569 近接した始点の軌跡について(その7)

今回は関数は、f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(120,120),(121,121)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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568 近接した始点の軌跡について(その6)

今回も関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(244,240)の2点の始点での軌跡を調べる。
前記事m260より始点が1pxより異なる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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567 近接した始点の軌跡について(その5)

今回も関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(243,240)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。
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566 近接した始点の軌跡について(その4)

今回は関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(120,120),(121,121)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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565 近接した始点の軌跡について(その3)

今回は関数は、f(x)=sin{x^2+sin(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(243,240)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜10,000 では此の近接点での軌跡の形態は始点付近での位相差を除いて全く同一である。

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564 近接した始点の軌跡について(その2)

今回は関数は、f(x)=sin{x^2+sin(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(120,120),(121,121)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

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563 近接した始点の軌跡について(その1)

近接した2点の始点での軌跡は、t の経過によって、どのように変化していくのだろうか？全く同一な形態の軌跡となるのだろうか？　t の或る時点で全く異なる形態の軌跡となってしまうのだろうか？

例えば、1 ピクセル　程度の差の始点の軌跡の挙動を調べてみる。
関数は、f(x)=sin{x+sin(3x)}について調べてみる。

始点は以下の画像に示したように2か所を選んだ。
下図に示すように、t の経過による軌跡の形態は始点の位置にも依存し又形態自体の変化も複雑に変化する。特に注目すべきは、下図の2番目の始点の場合のように、近接した始点にも拘わらず、t の或る時点で、それらの軌跡の形態が急変する場合があることである。

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562 関数をf(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}の場合の軌跡の濃度画像(その3)

前回記事同様に、関数が f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)} の場合の画像を求める。
今回の記事の画像は、L=2,tmax-500 にした場合の画像である。これらの画像の詳細は記事541を参照。下図の各画像のパラメーターは図に書いてある。

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位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=log(m) mod 16　→記事543参照。
(b)色:C=m mod 16

にしたときの画像を対比させる。

参考：(a)の場合。
m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

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上図から分かるように、Dが大きい場合、位相平面における軌跡の濃度の形態構造は、log 化したほうが画像の色が整理されて形態構造が分かり易い。

561 関数をf(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}の場合の軌跡の濃度画像(その2)

前回記事同様に、関数が f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)} の場合の画像を求める。
今回の記事の画像は、L=0.5 にした場合の画像である。これらの画像の詳細は記事m234(2014/01/10)を参照。下図の各画像のパラメーターは図に書いてある。

***
位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=log(m) mod 16　→記事543参照。
(b)色:C=m mod 16

にしたときの画像を対比させる。

参考：(a)の場合。
m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

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上図から分かるように、Dが大きい場合、位相平面における軌跡の濃度の形態構造は、log 化したほうが画像の色が整理されて形態構造が分かり易い。

560 関数をf(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}の場合の軌跡の濃度画像(その1)

関数が f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)} の場合の画像を求める。
これらの画像の詳細は記事541を参照。下図の各画像のパラメーターは図に書いてある。

***
位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=log(m) mod 16　→記事543参照。
(b)色:C=m mod 16

にしたときの画像を対比させる。

参考：(a)の場合。
m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

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上図から分かるように、Dが大きい場合、位相平面における軌跡の濃度の形態構造は、log 化したほうが画像の色が整理されて形態構造が分かり易い。

559 Tmaxを増加した場合の軌跡の変化について(その2)

前記事558の最後の画像の始点{x(0),y(0)}=(+0.25,-0.68)についての、Tmax=1000,000にした場合の軌跡を調べる。即ち、位相平面の点{x(t),y(t)}=z(t)としたとき、点列:z(0),z(1),z(2),・・・,z(t),・・・,z(1000,000)
の軌跡を求める。

時刻:tの経過を色で区別する。下図が其の画像である。赤×マークは表示位相平面の始点:z(0)である。

点列:z(0),z(1),z(2),・・・,z(t),・・・,z(1000,000)の軌跡は分かりやすいように位相平面の中央付近へ移動させている。また軌跡画像は 1/10 に縮尺させている。

時刻の推移によって、z(t)は変化していくが、z(t)の色は上書きしているから、軌跡画像の色はt=0→1→2→・・・→100,0000で、t=1000,000となった時点での色となっている。



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下図は、t=0→1000,000を15区分にして各区分での軌跡を表している。
時刻の推移による、z(t)は変化が、より明確になる。