２０２４年度岐阜県公立高校数学入試問題

２０２４年３月１０日（日）

 

　岐阜県の公立高校の入学試験が３月５日（一部は、６日も実施）に行われた。私は毎年ブログに数学の問

題と県教委からの解答、そして私自身が解いて方法による解説を掲載している。今年も、ブログに載せるこ

ととした。

　ただし、私自身忙しくてじっくり考えて解いている時間的余裕がなかった。数学の問題と県教委からの解

答や出題のねらいは、岐阜新聞の朝刊から引用させていただいた。切り貼りで、読みにくい状態になった。

また、私自身の解答は、ノートに殴り書きなような状態になった。手書きで、十分見直しをすることもでき

なかったので、誤字・誤植の類や他の面で誤りがあったらご容赦願いたい。

　

　まず、全体的な感想を述べる。２～３年前に比べるとやさしかったとの印象である。平均点も５０点前後

であろう。それでも、中学生が解くのに難しいだろうと思う問題が３～４問あった。具体的には、次の問で

ある。

　　大問４の（５）、大問５の（２）の(イ）、大問６の（２）のイ～エ、大問６の（３）

　私の解答で、大問５の（２）の(イ）と大問６の（２）のイ～エは、高校数学的な解き方になった。大問６

の（３）は、△OAPの３辺a,b,cとしたとき、最大辺がaのとき、

　　b²＋c²＞a²

を使って解こうと思ったがうまくいかなかった。中学数学の解法で、いい方法があったらご教示していただ

きたい。

 

数学の入試問題

 

配点及び解答

 

県教委による出題の意図

 

解説

注意１

　大問６の｢お助けマン」氏の解法を、コメントを引用することで紹介しておこう。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｢お助けマン」氏より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　大問6の（３）ですが、次の方法で解く事ができました。それは、鋭角三角形の一番長い辺をa、残りの二辺

を、それぞれ、b、cとしますと、鋭角三角形の条件は、a²<b²＋c²が成り立ちます。これを使って解く事ができ

ました。今回の問題では、鋭角三角形になるためには、ｙ≧4となります。

　この中で、ｙ≧5は、Pが(5，5）は除きますと、9✕4−1=35となります。そして、ｙ=4の場合は、Pが(1，4）と

(9，4）は10²<(√1²＋4²)²＋（√9²＋4²)²→100<17＋97が成り立ちます。そして、(9，4)も同様に100<97＋17が成り

立ちますので、合計2個を追加します。よって、求める式は、9✕4−1＋2=37と求まります。

　よって、答えは、37通りとなります。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｢お助けマン」氏より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　前回の投稿では、大問6の(３)の解法に、鋭角三角形の条件のa²<b²＋c²を用いて解いてみました。

　今回は、鋭角三角形の条件を知らない中学生が、解く事が出来る別解を考えてみました。

　まず、鋭角三角形になるには、y≧4が成り立つ事を示したいと思います。先生のご教示の通り、y≦３はすべて

鈍角三角形になります。これは作図より明らかであります。すると、鋭角三角形になるには、y≧4と推察出来ま

す。そこで、Pが(5，5）ですと、直角三角形になるので、鋭角三角形は、−1となります。そして、直径10の半円

周の作る角度は、90°ですが、半円周の外の頂角は、鋭角になるので、y≧5の時は、4✕9−1=35となります。

　また、y=4の時、直径10の半円周の内側にある頂角は、鈍角になるので、(3，4）〜(7，4）までの5個の三角形は、

鈍角三角形になります。また、(1，4）と(9，4）は、直径10の半円周の外なので、鋭角三角形になります。そして、

(2，4）と(8，4）は、直角三角形である。よって、y≧5の35個の鋭角三角形に２個の鋭角三角形を加えて、求める式

は、4✕9−1＋2=37となります。よって、答えは37通りとなります。

　以上ですが、今回は、鋭角三角形の条件は用いずに、直径10の半円周の外の頂角は鋭角になり、直径10の半円周

上は直角になり、直径10の半円周の内側の頂角は鈍角となる関係を用いて解いてみました。これですと、中学生も

理解出来るかと思い、投稿しました。

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注意２

「最大辺をaとすると、b²＋c²＞a²　⇔　鋭角三角形」 は高校の数学Ⅰですぐに証明できる。余弦定理から、

　　（b²＋c²ーa²）/2bc=cos A＞０

が成り立つからである。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）卒業式・修了式

　中学校の卒業式が大垣市では３月７日に、海津市では３月８日に行われた。

　海津市の小中学校の修了式・離任式は、３月２２日　(金）に行われる。海津地内5小学校の新設統合

の準備等(２５・２６)で、早めの修了式になったようです。多くの市町村では、３月２６日（火）の実

施だと思う。小学校の卒業式は、その１日前である。

 

（２）しだれ梅の開花　　３月８日のfacebook投稿より

　しだれ梅が咲きました。何年か前に枯れかけて切り倒そうとした梅です。太い幹から芽が出てきて、

見事生き返りました。

　一番最後のしだれ梅の写真は,切り倒した後に植えるつもりだったものです。別の場所に植え替えてあ

 

ります。

 

 

 

群の準同型定理３ ～その発展

２０２４年３月８日（金）

 

群の準同型定理の３回目である。

　　　群の準同型定理１　～その準備　　（２０２４年２月２９日）

　　　群の準同型定理２　～その証明　　（２０２４年３月４日）

　今回は、群の準同型写像の発展として第１同型定理と第２同型定理をあげておこう。これらは、群の準同

型定理から直ちに導くことができる。

　ところで、私がこのブログを整理するために大いに参考にさせていただいた

　　　志賀浩二『数学３０講シリーズ８　群論への３０講』（朝倉書店、1989－0825）

に群の準同型写像に興味ある解説がなされている。長くなるが、引用させていただく。

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準同形定理が意味するもの

　　　　　　　　Φ

　　　　　Ｇ　　→　　Ｇ’

　　　　π  ↓　　    ~ Φ↗

　　　　　Ｇ/Ｋ

　上の図式が示すように、同型対応~ Φで、Ｇ/ＫとＧ’を群として同一視してしまうならば――これは抽象的な立

場といってよいのだが――、準同型写像Φの性質は、すべてπ：Ｇ→ Ｇ/Ｋへと移行されてしまうことになる。とこ

ろが写像πは、正規部分群Ｋによって完全に決まってしまう。

　すなわち、Ｇの外の世界Ｇ’へ向けた準同型写像Φの性質は、Ｇの内なる世界にある正規部分群Ｋによって完全に

規定されてしまうのである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前掲載書　ｐ１４１より引用

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訂正

　定理３　　（誤）第１同型定理　→　（正）第２同型定理

 

数列と積分法の融合問題 ～２０２４年度前期日程の北海道大学理系の入試より

２０２４年３月６日（水）

 

　北海道大学理系のこの入試問題をみたとき、面白い問題だと感じた。定積分の部分は定数になる

が、この定積分をＡ_nとおくことが大事である。そして、A_(n+1)を考えて数列｛Ａ_n｝についての

隣接２項の漸化式を作ることから始める。そこらあたりの留意点については、本文の前書き部分で

触れた。

 

　あまり見られない数列の問題であるが、問題自体は難しくない。（解法）の方針も立てやすいだ

ろう。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）申請した面接授業２科目がすべて当選

　選科履修生として再入学申請した結果が、システムWAKABA上に合格であることが掲載された。

授業料が完納された後、入学許可書が発送されてくる。

　　これによって、申請した面接授業２科目の当落を確認できるようになった。

　上の表を見ればわかるように、面接授業２科目とも当選できて受講が可能になった。なお、２０２４

年１学期の学費は、入学金は隠れてみえないが

　　放送授業１科目　　　　　面接授業２科目　　　　選科履修生入学金　　　　　合計

　　１１０００円　　　＋　　１２０００円　　＋　　　６７５０円　　　　＝　　２９７５０円

（テキスト代１０００円割引）　　　　　　　　　（継続入学のために２５％引き）

となる。学費の振込用紙は、選考結果通知書とともに３月８日に発送される。届くのは、３月１１日だ

ろう。学費は、自宅からBayＢで振り込む。

　（関連ブログ）

２０２３年度２学期の単位認定試験の成績発表　＆　放送大学エクスパート『環境科学の基礎』の申請

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０２４年２月１７日）

 

（２）冬タイヤからの交換

 　３月４日（月）に冬タイヤを普通タイヤに交換した。もう、雪が積もることはないだろう。

 

（３）３月５日のFacebook投稿より　　　

学びの記録

　今日は週１回、岐阜学習センターに出かけて学習する日でした。他に用事がありませんでしたので、集中して学

習できました。

　今日は、いつもよりも早く、８時４０分には岐阜学習センターに着きました。学習控え室で、温かいコーヒーを

飲むことにしました。先客がいました。いつもの学友です。しばらく歓談して、それぞれ９時５分には視聴覚ス

ペースに入りました。

　まず、はじめに『樋口一葉の世界'23』のネット配信されているラジオ放送を視聴しました。詳しい内容は省略し

ますが、第８講｢『都の花』と『文学界』への登場」を印刷教材を見ながら学習しました。半井桃水の指導から離れ

た一葉を２つの雑誌の掲載に大きな役割を果たした田辺花圃との関わりが中心でした。

　１０時１０分頃に、昼食を買うために視聴覚スペースを出ました。ＯＫＢふれあい会館２階で販売されている弁当

を購入した後、共有スペースであるロビーで休息しました。

　１０時３０分から、『精神疾患とその治療'20』のラジオ放送を視聴しました。今回のテーマは第８講｢ストレスと

ストレス関連障害｣でした。適応障害・ストレス障害、解離性障害などの事例をあげての説明がありました。面接授

業を受ける準備として、学習しているわけです。

　１１時４５分頃に昼食をとりました。

　昼食後、１２時１５分頃から、『日本の教職論'22』のテレビによる授業を視聴しました。『枕草子の世界'24』と

ともに、２０２４年２学期に履修を予定している科目です。第１講「教員養成・教員採用における『資質能力」の考

え方」を学習しました。私自身既に知っていることで、良い復習になりました。

　１３時４０分頃に、岐路につきました。

 

 

（４）２０２４年度岐阜県公立高校入学試験

　３月５日（火）は、２０２４年度岐阜県公立高校の入学試験が実施された。

　準備ができ次第、数学の問題をこのブログでも取りあげたい。

 

群の準同型定理２ ～その証明

２０２４年３月４日（月）

　前回

　　　群の準同型定理１　～その準備　（２０２４年２月２９日）

につづいて、このブログでは群の準同型定理の証明を与える。

 

　群Ｇから群Ｇ’への準同型写像ｆ：Ｇ→ Ｇ’とは、

　　a,b∈Ｇにおいて　　f(ab)=f(a)f(b)

を満たす写像を言う。ｆが全単射写像（１対１対応）になるとき、同型写像という。いわば、準

同型写像とは、ｆによって演算が保たれる写像のことである。

　準同型写像は、群のみならず環や体あるいはベクトル空間等の写像でも定義できる。

 

　　群の準同型定理の概略については、本文のはじめの方に述べてある。この記述を参考に、群

の準同型定理の証明がなされている。そのあと、正規部分群と準同型定理との関係に触れられて

いる。この部分は、群論のひとつの核心部分である。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）この３日間の過ごし方

　３月１日（金）は、三重県桑名郡東員町にあるイオンモール東員に買い物のために出かけた。そ

このフードコートで昼食をとった。その帰り道の途中に、今度は桑名市のカインズに寄った。朝９

時２０分頃に出かけて、帰宅は１４時頃になった。

　３月２日（土）の午前中は、妻の実家で農作業をした。柿の木を剪定した枝を細かく切る作業で

あった。雪もちらつき、風の強い寒い日であったので、外での作業はつらかった。

　３月３日（日）は、休息日。

 

（２）学位申請書類等が送付されてくる　

　今年９月１０日～１０月４日に学位授与を申請するための「学位授与申請書類」とその要項をま

とめた冊子である「新しい学位の道 令和６年度版」が、３月１日に独立行政法人大学支援・学位授

与機構の委託業者から送られてきた。料金は後払いで、３１０円＋手数料３０円をクレジットカー

ドで支払った。

　レポートや単位の取得状況などの多くは電子申請であるが、申請書の署名や卒業証明書・単位修

得証明書等は郵送することになる。まだ半年あるので、放送大学で卒業研究をせずに卒業した代わ

りにレポートとレポートの趣旨をゆっくりまとめてみたい気持ちになった。

　岐阜大学の「教育学士」という称号、放送大学の３つの｢学士(教養）」との学位とは違って、私

の学習の集大成の意味で「学士（理学）」の学位の取得を目指したい。ただ私自身は、学位の取得

そのものに意義を見い出しているわけでなく、あくまでも数学の学習を続けてきた証しとして取得

を目指したいと思っている。

 

微分法・積分法の応用問題 ～２０２４年度関西学院大学文系の入試より

２０２４年３月２日（土）

 

　２０２４年度の関西学院大学文系の入試問題を取りあげてみた。現行数学Ⅱの微積分の応用問題で

ある。扱われている関数は、絶対値の入った２次関数である。２次関数であるから、数学Ⅰの知識も

必要である。

　基本点な問題で、（解法）の方針も立てやすい。また、定積分の計算なども難しくない。与えられ

たf(x)のグラフをきちんと書くことがポイントだと思う。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）２月２９日のFacebook投稿より

　今日は、サークル「おもしろ物理」の活動日ででした。発表者は私で、私立中学校の入試問題をとりあ

げました。

　８時４５分頃に岐阜学習センターに着きました。９時までいつもの人と歓談してから、視聴覚スペース

に入りました。１０時に岐阜教育事務所教育支援課に行く用事がありましたので、すぐに『樋口一葉の世

界'23』の第７講「作品発表の新たな舞台」を視聴しました。一葉が半井桃水の紹介によって、改新新聞に

『別れ霜』が１５回にわたって掲載されました。半井桃水の指導からの離れた後、野尻理作の依頼で『経

づくえ』を発表しました。今日は、そうした一連の経過を一葉日記から探って作品に簡単に触れるという

内容でした。

　９時４０分頃に、歩いて岐阜教育事務所に行きました。個人情報保護請求をおこなった文書が存在しな

いとの連絡が教育支援課からありました。そこで存在しない文書を請求しても仕方がないので、請求をと

り下げる手続きをしました。情報公開請求の方は、情報公開するまでなく公開されている文書ですので、

こちらも取り下げの手続きをしました。請求した文書は、教育支援課の好意で、コピーしてくれました。

残念ですが、結局存在しませんでした。

　岐阜学習センターの視聴各スペースに戻ってから、今度は『精神疾患とその治療'20』を聴講しました。

第７講「不安障害と強迫性障害」についてが、テーマです。講義の中で、体験談が語られました。

　１２時３０頃に昼食をとった後、講義の続きを１３時２０分頃まで聴いて、視聴スペースを出ました。

学生控え室でサークルのメンバーと歓談した後、隣の研修室へいました。そこで、ブログ

「直方体の2つの容器に入った水の高さの問題　～２０２４年度ラサール中学校入試の１題より」

https://blog.goo.ne.jp/suuri-yh/e/8e343cc1f89ecb519f5130b369b49fd2

で書いた内容を発表しました。詳しくは、ブログを読んで想像してください。

　１６時２０分頃に終了しました。