連立方程式を使わずに ２つの 未知数を 求める？

前回の問題には、未知数が２つありました。

これは、中学に入ってから習う 連立方程式で解けるのですが

この問題は、小学生でも解けます。

もちろん連立方程式を使わずに。

 

問題は、

あきさんと、ベッキーさんが　お買い物に出かけました。

2人の所持金を見ましたら、お互いにあと300円ずつ多ければ

あきさんの所持金はベッキーさんの所持金の１．５倍になり

お互いにあと200円ずつ少なければ

あきさんの所持金はベッキーさんの所持金の２倍になります。

あきさんと、ベッキーさんの所持金は、それぞれいくらでしょう？

 

あきさんをA, ベッキーさんをBとして 図に書きますと

 

このようになります。

この図を見ますと、Aは、（２００円＋３００円）の３倍から ３００円を引いた金額で

Bは、（２００円＋３００円）の２倍から ３００円を引いた金額だと わかります。

 

あきさんの所持金は、１２００円、ベッキーさんの所持金は、７００円

 

ところで、こういう図が ささっと書けるかどうか？は

経験と練習をしてきたかどうか？だと思います。

自分以外の人に、何かを説明するときに

図を書いてイメージしやすいように表現すること

数学でなくても大事なことですね。

何かの仕組みを説明するときに描く図、

道を聞かれたときに描く簡単な地図、

役割分担を説明するときに書く組織図

などなど

図を描いて説明する、図を描いて考えること、これは基本です。

 

素数と 因数分解の 文章問題～

前回の問題１：

ｎを素数とする　１００÷（ｎ＋３）が整数となるｎの値をすべて求めなさい。

 

これは、１００は、2×２×５×５　ですから、１００÷（n+3) が　整数になるのは

n+3  が、 1,　2,　4,　5,　10,　20,　25,　50,　100  の時だけ。

でも、nは　素数という条件だから、1，　２，　４，　２５　は　使えない。

よって、n+3  が、５，　１０．　２０，　５０，　１００　　のときの　　n  となり

求める　ｎ　の値は、　　2，　7，　１７，　４７，　９７　　です。

 

前回の問題２：

８９９は、素数であるか？素数でない場合は素因数分解した式を書きなさい。

 

これは、８９９＝９００－１＝３０×３０－１×１＝（３０＋１）（３０－１）　と因数分解できます。

答えは　　８９９＝３１×２９

 

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式だけでは、簡単に答えの出ない問題でした。

それでは、前にも出ました

図を書くと、簡単に答えが分かってしまう問題その２

 

あきさんと、ベッキーさんが　お買い物に出かけました。

2人の所持金を見ましたら、お互いにあと300円ずつ多ければ

あきさんの所持金はベッキーさんの所持金の１．５倍になり

お互いにあと200円ずつ少なければ

あきさんの所持金はベッキーさんの所持金の２倍になります。

あきさんと、ベッキーさんの所持金は、それぞれいくらでしょう？

 

 

 

素数 って 何？

人間にも　いろんな性格のやつがいるように、

数にも、いろんな性格の数がいます。

ただ、人間のように　途中で性格が変わるというのはないんですが・・・

そんな数の性格別にグループ分けしたときの　数の名前がいろいろあり

すでに整数、自然数、奇数、偶数、　などは　習った方も多いかと思います。

そして、なんとなくわかりにくいのが「素数」

素数の説明には

１より大きい整数のうち，１と自分自身以外の整数では割り切れないような整数を素数といいます。

という表現が多いと思いますが、どうして１より大きくないとダメなのか？

マイナスではダメなのか？

どうして１ではダメなのか？

などという疑問が、次から次へとわいてきます。

もっと分かりやすい表現はないのでしょうか？

と思ったら、ありました。

素数とは、正の約数の個数が 2個 である自然数のこと

これなら、１は含まないことが明確ですし、マイナスも違うと分かります。


では、素数が分かったところで　素数を扱った問題を２つ。

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問題１：

ｎを素数とする　１００÷（ｎ＋３）が整数となるｎの値をすべて求めなさい。

問題２：

８９９は、素数であるか？素数でない場合は素因数分解した式を書きなさい。

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問題１のヒント　　１００を素因数分解すると？

問題２のヒント　　８９９＝９００－１＝？

 

今日は　中学３年生のもんだいです。

方眼紙を 使いこなせ！

言葉や、数字・記号だけで書かれた問題を

図形にして考える場合、

とても便利な道具が　方眼紙です。

小学生の時には、縦線・横線　の入ったノートを使っていた人も

中学生になってからは、横線だけのノートを使っている人が大半だと思います。

文房具の売り場に行っても方眼になったノートは少なく、

こんなに便利な物が、どうして普及していかないんだろう？と思います。

 

さて、前回の問題。

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３点の座標が、A(２，３）  B(－２，１）  C(１，－１）となるとき

A B C を結んでできる三角形の面積はいくらになるでしょうか？

X,Y ともに ０～１までの １マスの１辺の長さは１ｃｍとします。

 

また、 D ( a , b ) で、a , b  ともに自然数のとき

△ABC と同じ面積になる △DBC における 点Dの

X座標 a と ｙ座標 b は、いくらになるでしょう？

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これを、方眼紙に書きますと

△ABC　の　黄色い部分の面積は、

□AEFG　の　面積から　△AEB　と　△BFC　と　△ACG　の面積を引き算すれば

いとも簡単に分かってしまいます。　１６－４－３－２＝７　で

△ABC　の面積は　７平方センチメートル　です。

 

そして、もうひとつの問題は、

△ABCの面積を変えないで点Aを移動させることと同じですから

その移動先は、底辺BC　に　平行な線上にあります。

ただ、座標のX,Y　は、自然数という条件ですから

点A　を通り、BCに平行な線上で探すと、点Dは一つしかありません。

その点Dの座標は（５，１）　ですから　　　a＝５　、　b＝１　　

 

自分で、白紙のノートに方眼の線をきれいに書くのは至難のワザですね

かといって、いいかげんな線を引くと、図形がゆがんでしまって

かえって混乱します。

方眼ノート。

ぜひ使ってみてください。

 

このブログで掲載しています図形は、イラストレーターというソフトを使っていますが

バックには、方眼のグリッドを表示して作成します。

これがあるから短時間で図形が作成できます。助かっています。

図が、描けるかな？

グラフを描くときに、その土台ともなるのが、座標。

座標は、横にX軸 縦にY軸を 十字のカタチに描いて

XとYの関数の値を点で表し、見やすくするためにも使われました。

その座標を使った問題。

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３点の座標が、A(２，３）  B(－２，１）  C(１，－１）となるとき

A B C を結んでできる三角形の面積はいくらになるでしょうか？

X,Y ともに ０～１までの １マスの１辺の長さは１ｃｍとします。

 

また、 D ( a , b ) で、a , b  ともに自然数のとき

△ABC と同じ面積になる △DBC における 点Dの

X座標 a と ｙ座標 b は、いくらになるでしょう？

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図が 描けますか？

 

すぐに計算してパッパと 答えが描ける人も

頭の中では図形を描いていると 思います。

 

この問題は、座標と図形を組み合わせた問題で

とてもポピュラーな問題です。

最初は難しいのですが、この問題の型式になれれば

頭の中で図が描けて、すぐに計算に取りかかれると思います。

 

方眼紙があれば、そこに描いて見てください。