増殖 の 計算・・・ 高校入試問題より

頭のいい小僧さんが、殿様に認められ

何か欲しい物はあるか？と聞かれたとき

今日は米を１粒。明日はその２倍、あさってはその２倍と

1ヶ月いただけましたら大変嬉しいです。と答え

なんだ、そんな望みならかなえてやると

殿様が安請け合いするお話がありましたね～

スタートは米１粒でも、それを２倍ずつしていきますと

30日では、２倍するという作業が29回もありますので

２の2９乗です。これは、関数電卓で計算しますと

536，870，912 粒 となり

もらえるお米の合計は、536，870，912×（536，870，912＋１）÷２で

約 2.8823×100000000000000000 粒

お米は1000粒で２２ｇほどあるということですので

約6.341×100000000000000 グラム 

これは６０ｋｇ入りの俵で表しますと

約1.0568×10000000000000 俵  （計算あってるのかな～？）

こりゃ～藩がつぶれますよねー

 

今回は、そこまで増殖しませんが こんな問題

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１辺の長さが１ｃｍの正方形のカタチをしたプラスチックの板がたくさんあります。

この板を使って、図のように図形を作ります。

まず、板を１個おいたものを１番目、その周囲を４個の板で囲んだものを２番目

さらにその周囲を８個の板で囲んだものを３番目とします。

このような作業を繰り返して4番目、５番目、・・・・・・

と作っていくいくとき次の問いに答えなさい。

（１）5番目の図形のいちばん外側の周の長さを求めなさい。

（２）ｎ番目の図形の いちばん外側の周の長さを、ｎを用いて表しなさい。

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さあ、がんばって計算しましょう～

 

 

 

 

小学生でも できる 素因数分解！

北海道は 昨日  大変な大雨でした。その半分以上が南部に降ったようで

交通機関もずたずたに されてしまった 試練の日でした。

 

さて、前回の問題。

ある整数で １８７ と ２２１ をわりました。

このとき、１８７ は ７ 余り、２２１ は ５ 余りました。

ある整数にあてはまる数を すべて求めましょう。

これは、あまりの数を引いた残りの数の、公約数を求める問題です。

１８７－７＝１８０

２２１－５＝２１６    で、

１８０ と ２１６ の 公約数を求めます。

ただし、あまりの数の大きい方は７ でしたので

７より大きい事が条件です。

１８０ と ２１６ を、ちいさな数のかけ算のカタチに書き直します。

（素数の積  と 言います）

１８０＝１８×１０＝２×９×２×５＝２×３×３×２×５

２１６＝３×７２＝３×８×９＝３×２×２×２×３×３

ここで、並び替えて同じ物を探しますと

１８０＝２×２×３×３×５

２１６＝２×２×３×３×２×３

と、赤い文字の部分が同じですね

この４つの数字をいくつか使ってできるかけ算は、すべて公約数です。

そのなかで７より大きいものは、

３×３ 、 ２×２×３ 、 ２×３×３ 、 ２×２×３×３ の ４パターンあります。

これを計算して、問題の答えは 

９ と １２ と １８ と ３６   です。

 

素因数分解という言葉は、中学に入ってから習いますが

小学校で約分を習うときに、すでにその基礎は習っています。

すごいんですよ、小学生！

 

 

中学入試の問題より 公約数～

猛暑、高湿度、スコール と  日々ジャングル化してますね～

こんな身も心も  だれてしまう時に  ムツカシイ問題を出すことは

なんとなく気が引けたりもするのですが

これを楽しみにしている大人もいますので

学生の皆さんは お付き合い願います。

 

今回も、中学入試の問題！

 

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ある整数で １８７ と ２２１ をわりました。

このとき、１８７ は ７ 余り、２２１ は ５ 余りました。

ある整数にあてはまる数を すべて求めましょう。

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この、「すべて求めましょう。」 と書いてあるところがミソ！

答えは１つじゃないと言うことです。

では、いくつあるのか？

どうやって見つけるのか？

 

見つけて 動かそう～

数学の図形問題の作成にあたっては、

もともとシンプルであった図形を

回転させたり、カットしたり、分散させたり、重ねたり・・・して

複雑に見えるようにした結果を 問題として完成させることがあります。

たとえば、

ある正方形の中に、その４分の３の面積を持つ小さな正方形を作り

小さい正方形を対角線を引いて４等分し

４等分した三角形を等間隔に離して配置する。

最初の図形は、こんなカタチ

 図１

これを、カット分散して こんなカタチ

 図２

前回の問題は、このパターンですかね～

 

最初の図形を想像して、シンプルな図形に戻し、シンプルに計算する。

図２で、外側の正方形の面積は、８×８＝６４  平方メートル

道の面積は その４分の１ですから、道路以外の面積（色の付いた部分）は、

６４×３／４＝４８  平方メートル

上の図1を見ますと、それは小さい正方形の面積ですから

（８－２X)の２乗＝４８  

（８－２X）＝±√４８

８－２X＝±４√３

－２X＝－８±４√３

X＝４±２√３

ここで、Xは、４未満ですから（２Xは、１辺の８より小さい）

X=４－２√３    が 答え

 

バラバラになった三角形の面積を求めてから

それを４倍して・・・・・という方法もあります。

 

考え方も計算も カンタンにするために

動かしてもいい図形を見つけてシンプルにする！

これも数学の醍醐味です。

 

 

２次方程式 と 因数分解 の 図形問題 ～～

１次方程式でも 難しかったのに、

２次方程式って、Ｘが２乗になるやつでしょ？

それに因数分解が入って、図形もでてくる問題ってこと？

 

わたし、パス！

 

と、言う前に 一通り見ておいてください。   (^^;)

 

２次方程式の 応用問題ですが

この問題は、昔からさんざん使われてきた、いわば定番問題！

計算は、さほど難しくはないのに、複雑そうに見える問題が

定番化していきます！

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１辺が８ｍの正方形の土地に、同じ幅の道路を対角線に入れる。

図のように、正方形の頂点から縦横それぞれＸｍの地点から対角線に直線をひくものとする。

このとき、道路を除いた部分には、４つの合同な直角二等辺三角形ができる。

この部分の面積に着目して、道路の面積がもとの正方形の面積の４分の１になるとき

Ｘの値を求めなさい。

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ヒント：

色のついた４つの三角形の面積を求めるときに、

まとめて１つの式で 表す方法があります。

動かせばいいんです。