フーリエ解析大全

　前回は、あまり意味のないブックレビューを書いた。今度はもう少しましなのを書いてみようと思う。ということで、含みのある本をレビュー。


・フーリエ解析大全　（上・下）　朝倉書店

私の知っている限りで、最も丁寧な、かつ最も親切なフーリエ解析の入門書兼参考書である。上下あわせて１万円以上するのだが、買ってしまった。女性に生まれていたらグッチだのプラダだのを買ってしまっていたであろうことを考えると、安い買い物である。

基本的に、これを使って量子力学をバリバリやれるような力をつけたい！とか関数解析の入門の一ステップに！とか思っている人は読む気が起きないだろう。あまりに趣味的で、あまりに高踏的。すべてのセクションが数ページ一話読みきりになっているのだが、３節でいきなり扱われているのがWeylの一様分布定理。無理数を自然数倍してmodを取る数列を考えると、その区間に一様分布するという定理である。力学系の準周期解の、ポアンカレによる取り扱いなど思い出す向きもあられよう。

そして圧巻は１１節。タイトルたるや「至るところ微分不可能な連続関数」。連続ならどっかでは微分可能だろう、というナイーブな直感を打ち破るこの反例はWeierstrassの手になるもので、実は初等的な事実しかその構成に要しない。

そんなの勉強しても時間の無駄じゃん。と思ったら、人間は進歩しなかった。続く１２節では、Weierstrassの同時代人たちの冷ややかな反応をスケッチしつつ、次の節からはきわめて現代の物理学的な「モンテカルロ法」「数学的ブラウン運動」へとそのテーマをシフトさせていく。実は、ブラウン運動を時間軸に沿ってグラフにすると、いたるところ微分不可能な関数になるのです。また、ブラウン運動を用いた解析では、そのランダムネスが逆に空間に正則性を生み、調和関数の解との関係性が生まれる。調和関数と言うのは、正則関数の実部が満たす方程式（ラプラス方程式）の解のことで、正則関数と言うのは何回でも微分可能な関数。われわれはこうして、微分可能な世界へと帰ってきたのです、と来る。

　そのほかにも、非線形微分方程式や直交多項式や確率論、統計手法へと話は及び、果てはワインの貯蔵法、データの捏造法（！）までも指南してくれるとはこれまさに至れり尽くせり。しかも、なんと驚くべきことに、フーリエ解析の専門書にもかかわらず、Lebesugue積分論の知識を仮定していない！ある程度積分論を知った今となっては、多少のまどろっこしさも感じるが、それは読み飛ばせばいいだけの話であり、逆に大学１・２年のころこの本を読むことができたことを思い返せばなんという親切さだろう、と思う。

　こういう数学の本を、昼食後ミルクティーでも飲みながら読みふけることができる生活にすごく憧れる。あぁ、早く人生を引退したい。ビバご隠居。

名著と思うもの

　ネタが思いつかないので、今までに読んだ数学・物理学書で１・２年生向けで、割とましなものを列挙してみる。できるだけself-containedなものから順に書く。


①力学

・物理学序論としての力学　[藤原邦彦]
　大学１年の時に使っていた。とてもつまらなかった記憶があるが、速習に便利だった。

・古典力学　[Goldstein]
　大著。まだ半分も読んでいない。使われている数学は旧態依然としていて読みにくいが、いわゆる「物理屋さん」にはむしろ使いやすいかもしれない。豊富な演習問題と、種々の応用が役に立った記憶がある。

・力学　[Landau-Lifschitz]
　大学生になってすぐに買った本。とりあえず一番難しい定番の本を買おうと思って３月頃に買った記憶があるが、あまりに難しすぎて本棚の肥やしに。だって始まって３ページで、ニュートン方程式からラグランジュ方程式が導出されてるんだもん。

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②熱力学

・熱力学　現代的な視点から　[田崎晴明]
　本当にいい本。熱力学という学問の論理構成を教えてくれる稀有な本。普通、物理の本は局所的な論理のつぎはぎで作られているのだが、この本はそんなことはない。とはいえ、こういう本は実際にはほとんどないので自分で再構成するしかない。既存の教科書に期待しすぎるのはいけないのかもしれないとも思う。

・フェルミ熱力学　[Fermi]
　この本を読んだのは２年生の時だった。熱力学とはなんと難しいのだろうと感じた。むずかしい、というのは「何が許される操作で何が許されない操作なのか」がわからないという意味で。正直、大学一年生にこの本で熱力学をわかれというのは不可能だと思う。この本でわかるのは、いわゆる物理流の「無限小解析」である。

・演習熱学・統計力学　[久保亮五]
　物性屋、統計屋で知らないヤツがいたらモグリ。めちゃくちゃ有名な本。この世界に骨を埋める気でいる人がいたら今すぐ買ってください。損はしない。5000円近くするけど、入っている問題数が半端ではないし、何より熱力学っぽくない問題が豊富。なんと一問目はコイルの自由エネルギーなのだから。

・熱力学入門　[佐々真一]
　self-conteinedな順に挙げる、と書いたがこの本が一番最後に来てしまった。これはとても薄っぺらい本だが、本当に必要最小限のことしか書いていない。ひょっとしたら読む人に理解させようとはしていないのではないか？といぶかしんでしまう。しかし、その内容はしっかりしていて、論理の飛躍はなく、前提は明示されている。その意味ではself-conteinedなのだが、いくらなんでもこれで熱力学を初習するのは不可能だ、と言う意味で最後に挙げた。

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③量子論
・量子論の基礎　[清水明]
　タイプ的には田崎熱力学と近い、その学問の論理型を解説する本。物理屋なら買いましょう。こういう本を読んでいると、本当にテンションがあがります。フーリエ変換できなくても、量子力学は理解できる、と思う。

・量子力学　[小出昭一郎]
　読みやすい。古い本だが、とても親切。速習に便利。

・量子力学　[河原林研]
　うーん、正直はずれかなぁ。つまんないけど参照用ぐらいには役に立ってます。

・The Principle of Quantum Mechanics [P.A.M. Dirac]
　ランダウ・リフシッツの力学以上に本棚の肥やしになってます。でも、本棚にあると格調が高く感じられる。私は、この本で量子力学を始めたのですが、やめるべきです。何にもわかりませんでした。今読むとちょっとわかるかもしれない。

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④数学
・線型代数入門　[斉藤正彦]
　これ以外考えられない。私は斉藤正彦のファンです。線型代数演習、数学の基礎、超積と超準解析、みんな隅から隅まで読みました。（あっ、演習はウソ）この本で数学書に慣れました。ありがちな入門書では物足りないけれど、専門書は読めない、という１・２年生に激しく薦めます。

・解析概論　[高木貞治]
　日本が誇る大数学者、高木貞治の古典的名著。もはや一家に一冊レベル。ではないが、それぐらいの勢い。とくに前半の複素関数論までは一気に読ませる。多変数の解析学やFourier解析、Lebesgue積分論などに関してはやや古臭さも感じるが、級数論などはわかりやすい。高校生に読ませたい。



眠くなってきたので打ち切ります。後日第二弾をやろうかな。