今、話題の「19×19」まで暗算でできる「おみやげ算」なんでこのやり方で解けるのか？そのネタばらし

ネクサス（江南市の勉強のやり方専門塾）の塾長の伊藤です。

なにやら昨年、出た本で話題になっている本が。

小杉拓也著「小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本」（ダイヤモンド社）

めちゃくちゃ売れてるそうですね（うらやましい）。

例えば、16×14の場合、

・16＋4＝20（14の4を16にたす）
・20×10＝200（それを10倍する）
・6×4＝24（一の位同士をかける）
・200＋24＝224（それぞれ計算したものをたす）

これだけだそうだ。

ホントかどうか、18×16でもやってみましょうか。

・18＋6＝24（16の6を18にたす）
・24×10＝240（それを10倍する）
・8×6＝48（一の位同士をかける）
・240＋48＝288（それぞれ計算したものをたす）

たしかに！

とまあ、ここで「へぇー！すごい」だけで終わっては面白くありません。

なんでこうなるのか考えてみましょう。

■「おみやげ算」を展開公式を使って解いてみる
・かけられる数の一の位の数をa、かける数の一の位をbとします
（18＝10＋8、16＝10＋6と考えるように、それぞれ10＋a、10＋bと表します）

この2つの数のかけ算を展開公式と因数分解を使って変形すると、

(10＋a)(10＋b)
＝10×10＋10×b＋10×a＋a×b
＝10×10＋10×a＋10×b＋a×b
＝10×(10＋a＋b)＋a×b
＝(10＋a＋b)×10＋a×b

と表すことができます。

同じように、先ほどの「18×16」もやってみると、

(10＋8)×(10＋6)
＝10×10＋10×6＋10×8＋8×6
＝10×10＋10×8＋10×6＋8×6　（8×6以外の部分を10でくくる）
＝10×(10＋8＋6)＋8×6
＝(10＋8＋6)×10＋8×6
＝(18＋6)×10＋8×6
＝24×10＋48
＝240＋48
＝288

と、この部分「(18＋6)×10＋8×6」、なるほどたしかにそうなります。

展開だけでなく、8×6以外の部分を10でくくるところがポイントです。

中３生はちょうど4月に展開、因数分解を習うので、確かめてみましょう。

勉強のやり方がわかる！中学生からの最強のノート術（ナツメ出版）


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【はじきの法則】悪魔の公式！？ダメな理由は算数が苦手な子にはこう見えているから

勉強のやり方専門塾です。

さくら個別指導学院さんの記事に触発されて、

圧倒的な語彙力不足に立ち向かう！その①

算数が苦手な子にとって、速さの問題（文章題）がどのように見えているか、考えてみました。

まずは、こういう問題です。

・時速８０㎞で進む自動車が２時間に進む道のり
・８０㎞の道のりを２時間で進んだ自動車の時速

はいはい、速さの定番の問題ですね。

そういう私も、ここだけの話、速さの問題は５年生（当時は５年生でも習う）で苦労した記憶があります。

そこで悪魔の公式である「はじきの法則」の登場です。

その前に、「はじきの法則」をご存じない人のために、一応、説明を。



このように、○を書いて線で３つに仕切り、左下に「は＝速さ」、右下に「じ＝時間」、上に「き＝距離（道のり）」を書きます。

距離（道のり）を求めたい場合は「き」の部分をかくし、「は」と「じ」をかけます。



つまり、距離（道のり）＝速さ×時間で求められることがわかります。

時速（速さ）を求めたい場合は「は」の部分をかくし、「き」を「じ」でわります。



つまり、「速さ＝距離（道のり）÷時間」で求められることがわかります。

ドラえもん顔負けのとっても便利な道具、いえ、公式の登場です（笑）。

この「はじきの法則」を使って、先ほどの問題を考えてみると、

・時速８０㎞で進む自動車が２時間に進む道のり

　↓

時速８０㎞→「は＝８０」
２時間→「じ＝２」
道のり？㎞→「き＝？」



となるので、８０×２＝１６０㎞で、「正解！」となります。


次の問題はどうでしょうか。

・８０㎞の道のりを２時間で進んだ自動車の時速

　↓

時速？㎞→「は＝？」
２時間→「じ＝２」
道のり８０㎞→「き＝８０」

となるので、「はじきの法則」にあてはめてみると、



８０÷２＝４０㎞で、「また正解！」となるわけです。

「えっ？オレ（ワタシ）って速さ得意？」

と思う子も出てくるわけです。


しかし、ちょっと待ってください！

先ほど、「はじきの法則」は悪魔の公式だと言いました。

ダメな理由はというと、次のような問題を出されたときに、確実にひっかかるからです。

・秒速３０ｍで進む自動車が２時間に進む道のり

大半の子（だいたい８割くらいの子）が、

秒速３０ｍ→「は＝３０」
２時間→「じ＝２」
道のり？ｍ→「き＝？」

「はいはい、よゆーですよ」と、自信満々に３０×２＝６０ｍと答えて「不正解！」となるのです。


２時間で６０ｍしか進まない自動車ってどんだけポンコツ？

これは文章をよく読まず、３０ｍ、２時間という数字だけつまんで読んでいることで起きる間違いです。

つまり、文章題なのに文章を読んでいないのです。


最初の問題に戻りますが、算数が苦手な子には速さの問題は、



このように見えているのです。

８０㎞、２、道のり
８０㎞、２、速さ

ポイントは時速８０㎞も道のりの８０㎞も同じに見えてるということです。

８０㎞、２時間という数字だけをつまんで、「かける」か「わる」かをやっているだけなのです！

これではいつまでたっても算数ができるようにはなりません。子どもの算数力がダメになるだけです。

実は、算数が苦手な子にはもともとこうした傾向はあるのですが、「はじきの法則」を教えるとこの傾向にますます拍車がかかります。

「はじきの法則」を知ってしまうと、、文章を読まなくても答えが出せるのだから、読む必要がありませんよね？

要は読解力の問題なのです。

こうして、子どもは文章題の文章を「丁寧に読む」という一番大切なプロセスをはぶいてしまうようになります。

その結果、速さがわからないと言い出すのです。


しかし、われわれ塾講師の立場から言わせてもらうと、わからないという前に読んでいないのですから当たり前です。

読んでいないものをわかるはずもありません。

だから、「はじきの法則」はダメなんです。

では、速さの問題はどうやって教えたらよいのでしょうか。

それは「は・じ・き」は悪魔の公式！？算数が苦手な子には文章題はこう見えている！（その２）で。

小数点を「.」じゃなく読点「、」と書けといい加減なことを教える学校New

詳しいお話は新刊でも→「子どもがつまずかない教師の教え方65のアイデア」（東洋館出版社）

【くもわは最凶の公式】「はじき」よりもたちが悪い「くもわ」で割合を教えてはいけないワケ

ネクサス（江南市の勉強のやり方専門塾）の塾長の伊藤です。

小学５年生で割合を習う季節になりました。

割合は速さと並んで算数でもっともつまずきやすい単元の一つとされています。

しかし、正しく文章を読む練習をすれば、それほど難しい単元ではないことがわかります。

「はじき」と並んで小学校でゾンビのように生き残っている公式に「くもわ」があります。

「くもわ」とは、

く＝くらべる量
も＝もとにする量
わ＝割合

といった具合に、「はじき」をまねた公式です。



「はじき」ほどではないですが、割合で「くもわ」の公式を使っている子をときどき見かけます。

「はじき」は弊害も多いですが、その使い勝手の良さから学校では好んで使われているようです。

ところが、「くもわ」は弊害しかない最凶の公式といっても過言ではないでしょう。

全国学力テストから、次の問題を例に考えてみましょう。

■2008年「全国学力・学習状況調査」（文科省）
４．テープが３本あります。テープの長さは次のようになっています。
・赤色のテープの長さは３ｍ
・青色のテープの長さは６ｍ
・黄色のテープの長さは１２ｍ
(1)黄色のテープの長さは、赤色のテープの長さの何倍ですか。　　正答率【83.1％】
(2)青色のテープの長さは、黄色のテープの長さの何倍ですか。　　正答率【55.7％】

(1)の問題は「黄色は赤色の何倍か」を求めるので、黄色÷赤色、つまり12÷３＝４倍と計算すれば求められます。

(2)の問題は「青色は黄色の何倍か」を求めるので、青色÷黄色、つまり６÷12＝0.5倍と計算すれば求められるのですが、12÷６を計算している子が24.0％もいました。

また、クロス集計の結果、(1)と(2)の両方とも正答した子は52.5％しかおらず、多くの子がよく考えずに「大きい数÷小さい数」をやっているだけという実態がわかりました。

さて、この問題「くもわ」の公式を使って解ける子がいったいどれだけいるでしょうか。

そう、どれが「く＝くらべる量」で、どれが「も＝もとにする量」かわからないのです（笑）。

学校の先生によっては、「～は」と書いてあるのがくらべる量で、「～の」と書いてあるのがもとにする量と教えているようです。

確かに。

だったら、無理に「くもわ」の公式に落とし込まなくても解けますよね（笑）。

そもそも、「はじき」の公式のところでも取り上げましたが、割合や速さの問題が解けない原因は、数字だけを「つまみ読み」しているからです。

先ほどの(2)の問題では、多くの子が青色（＝6ｍ）と黄色（＝12ｍ）から６と12を計算に使えばよいということまでは読み取っていても、どちらがどちらの何倍かまでは読み取っていません。

かけ算では交換法則が成り立つため６×12も12×６もどちらで計算しても答えは一緒になります。しかし、わり算では交換法則は成り立ちません。

算数が苦手な子は、交換法則が使えないのにも関わらず、わる数とわられる数を勝手に入れ換えてしまうという思考の弱さがあります。

つまり、負荷のかかる６÷12より、簡単に答えが出せてしまう12÷６を好んで計算してしまう子が多いのです。

このような一種のギミックに子どもはまんまとひっかかってしまうわけですが、もっとも考えなければいけないのは問題文を読まずに数字をつまみ読みすることです。

次のような問題でその点を考えてみます。

■割合（百分率）の問題
ジュースを0.6Ｌ飲みました。飲んだ量ははじめにあったジュースの20％です。はじめにあったジュースは何Ｌですか。

この問題では、

はじめにあったジュースの20％が飲んだ量（飲んだ量ははじめにあったジュースの20％）

という関係性が読みとれることが何よりも重要です。

■わからないものを□と考えて関係性を読み取る
・はじめにあったジュースの量→□
・の20％→×0.2
・飲んだジュースの量→0.6Ｌ

はじめにあったジュースの20％が飲んだ量
　↓
□×0.2＝0.6

こうして、まず言葉の式で考えたものを、次はわからないものを□と考えて□を使った式で考えるようにします。

そうすることで□×0.2＝0.6という式を立てることができ、３年生で習った□を使った式を応用することで、□＝0.6÷0.2を計算すればよいということがわかります。


数字をつまみ読みするだけの子は、0.6と20という数字だけを使って「くもわ」の公式にあてはめて解くかもしれません。

もちろん、20％という数字が0.2（倍）ということがわかっても、どれが「く」でどれが「わ」かわかってないと解けないというおかしな現象が起こります。

確かにこの問題では百分率が一種のひっかけとなっていますが、「何が何の何倍か」という関係性を読み取ることさえできれば、0.6の20倍でないことはわかるはずです。

結局、「はじき」にしろ「くもわ」にしろ、問題文から数字をつまみ読みするだけで「何が何の何倍か」を読み取らない子にとっては、ますます問題文を読まずにつまみ読みを助長するという点では同じなのです。

子どもがつまずかない教師の教え方65のアイデア（東洋館出版社）


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「は・じ・き」は悪魔の公式！？算数が苦手な子には文章題はこう見えている！（その２）

ネクサス（江南市の勉強のやり方専門塾）の塾長の伊藤です。

その１からずいぶん時がたってしましたが、「は・じ・き」がなぜ悪魔の公式かにひきつづいて、今度は速さはどうやって教えたらよいのか紹介していきましょう。

この記事は「子どもがつまずかない教師の教え方65のアイデア（東洋館出版社）」を参考に作成しています。

５年生に次のような速さの問題を解いてもらいました。

Ａ．時速７５㎞の自動車が５時間に進む道のり
Ｂ．秒速４０ｍで飛ぶ鳥が２００ｍ飛ぶのにかかる時間
Ｃ．分速１５０ｍで泳ぐ魚が３㎞泳ぐのにかかる時間
Ｄ．秒速３２ｍで走るチーターと時速９０㎞で走る電車ではどちらが速いか

Ａの問題では、ある子が「時速３７５㎞」と速さの単位で答えていました。これはワークで道のりを求める問題だったのですが、全部速さの単位で答えていたのです。

原因は、前日にやったワークの問題が速さを求める問題だったことにあるようです。

つまり、惰性で速さの単位をつけていたのです。

次にＢの問題ですが、これもＡの問題と同様に、５ｍと道のりの単位で答えた子がいました。

つまり、単位すら意識せず解いているのです。

Ｃの問題では「１５０ｍ÷３㎞＝５０分」というまちがいが圧倒的に多いのは、まさに「は・じ・き」の公式の弊害です。

１５０ｍという単位と３㎞という単位の違いを読んでないのです。

数字だけをつまみ読みして、「は・じ・き」の公式にあてはめているのです。

そうなると、Ｄの問題ではもはやお手上げです。秒速を時速で表すことができないのですから、当てずっぽうで答える子が大半です。

理由はもうおわかりですね。「は・じ・き」の公式にあてはめることができないからです。

■単位の変換という基礎的な知識・技能の不足
Ｃの問題が解けない一番の原因は、問題をよく読んでいない、つまり、単位の違いを読み取ってないからです。

ただし、仮に単位の違いに気づいたとしても、「１㎞＝何ｍか」といった知識が不十分だったら解けません。

Ｄの問題も同様です。

つまり、考える力の前に読解力や単位の変換という基礎的な知識と技能が必要なのです。

さらに、読解力、単位の変換という知識・技能の不足以外にも、問題なのは数感覚の欠如です。

子どもですから自動車の運転をしたことがないのは仕方がないとしても、時速３７５㎞の自動車といえばレーシングカーでも出すのが難しいスピードです。

答えが現実離れしていることに気づいていないのです。

ドリル形式で問題を解いていると、求めた答えが現実的かどうかを考えることはまずありませんが、自分が求めた答えが正しいかどうか確認するプロセスは重要です。

認知心理学では、学習者が自分の活動を見直すことをメタ認知と呼びます。

メタ認知能力が不十分な子は、解き方や答えが合っているかどうかを確かめるということがほとんどありません。

その結果、誤った解き方やまちがった答えを出していても、それに気がつかず、そのままにしてしまうのです。

ですから、「は・じ・き」の公式に頼ってしまうと、そもそも問題文を読むとか考えるということをしなくなります。

条件反射で解けてしまうからです。

そして、困ったことにこの条件反射で解ける＝わかったと子どもは勘違いをしてしまうことです。

その結果、子どもはますます問題文を読まずに、考えることをせずに、条件反射で解くという負のスパイラルに陥ってしまいます。

【くもわは最凶の公式】はじきよりもたちが悪い「くもわ」を割合で教えてはいけないワケ


「子どもがつまずかない教師の教え方65のアイデア（東洋館出版社）」を参考に作成しています。

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【数学】問題をただ解くだけでなく「本当にそうなるのか」を考えてみる

江南市の勉強のやり方専門塾「ネクサス」です。

先日、中３の冬期講習である生徒がおもしろことを言ったんです。

三角形のある角「x°」がわかっていて、残りの２つの角のそれぞれの二等分線が交わるところにできる角が「90＋x／2」となる問題で、



「そうなる三角形ほかにもあることない？」

と言ったんです。

私は、最初、質問の意味がわからず

「ん？」

と思いましたが、ああ、そういうことかということで、ある角を60°と考えてシミュレーションしてみました。

赤い部分はすべて、
180－60＝120
120÷2＝60
180－60＝120
と90＋x／2の関係が成り立ちます。
（２倍になったように思えますがたまたまです）

例えば、正三角形の場合、

●＝30、×＝30

になるので、赤い部分は120°になります。

直角三角形の場合、

●＝45、×＝15

になるので、これも120°になります。

試しにある角が60°である鋭角三角形でやってみても

例えば、残りの2つの角が40°と80°とすると、

●＝20、×＝40

となり、やっぱりこれも赤い部分は120°になります。

塾というところ（まあ学校もそうですが）は、普段ただ問題を解くだけですが、

「自分が求めた数字が、本当に正しいのか実際に確かめてみる」

そういう発想はこれから大切なんじゃないかと思います。


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