どのように増えていくのか？ を 考える～

何かが増えていくとき、それがどのように増えていくのか？が分かれば

先の予測が立ちます。

規則正しく貯金が増えていけば、あとどれくらいで欲しい物が買えるか

規則正しく借金が増えていけば、あとどれくらいで破綻するのか

などなど、明るい暗いは別にして

未来が 計算できるのです。

（世の中そんなに甘くはありませんが・・・・・）

 

ただ、どのような規則性なのか？を、見つけるのが大変！

 

前回の問題は

 

１辺の長さが１ｃｍの正方形のカタチをしたプラスチックの板がたくさんあります。

この板を使って、図のように図形を作ります。

まず、板を１個おいたものを１番目、その周囲を４個の板で囲んだものを２番目

さらにその周囲を８個の板で囲んだものを３番目とします。

このような作業を繰り返して4番目、５番目、・・・・・・

と作っていくいくとき次の問いに答えなさい。

 

（１）5番目の図形のいちばん外側の周の長さを求めなさい。

（２）ｎ番目の図形の いちばん外側の周の長さを、ｎを用いて表しなさい。

ここで勘違いしやすいのは、板の枚数と外側の周の長さの関係を考えてしまうこと。

（もちろん それでも解けますが複雑になりそうです）

しかし、問題は外側の周の長さを聞いています。

そこで、図の外側を色分けしてみました。

 

赤い線は、1番目では なし。2番目では２ｃｍ、3番目では４ｃｍ、・・・と、

２ｃｍずつ増えていきます。

同時に緑の線も ２ｃｍずつ増えていく、青の線も、黄色の線も ２ｃｍずつ増えていく。

全体では、1番目から2番目で ８ｃｍ増え、2番目から３番目でも ８ｃｍ増えていく。

これを式にします

3番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×２

2番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×１

1番目で考えますと

（黒い線の）４ｃｍ＋（赤青黄緑の）８ｃｍ×０

いま、赤い数字で書いたところだけが変化していくカタチになりました。

この赤い数字の部分を ｎ番目の ｎで表しますと （ ｎ－１）と書けます。

したがって 外側の長さを計算する式は

４＋８×（ ｎ－１）＝８ｎ－４  

5番目だったら、ｎ＝５ですから

８×５－４＝３６  で、 ３６ｃｍ

この問題が載っている問題集の回答欄には、

別の解説が載っています。

考え方は、何通りもあります。

あなたのオリジナルの考え方を大事にしてください。