色）と回転後の三角形（緑色）を考えます。

黄色の三角形で辺AEは、緑色の三角形辺ABまで回転します。

これは△ADBが正三角形だから回転した角度は６０°

同じように、黄色の三角形の辺ACは 緑色の三角形の辺AEまで回転します。

これも△ACEが正三角形だから回転した角度は６０°

回転前の図形と 回転後の図形がぴったり重なりますので

これはたしかに緑色の三角形は、黄色の三角形が６０°回転した図形です。

これで、辺DCと 辺BEは 回転前の辺と 回転後の辺になりますので

これも回転角度は ６０°  Xは６０° です。

 

問題の中にかかれてある６５°の角度は回転には関係のない角度でした。

ここは何度であっても、Xに影響しませんね。

 

 

平行移動 対称移動 回転移動 ～目が回る～～

図形を移動させる作図、というものを

中学１年で  習います。

定規と、コンパスだけを使って

図形の 移動先に 作図するのですが

コンパスの使い方が 無茶苦茶な人が多く

教えるのに四苦八苦しています。

昔、工業高校で 烏口（からすぐち）という道具を使って

工業製図をみっちり教えられましたから、道具の使い方と文字の書き方は

何回も怒られ、失敗し、覚えました。

昨今のデジタル化で、それらの技術はもう使わなくなってしまいましたが・・・

 

図形の移動での作図を習うときに、移動の仕方による性質や規則性も

同時に習うはずなのですが、これがなかなか伝わっていないようです。

 

今回は、その図形の移動を応用して解く問題。

（これ、大きなヒントです！）

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図の△ABCにおいて、△AECと △ADBは 正三角形で、

AC=BC です。

∠Xの大きさは、何度に なるでしょうか。

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ヒントその２，

回転移動を、使って考えます。

分かることと、 描けることは まったく別！

前回のような グラフを扱う問題でもそうですが

分かることと、描けることは  まったく別だと思います。

図を描いて 説明して 分かりますか？と お聞きしますと

ほとんどの方は、 分かりました～  と 答えられます。

では、

分からない人に、図を描いて説明できますか？

と、お聞きしますと・・・・・沈黙が続きます・・・・・・    (-_-)

よく分かるための一番いい方法は

 

誰かに説明すること！

 

説明する相手によっては、すぐに分かっていただけない場合もあります。

こまかく質問される場合もあります。

それでも質問に答え、分かってもらえるようにあらゆる手をつくし

正解を伝える。

説明に矛盾がなく合理的であれば、分かっていただけます。

話が矛盾だらけで、一貫性もなく質問もはぐらかすような政策説明をする方は

数学がキライなのかも～

 

前回の問題

グラフ上に ４点 A（-2.-、-1）、B(5、6）、C（-2、7）、D（2、1）

が あります。

線分AB と 線分CD が 交差する点の座標を 求めましょう。

まずは、グラフに描いてみましょう。

このようになります。

この交点は、分かりづらい場所ですねー

これはもう計算で求めないと～

 

では、どうするのか？

２つの直線の式を書き出します。

線分ABは  Y＝X＋１

線分CDは  Y＝－（３／２）X＋４   と、グラフから読み取れます。

（切片と  傾きを 調べると わかりましたね）

そしてこの２つの式より

X＋１＝－（３／２）X＋４   ですから、これを解いて

X=６／５       これを Y＝X＋１ に 代入して

Y=１１／５     

座標は（６／５、１１／５）

 

 

政策に 正解など ないのだ！と言う人がいますが

正解を探そうとしないだけのような気がします。

もう一回、勉強しなおしてほしいな～

 

 

 

 

 

連立方程式 と グラフ ～ の 関係

中学２年になって、連立方程式 というものを習います。

連立方程式！

いかにも難しそうなこの 言葉のひびき！

分かってしまえば  たいしたことはないのですが・・・

実はこの連立方程式の 解（答えですね）は、

グラフに書いて求める方法も あったのです！

 

たとえば、Y＝２X－２    と    Y=－X＋４   の 連立方程式の解は

この２つの関数をグラフに書いて、それらが交差した点の

X座標と、Y座標が  連立方程式の 解 になります。

このグラフを書いてみますと、（２，２）の点で交差します。

これで、X=２，Y=２  と  解けるのです。

この交点の座標は、どちらの関数にも属しますので

この交点の座標が、２つの関数に共通のX と Y の値です。

 

このように、グラフを書いてすぐに分かる場合もあるのですが

X と Y の値が、整数ではない場合

これはもう式を計算するしかありません。

ということで、今回の問題は

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

グラフ上に ４点 A（-2.-、-1）、B(5、6）、C（-2、7）、D（2、1）

が あります。

線分AB と 線分CD が 交差する点の座標を 求めましょう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

前置きが長かったので、迷ってしまうでしょうか？

作図か、計算か？

あなたなら どうする？

どのように増えていくのか？ を 考える～

何かが増えていくとき、それがどのように増えていくのか？が分かれば

先の予測が立ちます。

規則正しく貯金が増えていけば、あとどれくらいで欲しい物が買えるか

規則正しく借金が増えていけば、あとどれくらいで破綻するのか

などなど、明るい暗いは別にして

未来が 計算できるのです。

（世の中そんなに甘くはありませんが・・・・・）

 

ただ、どのような規則性なのか？を、見つけるのが大変！

 

前回の問題は

 

１辺の長さが１ｃｍの正方形のカタチをしたプラスチックの板がたくさんあります。

この板を使って、図のように図形を作ります。

まず、板を１個おいたものを１番目、その周囲を４個の板で囲んだものを２番目

さらにその周囲を８個の板で囲んだものを３番目とします。

このような作業を繰り返して4番目、５番目、・・・・・・

と作っていくいくとき次の問いに答えなさい。

 

（１）5番目の図形のいちばん外側の周の長さを求めなさい。

（２）ｎ番目の図形の いちばん外側の周の長さを、ｎを用いて表しなさい。

ここで勘違いしやすいのは、板の枚数と外側の周の長さの関係を考えてしまうこと。

（もちろん それでも解けますが複雑になりそうです）

しかし、問題は外側の周の長さを聞いています。

そこで、図の外側を色分けしてみました。

 

赤い線は、1番目では なし。2番目では２ｃｍ、3番目では４ｃｍ、・・・と、

２ｃｍずつ増えていきます。

同時に緑の線も ２ｃｍずつ増えていく、青の線も、黄色の線も ２ｃｍずつ増えていく。

全体では、1番目から2番目で ８ｃｍ増え、2番目から３番目でも ８ｃｍ増えていく。

これを式にします

3番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×２

2番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×１

1番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×０

いま、赤い数字で書いたところだけが変化していくカタチになりました。

この赤い数字の部分を ｎ番目の ｎで表しますと （ ｎ－１）と書けます。

したがって 外側の長さを計算する式は

４＋８×（ ｎ－１）＝８ｎ－４  

5番目だったら、ｎ＝５ですから

８×５－４＝３６  で、 ３６ｃｍ

この問題が載っている問題集の回答欄には、

別の解説が載っています。

考え方は、何通りもあります。

あなたのオリジナルの考え方を大事にしてください。