問題はここから。写真関係は急ぎでとったものが多いので濃淡が極端＋一部切れています。申し訳ありません。もはや携帯の問題でもあるんだけど……ただ計算は何度もしているので、原理と考えが間違っていなければ大丈夫だと思います。間違いがあったらＧＲＳの方の完答に書かれているメールまでお願いします。（ただし反映は恐ろしく遅い）
１
- －８√５－１
- ｘ＝－６ ｙ＝８
- ｘ＝８，－５
- ３０分の７
- ａ＝２，３，４
- ３分の１６√３
- ２５０π
２
- ２２５グラム
- ４ｘ＋３ｙ＝１２３ と ３ｘ＋２ｙ＝８６
- ｘ＝１２ ｙ＝２５
３
（ａ） 別枠で解答
（ｂ）－１ ５分の４√５
（ｂ）－２ 別枠で解答
４
- √４１
- １０
- 別枠で解答
- ＰＱ＝２√３ ＥＱ＝２√６
５
- ｙ＝４分の９Ｘ＋４分の９
- －４分の９＜ｂ＜２分の９
- 別枠で解答
文章で答えさせる問題
３－ａ
△ＡＤＰと△ＤＣＱにおいて
ＡＢＣＤが正方形であることからＡＤ＝ＣＤ……（１）
同じく正方形であることから∠ＡＤＰ＝∠ＤＣＱ＝９０度……（２）
ＲはＡＤの中点であり、ＰはＤＣの中点であることからＤＰ＝ＣＱ……（３）
（１）（２）（３）より二辺とその間にはまされた角がそれぞれ同じなので△ＡＤＰ≡△ＤＣＱ
よって∠ＰＡＤ＝∠ＱＤＣ……（４）
∠ＡＤＣ＝∠ＥＤＰ＋∠ＡＤＥ
（４）より ∠ＡＤＣ＝∠ＤＥＰ＋∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＰ＋∠ＰＡＤ＝９０度……（５）
△ＡＥＤにおいて、三角の内角の和は１８０であることから、（５）と合わせると
∠ＡＥＤ＝１８０度－（∠ＥＡＤ＋∠ＰＤＡ）＝１８０度－９０度＝９０度
よって∠ＡＥＤは直角である。（証明終わり）
３－（ｂ）－２
ＦＤ＝２√５
△ＡＢＲと△ＤＣＱにおいて
ＡＢ＝ＣＤ ＱＣ＝ＡＲ ∠ＢＡＲ＝∠ＤＣＤ より 二辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ＡＢＲ≡△ＤＣＱ よって ＢＲ＝ＱＤ……（１）
（１）とＲＤ＝ＢＱより 二辺の対辺がそれぞれ等しいことにより、四角形ＲＢＱＤは平行四辺形になる。よってＲＢとＤＱは平行である……（２）
△ＡＦＲと△ＤＥＰにおいて （ａ）より ∠ＥＤＰ＝∠ＦＡＲ ＡＲ＝ＤＰ
∠ＡＥＤが直角であること、さらに同位角が等しいことから、∠ＡＦＲ＝∠ＡＥＤ＝∠ＤＥＰ＝９０度
直角三角形の斜辺と一つの角がそれぞれ等しいので△ＡＦＲ≡△ＤＥＰ よって ｂ－（１）より ＡＦ＝ＤＥ＝５分の４√５……（３）
三平方の定理より ＦＲ√（ＡＲの２乗－ＡＦの２乗） になるので ＦＲ＝√（２の二乗－５と４分の５の二乗＝５分の２√５……（４）
ＲＦＥＤ＝△ＡＥＤ－△ＡＦＲ＝（ＡＰ－ＥＰ）×ＥＤ×２分の１－ＡＦ×ＦＲ×２分の１＝（２√５－５分の２√５）×５分の４√５－５分の４√５×５分の２√５×２分の１
＝５分の１６－５分の４＝５分の１２……（５）
ＦＢＱＥ＝ＲＢＱＤ－ＲＦＥＤ より ２×４－５分の１２＝８－５分の１２＝５分の２８
答え ５分の２８
（途中別解）
（３）と（４）より ＦＥ＝ＡＰ－ＥＰ－ＡＦ＝２√５－５分の４√５－５分の２√５＝５分の４√５
ＲＦＥＤは∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＱ＝９０度の台形であることから （ＲＦ＋ＥＤ）×ＥＦ×２分の１ より
（５分の２√５＋５分の４√５）×５分の４√５×２分の１＝５分の６√５×５分の４√５×２分の１＝５分の２４×２分の１＝５分の１２ （以後同じ）
４－３
Ａから△ＰＤＢに伸ばした直線をｈとすると △ＡＢＤ×ＡＰ×３分の１＝△ＰＤＢ×H×３分の１という図式が成り立つ……（１）
△ＡＢＤの面積は４×４×２分の１＝８ よって △ＡＢＤ×ＡＰからの体積は ８×ＡＰ×３分の１＝８×６×３分の１＝１６……（２）
△ＰＤＢはＰＤ＝ＰＢの二等辺三角形である。ＰＤ＝√（４の２乗＋６の２乗）＝√１６＋３６＝√５２＝２√１３……（３）
ＰからＤＢに向かって垂線を低いとその垂線はＤＢに対するニ等分線になる。ＰとＤＢの交点をＲとすると、ＲＢ＝２分の１×ＤＢ＝２√２
（３）より ＰＲ＝√（ＰＤの２乗－ＰＤの２乗＝（２√１３の２乗－２√２の二乗）＝√（５２－８）＝√４４＝２√１１……（４）
△ＤＢＰの面積は （４）より ２√１１×４√２×２分の１＝４√２２……（５）
よって （１）（２）（５）より ４√２２×ｈ×３分の１＝１６
これを解くと ｈ＝１１分の６√２２
答え １１分の６√２２
５－３
ＡからＹ軸までの距離をＴとする。ＢはＹ軸に対し線対称の位置にあるのでＹ軸からＢまでの距離もＴになる。よってＡからＢまでの距離は２Ｔと表すことが出来る。……（１）
ＡＣはグラフのＹ軸と平行であることから、それぞれの関数の式から Ｘの２乗＋２分の１ × Ｘの二＝２分の３ × Ｘの２乗と表すことが出来る……（２）
図形が正方形になることから ２Ｔ＝２分の３ × Ｘの２乗 となる……（３）
ＡからＹ軸までの距離がＴであることから Ｘ＝Ｔ と置き換えることができるので ２Ｔ＝２分の３ × Ｔの２乗
これを解くと Ｔ＝３分の４ 求めるのは 点Ａの座標なので Ｘ座標は Ｘ＜０になるの Ｘ＝－３分の４……（４）
よって求める点Ａの位置は （－３分の４、９分の１６）
答え （－３分の４、９分の１６）
配点 １ 各４ （２８） ２ （１） ４ （２） （ａ） ２ （ｂ） ４ （１０）
３ （１） ８ （２） ５ （３） １０ （ａ）と（ｂ）－２には採点基準あり （２３）
４ （１）（２） 各４ （３） ８ （４） ５ （２１）
５ （１）（２） 各５ （３） ８ （１８） 合計 １００
文章で答えさせる問題は示した解答以外でも数学的に話が通っている場合は正解とする。
採点基準（補足） １（１）は逆に書いても構わない （３） 逆に書いても構わない （５） 完答で◯ （６）（７） 単位を書くとはいっていないので書いてあったら計算があっていても☓
２（２） 数字と係数はまとまっていることが条件なので、式が解答以外でまとまっていないものは、式の部分の正解は認めない。 ただし ３Ｘ＋２Ｙ－８６＝０ のような形は正解とする。なお式の順番は問わない。
３（ａ） 完答で８点。 三角系の合同に関して、二辺とその間の角、若しくは三辺合同である場合は正解とする。（１）（２）（３）（もしくは ＡＰ＝ＤＱ ）から合同を導けていれば３点。そこから ∠ＱＥＣ＝∠ＰＡＥが導けていれば２点追加。 そこから ∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＱＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＡＤ が導けていれば ２点。最後の∠ＡＥＤが直角であるというのが書かれていれば１点追加。
３（ｂ）－２ 問題文にも書いてあるが（ａ）もしくは（ｂ）－１からの流用でそれが書いてある場合は減点対象にならない。
ＲＢとＤＱが平行であると証明されている……２点
ＥＤ＝ＡＦ が 導かれている……２点
ＦＲが出ている……２点
ＲＦＥＤの面積が出ている……２点 （一応解答に示したのは三角形を作って、そこから引く方法だったが、台形として出す方法もある）
最後までちゃんと面積が出ている……完答として１０点
ただし読んでいて抜けがあると感じる場合はそこで採点は終了。そこまでで獲得している点しか与えない。
４－（３） 最初の一文 もしくは それに似たような分が書かれていなければ 計算があっていても －３点
△ＰＤＢが二等辺三角形であること、さらにそこから伸ばした垂線が二等分線であることを書いていなければ －２点 片方だけ書いてある場合で 二等辺三角形が書かれていなければ得点は認めない。（二等辺三角形だけ書かれている場合は１点）
（１）（２）（３）（４）まで書かれていて各１点。（５）は２点。正解で８点。
４－（４） 片方しか合っていない場合は２点。完答で５点。
５－２ 不等号の記号・向きが間違っているときは得点を与えない
５－３ （１）が書かれている……１点 （２）が書かれている……２点 （３）が書かれている……１点 （４）が書かれている……２点 答えが正解で２点 全部で８点。
解説 １－（１） 与式を因数分解すると（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）－ａｂになる。 ａ＋ｂ＝２√５ ａ－ｂ＝－４ ａｂ＝１ になるのでこれを因数分解した式に当てはめると、２√５×（－４）－１＝－８√５－１
（２）問題を再掲
上の式をａ 下の式をｂとすると ａ×３－ｂ×２で５ｙ＝４０とでる。よってｙ＝８ あとはどっちかに挿入すればｘの１次方程式になるのでとくとｘ＝－６が出てくる。
（３） （与式）＝（ｘの２乗－ｘ－３０）＋（ｘの２乗－ｘ－１２）－（ｘの２乗＋ｘ－２）＝０ → Ｘの２乗－３Ｘ－４０＝０ →（ｘ－８）（ｘ＋５）＝０ → Ｘ＝８、－５
（４） 考えられるパターンは５×４×３ で６０通り 問題の性質からダブりはないのでａ＝２の例はない。もちろんａ＝１の例もない ａ＝３の例は（１，２）（２，１）の二通り、ａ＝４はこれに（３，１）（１，３）の二通りが追加（（２，２）はありえない）で４通り。ａ＝５の場合は ａ＝４とａ＝３のパターンに（４，１）（３，２）（２，３）（１，４）の４通りが加わるので、全部合わせると８通り。ａ＝３、ａ＝４、ａ＝５の組み合わせ数をすべて足すと ２＋４＋８＝１４ 通り。 あとは１４×６０分の１＝３０分の７
（５） ｎ＝３を代入した上で式をすべて二乗すると ９＜６＋２ａ＜１６ という図式になる。あとは図式に合うようにａを出していけばいいだけ。不等式の問題だが、この場合はすぐに出てくるので問題にしなくてもいいと思う。ａ＝１だと真ん中の数が８になり 下限の条件に合わない ａ＝５だと 真ん中が１６になり 上限の条件が ＜１６ であることから、これもあわない。間の２，３，４は条件に合うので、これが答え。
（６） 一件する相似の図形に見えるのだが、ぜんぜん違う。ＢＤ＝１０、ＤＣ＝６よりピタゴラスの定数の定理が使えるので、ＢＣ＝８。さらに△ＡＢＣは９０度・６０度・３０度の直角三角形でＡＣは斜辺の部分に当たる。よって ＡＣ：ＢＣ＝２：√３ が成立。 これに ＢＣ＝８を入れると ＡＣ＝３分の１６√３ が出てくる
（７） 立方体を回転体にするときは、その対策線がそのまま円の半径になる。（写真参照）なので、回転体は 半径５√２ 高さ５の円柱になる。後はこれを計算。（５√２）の二乗×５×π＝２５０π
２
（１） 投入するｂの量をｘとすると １００分の５ × ３００ ＋ １００分の１２ × Ｘ ＝１００分の８ × （３００ ＋ Ｘ）
これをまとめると １５＋２５分の３ × X＝ ２４＋ ２５分の２ X
２５分の１ × X ＝ ９
ｘ＝２２５
（２）－（ａ） （１）と同じように取り敢えず書かれている情報を元にして式を書いてみる。
最初に書かれているものを（Ａ）として後に書かれているものを（Ｂ）とすると、
（Ａ）は１００分のＸ × ３００ ＋ １００分のＹ × ２００ ＝ １０００分の１７２ （または１００分の１７，２） × ５００
これをまとめると ３Ｘ＋２Ｙ＝８６
（Ｂ）は１００分の５ × ３００ ＋１００分のＸ × ４００ ＋ １００分のＹ ×３００ ＝１０００分の１３８ × １０００
まとめると １５＋４Ｘ＋３Ｙ＝１３８ から ４Ｘ＋３Ｙ＝１２３
計算に関しては、（Ａ）×３－（Ｂ）×２＝
３ 地味にこの３つは連携系の問題だったりする。ので、ひとつ間違えると後が大変になるかも。
（ａ） とった方法は直角であるなら△ＡＤＥを基準として考えるなら、∠ＤＡＥ＋ＥＤＡ＝９０度であればいいという事を考えて、合同を導き出すやり方でやった。相似のほうが簡単ではないのかと思うのかもしれないが、そう考えてが手やると自分の中では決め手にかける部分があったので、素直に∠ＤＥＰと∠ＥＡＤが同じであるならば、∠ＤＡＥと∠ＥＤＡを足せば９０度になるというのを考えてそういう方法で導いただけ。一応三辺合同でも、直角三角形の二辺合同でに合同の証明はできるが、かなり面倒くさいので一辺とその間の角の合同という手段で合同をとって証明した形。もうちょっとすっきりするんじゃないかなあとは思うんだけど、自分の足りない頭だと今のところこれが限界。一応見た目でははっきりと分かるんだけど、じゃあそれをちゃんとした形で証明してみなさいというのがこの問題のコンセプト。これは（ｂ）－２にも通じている。
上の写真は、証明として使うと気にどれが同じのかを表したもの。同じ記号同士が合っているもの
（ｂ）－１ △ＡＤＰとして抜き出してみる。先にＡＦ＝ＥＤというのがわかっているのが前提になるけれど、普通に比からでもでる。
（ｂ）－２ ほしい情報は青い点の部分とＦＲの部分。あとはＲＢＱＤが平行四辺形であること。平行四辺形であれば自動的にＲＢとＤＱは平行になる。そうすれば△ＡＦＲ≡△ＤＥＰが導けるし、そこからＦＲも出せる。ＲＦＥＤの面積は三角形を引くという形で出してもいいし、台形としてみて直接出しても構わない形。同じようややりかやり方でＰからＣＢに平行な線を引いて出すという方法も考えられるんだけどそうなるとかなり面倒くさいことになるので、今回は大きなものから引いていくという形を採用した。
４ （１） ＡＰ＝３になるようなところで線を引けばわかるが、別な直方形の形の対角線として考えればいいだけ。ここから√（４の２乗＋４の２乗＋３の２乗）＝√（１６＋１６＋９）＝√４１
（２） （１）と同じようにして図を書いてみればいいだけ。ＤＣ＝４ ＤＰはピタゴラスの定数から５ ＣＯＰは直角三角形なのでそのまま計算すると４×５×２分の１＝１０。（１）（２）は都立の単位制と中高一貫の格好独自の入試問題だと割合でる問題。ただ去年から同じグループで問題作ることになっているので、問題としては出しづらいかも。
（３） 問題のような形式の問題であるならば出来る図形は三角錐になる。三角錐になるということは出す方法は自ずと底面×高さ×３分の１になる。問題で問われているのはＡから△ＤＰＢに伸びる垂線の長さを示している。ちゃんと見ればもう一つのアプローチで体積が出てくるのでそこを計算して出すだけ。こういう問題は計算がややこしくなるので、計算は数多くこなしておいたほうがいいと思う。
（４） △ＣＥＰとして考える。 ＡＰ＝２よりＥＰ＝６ （写真では切れている部分） ＣＰ＝√（４の２乗＋４の２乗＋２の２乗）＝√（１６＋１６＋４）＝√３６＝６よって△ＣＥＰは ＥＰ＝ＣＰの二等辺三角形で垂線ＰＱは二等分線と同じということになる。これによりＥＱ＝２分の１×ＣＥになるので ＣＥ＝√（４の２乗＋２の２乗＋８の２乗）＝√（１６＋１６＋６４）＝√９６＝４√６ より ＥＱ＝２√６ あとはピタゴラスの定理よりＰＱ＝√（ＰＥの２乗－ＥＱの２乗）＝√（６の２乗－２√６の２乗）＝√（３６－２４）＝√１２＝２√３
５ （１）（２）の前提 Ａ（－３，９） Ｂ （３，９） Ｃ （－３、－２分の９） Ｄ （３、－２分の９）
（１） ＢとＣを直線の式で表すだけなので、基本的な出し方で出せばいいだけ。（３－（－３））分の（９－（－２分の９））を計算。ここから６分の（２分の２７）がでてきてそこから分子の方の分母をとってやるために両方に２をかけてやると、１２分の２７になって、約分をすると４分の９が出てくる。あとはこれをy＝４分の９×ｘ＋ｂという形にして、ｂを出してやればいい。（３，９）と通るので９＝４分の９×３＋ｂ→９＝４分の２７＋ｂ→ｂ＝４分の９
下の写真は余計な情報を省くために曲線を外したもの。こういうところでも情報の取り捨てというのはかなり重要になってくる。
（別解）先に切片を出してしまうという手段使える。長方形と正方形の対角線が交わるところが中点に当たるので、（９＋２分の９）×２分の１＝４分の２７ Ｂの座標は（３，９）なので９－４分の２７＝４分の９ よって求める式の切片は４分の９ 式は ｙ＝ａX＋４分の９ になる。これに （ｘ，ｙ）＝（３，９）を代入すれば ９＝３ａ＋４分の９ → ４分の２７＝３ａ → ａ＝４分の９。こういうタイプの問題しか使えないけれどこういう解き方もあるということで。
（２） グラフに表すと範囲が自ずと決まってくる。（－３、０）をＳとすると ＳＢとＳＤの式の切片の間がｂの範囲（赤線二つの内側のｙ軸の部分）ということになる。それぞれの直線の式を出すと、（ＳＢ＝）ｙ＝２分の３Ｘ＋２分の９ ＳＤ＝－４分の３Ｘ－４分の９ 。問題文はＢ及びＤは含まれないので不等号は＝を使わない＞で表す。
（３） 正方形であるということは、ＡＣ＝ＡＢということ。なのでＡＢを何かの代数にしておきたいところだが。求めたいのはｘ座標なので、ｙ軸からの距離としての代数をおいたほうがいい。なのでＡＢとｙ軸の交点をＴ、さらにＡＴの距離をｔと置き換えるとＡＢ＝ＡＴ＋ＢＴ＝２ｔに置き換える事になる。ＡＣ（縦軸）の方はそのままｙの数字で当てはめる。のでＡＣ＝Ｒのｙ座標の距離＋Ｌのｙ座標の距離＝ｘの２乗＋２分の１ｘの２乗＝２分の３の二乗。あとはこれを＝で結んで方程式として解けばいい。ケアレスミスに注意。
文字数がかなり大きなったのであとがきは省略。まだ写真を何枚か貼っていない段階で１６５００文字を超えているので……
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