今日、上のタイトルでブログを書く人は何人いるのだろうか。実は、少なくとも一人存在し、かつその濃度は有限であることが証明されている。
おおみそかといえば、小学生の頃など、紅白を見終えたあとの１５分がまるで１年のロスタイムのように思えてとても貴重だったものだ。それなのに去年のおおみそかなど、午前０時をトイレで小便をしているときに迎えてしまった。さすがにこのときは少し残念とも思い、今年こそはという気概でいる。さてどうしたものか。
こんな雑感を書いてもしょうがない。もう少しマトモに考えたことを書きとめよう。ということで今日は超準解析について。とてもとてもマユツバです。
実は、無限大を扱う方法は一通りではない。簡単に分けて実無限的取り扱いと可能無限的取り扱いがある。実無限とは、人間には扱えないくらい無限に大きい集合などをそこに「ある」として議論する方法。例えば、「いつもの」実数という集合を考えると、あやつの元すべてを書き並べることはできないし（無限コの元があるのだから当然）、それどころか一つずつ順番に実数を書き並べる手続きは存在しない（カントルの対角線論法というのがある）。それなのに、実数体という集合は「完備化」という数学的手続きを通じて構成されるからあることにしてしまおう、というのが実無限的立場である。
（私は、この「完備化」が無限に関する考察を机の端っこに押しやる仕組みである、と考えている。だって、二つある完備化のうち一方は「実数とは、実数に向かうもの全体である」（Cauchy完備化）という形をとるのだから。非常に巧妙な分、何か考察すべきところを飛ばしている気がする。とは言え他にやりようがないのは事実なのだろう。）
さて、もう一方の可能無限的な取り扱いとは、典型的にはε-δ論法に現れるような、あの形である。何か基準εを設けてもそれより小さく|f(x+δ)-f(x)|をとれるとき連続という、といったあれである。すなわちこちらのアプローチでは、「いくらでも大きく（小さく）できる」ことを無限大（小）の定義としよう、という立場だ。よって、この立場からは、実数体は定義されない、というか「されえない」。なぜならば、元々無限コの元を持つ集合などは空想の産物ですらないとみなすからだ。（もっともらしく書いているが、じつはこの辺の事情は私自身がよく理解していない…。）その一方自然数や有理数の集合は存在する。こちらは、具体的に書き「並べる」ことができるからだ。そのための手続き（数学的帰納法）が存在する。
このように比較すると、可能無限とはなんと窮屈な世界観だろうと思うだろう。私もそう思う。もし数学に実数概念が存在しなければ連続性が定義されず、解析学は成立しない。それに幾何学だって連続性に依拠しているのだから、残るのは唯一離散代数ぐらいだろう。これはいくらなんでもやりすぎだ。
そこで、私はこの無限に関する微妙な選択に対してこのような態度で臨むことにしている。それは、反語的には「実無限の（自然）哲学的困難は超準的に解決せよ」となる。ここで超準解析や超準的とは「無限大や無限小という『数』が活躍する解析学ないし考え方」と取っておく。
そんなむちゃくちゃな、と思うだろうが私にはこれが一番自然な解釈である。それをここから述べる。実無限が問題児扱いされる理由は人間の能力的限界という意味である、と私は解釈している。そこでこれを逆手に取り、「人間に扱えない無限のかなたや微小領域はどうなってたっていい」というのを原理としてあげる。（物理学のカルツァ＝クライン理論を思い浮かべた方もいるだろう）ただし、能力を超える部分の正当性は何によっても認められない。本質的に決定されない部分があることを受け入れることにする。
このもとで、実数および超実数（超準的な実数のこと）はどのような扱いを受けるか。例えば「任意の実数xを取る」という文章は、有限の立場からはこのままでは正当化されない。実数すべてを扱うことは不可能だからだ。（実はこれを一つの命題と見て１階高いところから見れば有限の立場で処理できる（証明のステップは有限だから）のだが、これはナシとする。このときはゲーデルさんにでてきてもらわないと話が進まないからだ。）しかし、扱えない実数全体を扱うのは人間の限界を侵していることだ、と了解しながら実数を扱うのならば、それは上に示した原理に基づいて許されるのではないだろうか。このとき、実無限を有限の立場から「正当化」したと言ってもいいだろう、というのが私の考えだ。
さて、このような数学解釈に基づけば、自然哲学的困難をこのように回避することができる。身の回りには実数で記述される時空があり、そこでは物理学というものが成立しているはずである。その様子を記述するための数学としては、標準的な数学では不十分で、超準的に扱われなければならない。なぜならば、物理的世界にも私たちにとって本質的に決定されない部分があるはずで、その領域まで（ε-δ論法で）記述できてしまう実数は私たちの能力を正確に反映していないはずだ。一方超準的なモデルならば、無限小、無限大という構造を直に扱うことができる。このことによってわからないところをわからないままブラックボックスにしておけるのではないか。この最後の一文は私の予想であって、なんら根拠のない片言だ。しかし経路積分やくりこみにおける超準的アプローチの実効性をみるにつけ、私はある種の真実を含んでいると考えている。
長い駄文でした。こんな文章読んでると、小林幸子が巨大化する瞬間を見逃しますよ、トイレにでも行ってる隙に。
おおみそかといえば、小学生の頃など、紅白を見終えたあとの１５分がまるで１年のロスタイムのように思えてとても貴重だったものだ。それなのに去年のおおみそかなど、午前０時をトイレで小便をしているときに迎えてしまった。さすがにこのときは少し残念とも思い、今年こそはという気概でいる。さてどうしたものか。
こんな雑感を書いてもしょうがない。もう少しマトモに考えたことを書きとめよう。ということで今日は超準解析について。とてもとてもマユツバです。
実は、無限大を扱う方法は一通りではない。簡単に分けて実無限的取り扱いと可能無限的取り扱いがある。実無限とは、人間には扱えないくらい無限に大きい集合などをそこに「ある」として議論する方法。例えば、「いつもの」実数という集合を考えると、あやつの元すべてを書き並べることはできないし（無限コの元があるのだから当然）、それどころか一つずつ順番に実数を書き並べる手続きは存在しない（カントルの対角線論法というのがある）。それなのに、実数体という集合は「完備化」という数学的手続きを通じて構成されるからあることにしてしまおう、というのが実無限的立場である。
（私は、この「完備化」が無限に関する考察を机の端っこに押しやる仕組みである、と考えている。だって、二つある完備化のうち一方は「実数とは、実数に向かうもの全体である」（Cauchy完備化）という形をとるのだから。非常に巧妙な分、何か考察すべきところを飛ばしている気がする。とは言え他にやりようがないのは事実なのだろう。）
さて、もう一方の可能無限的な取り扱いとは、典型的にはε-δ論法に現れるような、あの形である。何か基準εを設けてもそれより小さく|f(x+δ)-f(x)|をとれるとき連続という、といったあれである。すなわちこちらのアプローチでは、「いくらでも大きく（小さく）できる」ことを無限大（小）の定義としよう、という立場だ。よって、この立場からは、実数体は定義されない、というか「されえない」。なぜならば、元々無限コの元を持つ集合などは空想の産物ですらないとみなすからだ。（もっともらしく書いているが、じつはこの辺の事情は私自身がよく理解していない…。）その一方自然数や有理数の集合は存在する。こちらは、具体的に書き「並べる」ことができるからだ。そのための手続き（数学的帰納法）が存在する。
このように比較すると、可能無限とはなんと窮屈な世界観だろうと思うだろう。私もそう思う。もし数学に実数概念が存在しなければ連続性が定義されず、解析学は成立しない。それに幾何学だって連続性に依拠しているのだから、残るのは唯一離散代数ぐらいだろう。これはいくらなんでもやりすぎだ。
そこで、私はこの無限に関する微妙な選択に対してこのような態度で臨むことにしている。それは、反語的には「実無限の（自然）哲学的困難は超準的に解決せよ」となる。ここで超準解析や超準的とは「無限大や無限小という『数』が活躍する解析学ないし考え方」と取っておく。
そんなむちゃくちゃな、と思うだろうが私にはこれが一番自然な解釈である。それをここから述べる。実無限が問題児扱いされる理由は人間の能力的限界という意味である、と私は解釈している。そこでこれを逆手に取り、「人間に扱えない無限のかなたや微小領域はどうなってたっていい」というのを原理としてあげる。（物理学のカルツァ＝クライン理論を思い浮かべた方もいるだろう）ただし、能力を超える部分の正当性は何によっても認められない。本質的に決定されない部分があることを受け入れることにする。
このもとで、実数および超実数（超準的な実数のこと）はどのような扱いを受けるか。例えば「任意の実数xを取る」という文章は、有限の立場からはこのままでは正当化されない。実数すべてを扱うことは不可能だからだ。（実はこれを一つの命題と見て１階高いところから見れば有限の立場で処理できる（証明のステップは有限だから）のだが、これはナシとする。このときはゲーデルさんにでてきてもらわないと話が進まないからだ。）しかし、扱えない実数全体を扱うのは人間の限界を侵していることだ、と了解しながら実数を扱うのならば、それは上に示した原理に基づいて許されるのではないだろうか。このとき、実無限を有限の立場から「正当化」したと言ってもいいだろう、というのが私の考えだ。
さて、このような数学解釈に基づけば、自然哲学的困難をこのように回避することができる。身の回りには実数で記述される時空があり、そこでは物理学というものが成立しているはずである。その様子を記述するための数学としては、標準的な数学では不十分で、超準的に扱われなければならない。なぜならば、物理的世界にも私たちにとって本質的に決定されない部分があるはずで、その領域まで（ε-δ論法で）記述できてしまう実数は私たちの能力を正確に反映していないはずだ。一方超準的なモデルならば、無限小、無限大という構造を直に扱うことができる。このことによってわからないところをわからないままブラックボックスにしておけるのではないか。この最後の一文は私の予想であって、なんら根拠のない片言だ。しかし経路積分やくりこみにおける超準的アプローチの実効性をみるにつけ、私はある種の真実を含んでいると考えている。
長い駄文でした。こんな文章読んでると、小林幸子が巨大化する瞬間を見逃しますよ、トイレにでも行ってる隙に。