恒等式と方程式の違い？

さて、昨日のブログ（といってもこれはついさっきアップしたばかりだが）で書いた問題の答えはお分かりになったであろうか。

もう一度問題を示すと以下のようなものである。


（ｘ－１）2＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃが全ての実数ｘに関して常に成り立つようにａ，ｂ，ｃの値をそれぞれ求めよ


さてその予備校のテキストには、

（ｘ－１）2＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ

を決めるのには、等式（方程式）が３個あればよい。だからｘの値を３個、たとえばｘ＝０、１、２を代入して方程式をつくれば、それでａ，ｂ，ｃが決められるはずである。

とかいてある。これはこのあたりを全てにわたって引用しているわけではないし、あくまでも授業用のテキストであるから、詳しい解説ではないだろう。

さてその方針に従って解くと、ａ＝１、ｂ＝－２、ｃ＝１となったが、これでいいのだろうか。
これでいいとして、私の狭い知識で思いつくことは、これでできる式

（ｘ－１）2＝ｘ2－２ｘ＋１

というのが、実は昨日のブログで示した（１）の式に似ているということである。
つまりこの結果は「公式」として知っているならばこの右辺と問題文の右辺を比較してａ，ｂ，ｃの値を計算なしで出すこともできるということである。

その場合にはこの問題は「計算問題」ではなく、論理操作、あるいは論理学の問題になるかもしれない。

ただ、その場合には答案の書き方は難しいかもしれない。正確には採点基準がこの解法を認めるにしても難しいかもしれないという事である。

これはもちろん記述式の問題の場合の話しだし、自分の解答があっているとして、はなしを進めているが、いずれにせよこうした問題においては無意識のうちに恒等式や方程式にかかわる、むずかしい問題を自分では気づかないうちに処理しているような気がするのだがどうだろう。