580 関数：f(x)={x^6+(sin(3x)^4}の場合の軌跡の濃度分布

下図は、 関数：f(x)={x^6+(sin(3x)^4}の場合の軌跡の濃度分布画像である。(此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。)

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=m mod 16
(b)色:C=log(m) mod 16

を比較する。

(a)の場合の m 色コード：Cの順序どおりになる。
但し、m=0の場合はプログラムで白としており、C=7(白)の場合は C=8(灰)としている。
mod を使用しているから、m は16進で変化する。

(b)の場合はm=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915

となる。但し、m=0 の場合は白としている。

以下に示す(b)の画像の色から分かるように、m は 16 以上となっており、C=0～15が16進で表示されるため結果として画像の色が混濁してしまい、画像の色構造が不鮮明となってしまっている。

(b)の画像では、log 効果により色が整理され、その結果、画像の色構造(即ち、軌跡の通過濃度分布構造)が判然としてくる。

以下に(a)(b)を対比した画像を示す。

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579 f(x)=sin(x+sinh(x))の場合の近接した始点の軌跡

今回も関数は、f(x)=sin{x+sinh(x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、以下の3つの近接点の軌跡の挙動を調べる。
①(120,120),(121,121)
②(242,240),(243,240)
③(242,240),(244,240)

詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

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578 f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x)))の場合の軌跡分布画像

今回画像の関数は、f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x))) とする。





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577 チェビシェフ関数の軌跡濃度分布画像

チェビシエフ関数は、Tn(x)=cos(n(cos(x))^-1) として定義されるが、n=3の場合の此の関数は、
T(3)=4x^3-3xとなる。(『コンピューター、カオス、フラクタル』(C.Aピックオーバー著、白揚社)、p.379)

そこで、関数:f(x)=sin(T(3)) の軌跡濃度画像を求めてみる。各パラメータは下図に書いてある。

D=480,Tmax=500,L=3,H=0.05の画像構造は、記事571のf(x)=sin{x+sinh(x)}のD=150,Tmax=500,L=3,H=0.5の画像構造と似ている。

其れは、f(x)=sin(T(3)) とf(x)=sin{x+sinh(x)}　が近似しているためだろう。

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参考： f(x)=sin(x+sinh(x)), D=150,Tmax=500, L=3 画像　

576 任意の始点での関数：f(x)=sin{x+sinh(x)}の軌跡(その2)

記事572では、Tmax=500の場合の (x(t),y(t)について調べた。今回はTmax=50,000の場合の軌跡を調べる。任意の5個の始点をマウスで与えたときの軌跡について調べる。

マウスで与えた始点は赤色の×で示し、軌跡の時間変化は色で表示している。具体的パラメータの値は下図に示した。

Tmax=500同様にTmax=50,000の場合も軌跡の形は始点の座標によって全く異なっている。また軌跡の形はブラウン運動のようにランダムに移動する場合もあり、軌跡の形態は極めて複雑である。
要するに Tmax=50,000でも軌跡の形態は本質的変化は見られない。

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575 f(x)=sin(x^2+sin(3x)),D=480,Tmax=150,L=1軌跡濃度画像

今回の画像は、 f(x)=sin(x^2+sin(3x)),D=480,Tmax=150,L=1
表示範囲は|x(t)|

574 その他のいろいろな関数の濃度分布画像

いままで調べてきた関数は以下のものである。(D,Tmax,Lの区別は別とする)

f(x)=sin(x+sin(3x))
f(x)=sin(x^2+sin(3x))
f(x)=sin(x+tan(3x))
f(x)=sin(x+sin(x)sin(3x))
f(x)=sin(x+sinh(x))

今回の記事は以下の関数の濃度分布画像を求める。但し、表示範囲は|x(t)|＜=20,|y(t)|＜=20及びパラメーターは、D=50,Tmax=50,H=0.1,L=1とする。

f(x)=sin(x+log|x|)
f(x)=sin(x+e^x)
f(x)=sin(log|x|)
f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x)))

これらの4つの関数の画像を以下の色表示で示す。
(a)色：C=log(m) mod 16,但しC=7→8,m=0→非表示
(b)色：C=m mod 16,但しC=7→8,m=0→非表示
ここで、m は座標点を通過する軌跡の数である。

また、色表示(a)の場合のmは以下のとおりとなる。
m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

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573 関数:f(x)=sin{x+sinh(x)}の場合の軌跡の濃度画像(その2)

今回画像の関数は、f(x)=sin{x+sinh(x)} とする。注：ハイパボリック・サインであることに注意。
画像の構造は今迄の使用した関数とは全く違ってしまう。

このような力学サイクル系離散時間位相平面について解説は記事541を参照。ここで記事541の(3)式で、sin(ρx)を sinh(x) に変えた。その理由は特になく、このようにしたら画像はどうなるか？という興味だけである。

今回の画像は、始点が画像表示画面の全てのピクセル(480×480)の画像である。

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示している。log表示により位相平面の軌跡濃度が単純化され、濃度構造が分かり易くなる。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

下図から分かるように軌跡濃度は極めて美しい秩序構造を形成している。

572 任意の始点での関数：f(x)=sin{x+sinh(x)の軌跡

力学サイクル系離散的時間位相平面については、記事541に解説しているが、任意の始点をマウスで与えたときの軌跡について調べる。

マウスで与えた始点は赤色の×で示し、軌跡の時間変化は色で表示している。具体的パラメータの値は下図に示した。

下図から分かるように、軌跡の形は始点の座標によって全く異なっている。また軌跡の形はブラウン運動のようにランダムに移動する場合もあり、軌跡の形態は極めて複雑である。

前記事561の最初の図形(D=50,TMAX=50,L=1,H=0.1の画像)の中央以外の部分の軌跡濃度のランダム性は各始点での軌跡のランダム性に異存しているのであろう。また此の濃度画像の中心部近辺の濃度画像は明確な或る種の規則性と秩序があり・・・その濃度構造が面白いのだが・・・その規則性と秩序は、その部分の始点の軌跡に規則性と秩序が存在していることを暗示している。
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571 関数をf(x)=sin{x+sinh(x)}の場合の軌跡の濃度画像

今回画像の関数は、f(x)=sin{x+sinh(x)} とする。注：ハイパボリック・サインであることに注意。画像の構造は今迄の使用した関数とは全く違ってしまう。

このような力学サイクル系離散時間位相平面について解説は記事541を参照。ここで記事541の(3)式で、sin(ρx)を sinh(x) に変えた。その理由は特になく、このようにしたら画像はどうなるか？という興味だけである。

画像の各パラメータは記事541と変えていない。

また今迄どおり画像は以下の(a)(b)の2種類のものを使用した。即ち、位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=log(m) mod 16

log表示により位相平面の軌跡濃度が単純化され
濃度構造が分かり易くなる。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

(b)色：C=m mod 16

m の直接な値が分かるが、濃度構造が複雑な場合、画像が混濁してしまい、構造が分かりにくくなる。

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570 近接した始点の軌跡について(その8)

今回も関数は、f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(243,240)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

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569 近接した始点の軌跡について(その7)

今回は関数は、f(x)=sin{x+sin(x)sin(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(120,120),(121,121)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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568 近接した始点の軌跡について(その6)

今回も関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(244,240)の2点の始点での軌跡を調べる。
前記事m260より始点が1pxより異なる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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567 近接した始点の軌跡について(その5)

今回も関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(242,240),(243,240)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。
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566 近接した始点の軌跡について(その4)

今回は関数は、f(x)=sin{x+tan(3x)}について調べる。

今回は始点が、px表示で、(120,120),(121,121)の2点の始点での軌跡を調べる。詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

下図から分かるように此の近接点において、少なくとも t＜500の早い時刻で此の近接点での軌跡の形態は異なってきており、Tmax=5000では其れらの形態は全く異なってきている。

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