551 関数をf(x)=sin{x^2+tan(3x)}に変えた画像(その2)

画像の関数は、f(x)=sin{x^2+tan(3x)}の場合、D=300, Tmax=300, H=0.05 としてLを変化(L=1,2,3,4,5)させた場合の画像を示す。
***
位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16 の場合と
色:C=m mod 16 の場合を比較する。

画像のlog化については記事543を参照。

C=log(m) mod 16 の場合については、
m=e^C だから、、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

C=m mod 16 の場合については、下図の場合は C=m としてよい。

***

Lは表示画像平面の中心点を固定したときの倍率である。
Lを大にするほど、点(x(t),y(t))の軌跡は大となり、従って表示画像範囲内外を、より広く飛び回り且つTmaxは有限のため其の結果として表示座標での m は相対的に小さくなり、画像濃度は減少する。従って、L を大にする即ち画像を拡大した場合、画像の構造は保持されるが濃度の色自体は変化する。

---------------------





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550 関数をf(x)=sin{x^2+tan(3x)}に変えた画像(その1)

今迄の画像の関数は、f(x)=sin{x+sin(3x)}だったが此れをf(x)=sin{x^2+sin(3x)}に変えた画像が下図である。これらの画像の詳細は記事541を参照。

関数以外の画像作成条件、Xs=-6,Xe=6,Ys=6,Ye=6, H=0.05 とし、たのパラメーターは適宜
変えている。
***
以下の画像は今迄の画像同様に、点(x(t),y(t))の軌跡の各座標点の通過回数を色で表現している。即ち位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示する。その理由については前記事543を参照。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

-------------------------------------------------
・Tmax=50の場合







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・Tmax=100の場合







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・D=50のその他の場合

549 関数をf(x)=sin{x^2+sin(3x)}に変えた画像(その2)

画像の関数は、f(x)=sin{x^2+sin(3x)}の場合、D=300, Tmax=300, H=0.1 として、Lを変化(L=1,2,3,4,5)させた場合の画像を示す。
***
位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示する。その理由については前記事543を参照。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

Lは表示画像平面の中心点を固定したときの倍率である。
Lを大にするほど、点(x(t),y(t))の軌跡は大となり、従って表示画像範囲内外を、より広く飛び回り且つTmaxは有限のため其の結果として表示座標での m は相対的に小さくなり、画像濃度は減少する。従って、L を大にする即ち画像を拡大した場合、画像の構造は保持されるが濃度の色自体は変化する。

548 関数をf(x)=sin{x^2+sin(3x)}に変えた画像(その1)

今迄の画像の関数は、f(x)=sin{x+sin(3x)}だったが此れをf(x)=sin{x^2+sin(3x)}に変えた画像が下図である。これらの画像の詳細は記事541を参照。

関数以外の画像作成条件は今迄(記事541～記事547)と全て同じである。

画像が全く変わってしまうが、表示画面の中央(点(0,0))付近の画像構造は今迄の画像と似ている。
***
位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示する。その理由については前記事543を参照。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

--------------------------------------------------
・D=50,L=1,H=0.1の場合







---------------------------------------------------
・D=100,L=1,H=0.1の場合　







---------------------------------------------------
・D=300,L=1,H=0.1の場合





　

547 D=300,Tmax=500にてLを変えた場合の軌跡通過点の濃度

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。

下図は、D=300,Tmax=500,H=0.1にて、Lを変えた場合の位相平面の軌跡の濃度画像である。
軌跡が位相平面の座標点(X,Y)を通過した数をm回としたとき、BASIC/98のカラーコードを C として、C=log(m) mod 16で色表示している。但し、m=0ならば白としている。また、C=7→8とした。Cの色より、各座標点のmが分かる。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

Lは表示画像平面の中心点を固定したときの倍率である。
Lを大にするほど、点(x(t),y(t))の軌跡は大となり、従って表示画像範囲内外を、より広く飛び回り且つTmaxは有限のため其の結果として表示座標での m は相対的に小さくなり、画像濃度は減少する。従って、L を大にする即ち画像を拡大した場合、画像の構造は保持されるが濃度の色自体は変化する。

-----------------------------------------------------

546 D=100,Tmax=100にてLを変えた場合の軌跡通過点の濃度

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。

下図は、D=100,Tmax=100,H=0.1にて、Lを変えた場合の位相平面の軌跡の濃度画像である。
軌跡が位相平面の座標点(X,Y)を通過した数をm回としたとき、BASIC/98のカラーコードを C として、C=m mod 16で色表示している。但し、m=0ならば白としている。また、m＜16 だから C=m としてよい。Cの色より、各座標点のmが分かる。

Lは表示画像平面の中心点を固定したときの倍率である。

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545 Tmaxを変えた場合の軌跡通過点の濃度分布画像(その4)

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。

下図は、D=500,L=1,H=0.1の場合のTmax=100とTmax=500の画像であり、濃度表示を以下にしたときの画像の比較である。

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示する。その理由については記事543を参照。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915

となる。但し、m=0 の場合は白としている。

・Tmax=100の場合




上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の内外の『枠』の部分であり、黄色であるからm=247～665であることが分かる。

***
・Tmax=500の場合。



上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の外側の菱形状の『枠』部分であり、灰色であるからm=665～4915であることが分かる

544 Tmaxを変えた場合の軌跡通過点の濃度分布画像(その3)

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。


下図は、D=300,L=1,H=0.1の場合のTmax=100とTmax=500の画像であり、濃度表示を以下にしたときの画像の比較である。

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

色:C=log(m) mod 16

で表示する。その理由については前記事543を参照。

m=e^C だから、アルバム500の17より、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915

となる。但し、m=0 の場合は白としている。

・Tmax=100の場合



上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の『枠』部分であり、緑色であるからm=33～90であることが分かる。

--------------------------------
・Tmax=500の場合。



上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の外側部分であり、黄色であるからm=247～665であることが分かる。

543 Tmaxを変えた場合の軌跡通過点の濃度分布画像(その2)

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事m234参照。

下図は、D=200,L=1,H=0.1の場合のTmax=100とTmax=500の画像であり、濃度表示を以下にしたときの画像の比較である。

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=m mod 16
(b)色:C=log(m) mod 16

を比較する。

(a)の場合の m は色コード：Cの順序どおりになる。
但し、m=0の場合はプログラムで白としており、C=7(白)の場合は C=8(灰)としている。
mod を使用しているから、m は16進で変化する。

(b)の場合はm=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5～1.5=1～4
C=2(赤)ならば m=e^1.5～2.5=4～12
C=3(橙)ならば m=e^2.5～3.5=12～33
C=4(緑)ならば m=e^3.5～4.5=33～90
C=5(青)ならば m=e^4.5～5.5=90～247
C=6(黄)ならば m=e^5.5～6.5=247～665
C=8(灰)ならば m=e^6.5～8.5=665～4915

となる。但し、m=0 の場合は白としている。

以下に示す(b)の画像の色から分かるように、m は 16 以上となっており、C=0～15が16進で表示されるため結果として画像の色が混濁してしまい、画像の色構造が不鮮明となってしまっている。

(b)の画像では、log 効果により色が整理され、その結果、画像の色構造(即ち、軌跡の通過濃度分布構造)が判然としてくる。

以下に(a)(b)を対比した画像を示す。
***

Tmax=100の場合。上図が(a)、下図が(b)である。





上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の『枠』部分であり、緑色であるからm=33～90であることが分かる。

--------------------------------

Tmax=500の場合。上図が(a)、下図が(b)である。





上図のlog図から分かるように点(x(t),y(t))の軌跡の分布は整然とした『蜂の巣』状となっていて、軌跡の分布も一様であり、その濃度が最大となるのは『蜂の巣』の『枠』部分の一部であり、黄色であるからm=247～665であることが分かる

542 Tmaxを変えた場合の軌跡通過点の濃度：その1

此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事541参照。

点(x(t),y(t)は与えられた初期値x(0),y(0)が与えられたとき、t の推移に従って位相平面に軌跡を描く。軌跡の時間変化はダイナミックに変化する。その様子自体をアニメーション化すれば此の画像の面白さも倍増するだろう。

軌跡の形態は以下の画像から分かるように同一の格子(or蜂の巣)状模様となっている。

下図は、D=50,H=0.1の場合、Tmaxを変えた場合の位相平面の軌跡の濃度画像である。軌跡が位相平面の座標点(X,Y)を通過した数をm回としたとき、BASIC/98のカラーコードを C として、C=m mod 16で色表示している。但し、m=0ならば白としている。また、m＜16 だから C=m としてよい。Cの色より、各座標点のmが分かる。

Tmaxが大きくなれば当然、点(x(t),y(t))は同一座標を通過する確率は大となるから、画像全体が C の大の色へと推移する。しかし、Tmax=100と500の画像を比較すれば、その変化は判然とするが、100→200→300→400→500での各間での変化は、よく見ないと分からない。

Tmax=500の場合、『蜂の巣』形状の『枠』で m が最大となっており、其処は緑色だからm=4だと分かる。即ち、点(x(t),y(t))の軌跡は『蜂の巣』の『枠』を頻繁に通過していることが分かる。

この画像作成のBASIC/98のプログラム例を最後に書いておく。











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画像作成のBASIC/98のプログラムを以下に示す。

10 REM 力学系　軌跡の濃度分布用
20 REM parameter→行140
30 REM 横軸(K)：640 dots、縦軸(J)：480 dots
40 CHAIN MERGE "C:\BASIC1\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC1\PRO\SUBR\ER1.BAS",60,ALL
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC1\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",70,ALL
70 ON ERROR GOTO 50000
80 CONSOLE ,,0,1
90 COLOR 0,7,,,2
100 CLS 3
110 GOSUB 10000
120 LOCATE 61,3:PRINT "関数"
121 LOCATE 61,4:PRINT "f(x)=sin{x+sin(3x)}"
122 LOCATE 61,6:PRINT "Xs=-20,Xe=20"
130 LOCATE 61,7:PRINT "Ys=-20,Ye=20"
140 LOCATE 61,9:PRINT "最大時刻:TMAX=500"
150 LOCATE 61,11:PRINT "倍率：L=1"
160 LOCATE 61,13:PRINT "画像密度：D=50"
170 LOCATE 61,15:PRINT "離散化定数：H=0.1"
180 LOCATE 61,17:PRINT "色:C=log(m) mod 16"
181 LOCATE 61,18:PRINT "但し、C=7→8"
190 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATA1.DAT" FOR OUTPUT AS #1
210 DIM Z(480,480)
220 XS=-20:XE=20:YS=-20:YE=20:H=0.1:D=50:L=1:TMAX=500
230 DX=(XE-XS)/D:DY=(YE-YS)/D
270 FOR JJ=0 TO D
280 LOCATE 65,0:PRINT JJ
290 YY=YS+DY*JJ:Y1=YY
300 FOR KK=0 TO D
310 XX=XS+DX*KK
320 FOR T=0 TO TMAX
330 X=XX:Y=YY
340 XX=X-H*SIN(Y+SIN(3*Y))
350 YY=Y+H*SIN(X+SIN(3*X))
360 XXX=L*XX:YYY=L*YY
370 J=12*YYY+240
380 K=12*XXX+240
390 IF J<0 OR J>480 THEN 470
400 IF K<0 OR K>480 THEN 470
410 Z(K,J)=Z(K,J)+1
420 IF Z(K,J)=0 THEN 470
430 CC=Z(K,J) MOD 16
440 IF CC>6.5 AND CC<7.5 THEN CC=8
450 PSET (K,J),CC
460 WRITE #1,K,J,Z(K,J)
470 NEXT T
471 YY=Y1
480 NEXT KK
490 NEXT JJ
500 GOSUB 3000
510 END

541 力学サイクル系離散時間位相平面について

力学系：微分方程式の振る舞いの追跡について。
(参考文献)『コンピューター・カオス・フラクタル』(C.A.ピックオーバー著、白揚社))

次式のサイクル系に関する離散時間位相平面を考える。
dX(t)/dt=-f(Y(t)) ・・・(1)
dY(t)/dt=-f(X(t)) ・・・(2)

ここで関数：fは周波数変調で使われる次式を考える。
f(x)=sin(x+sin(ρx)) ・・・(3)

(3)式をコンビューターで扱うために次式のオイラー近似を使用する。
X(t+1)-X(t)=-hf(Y(t)) ・・・(4)
Y(t+1)-Y(t)=hf(X(t)) ・・・(5)
ここで、hは小さい値とする。

今、X(t)を横軸、Y(t)を縦軸とする位相平面を考え、t が 離散的に変化したときの式(4)(5)で決定される点(X(t),Y(t))の軌跡を表示させる。

***
ここで、この軌跡を求める実際のBASIC/98のプログラムにおいて以下の
パラメータを用いる。

(a)表示する横軸=XS～XE ：480ピクセル
(b)表示する縦軸=YS～YE ：480ピクセル
(c)tの変化：T=0→TMAX (step 1)
(d)X(t)及びY(t)の倍率=L (但し、画像の中心点は固定する)
(e)初期値の与え方は以下のようにする。
横軸：XS～XE、及び縦軸：YS～YEをD等分する。
即ち、DX=(XE-XS)/D:DY=(YE-YS)/Dとする。
ここで、初期値：x(0)=XX,y(0)=YYを以下のように変化させる。
FOR JJ=0 TO D
YY=YS+DY*JJ
FOR KK=0 TO D
XX=XS+DX*KK
NEXT KK
NEXT JJ

***
上記の(e)でのJJ,KK ループにおいて、点(X(T),Y(T)を N=0→NMAXで求めて表示させれば、微分方程式(1)(2)の t の変化による挙動軌跡が求まる。

***
f(x)=sin{x+sin(3x)},XS=-20,XE=20,YS=-20,YE=20,D=500,L=1,TMAX=500
の場合のBASIC/98のプログラムの具体例を下記に示す。
但し、上記の参考文献では具体的プログラムが書かれていないため、以下のプログラムは私の独自のものである。パラメーターの具体的与え方は恐らく参考文献とは異なることを注意しておく。

10 REM 力学系
20 REM parameter→行140
30 REM 横軸(K)：480 dots、縦軸(J)：480 dots
80 COLOR 0,7,,,2
90 CLS 3
140 XS=-20:XE=20:YS=-20:YE=20:H=0.1:D=500:L=1:TMAX=500
150 DX=(XE-XS)/D:DY=(YE-YS)/D
180 FOR JJ=0 TO D
200 YY=YS+DY*JJ :Y1=YY
210 FOR KK=0 TO D
211 XX=XS+DX*KK
220 FOR T=0 TO TMAX
221 X=XX:Y=YY
230 XX=X-H*SIN(Y+SIN(3*Y))
240 YY=Y+H*SIN(X+SIN(3*X))
241 XXX=L*XX:YYY=L*YY
250 J=12*YYY+240
260 K=12*XXX+240
270 IF J<0 OR J>480 THEN 310
280 IF K<0 OR K>480 THEN 310
290 PSET (K,J),0
310 NEXT T
314 YY=Y1
320 NEXT KK
330 NEXT JJ
340 END

***
次記事より具体的画像を求める。

540 Z^2+0.5→Z^3+0.5変容時の『萌芽』のフラクタル性

記事537で、s の増加につれて Z^s+0.5 画像の『萌芽』発生と其の『成長・分裂』の様子を調べた。下図は其の様子の画像である。



この『萌芽』の初期の段階のs=2.336での Z^s+0.5 拡大画像が下図であった。



上図の初期『萌芽:s=2.236』画像の中の部分を拡大し其のフラクタル性を調べる。




--------------------------------------











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注：記事537aのアニメ参照

539 Z^7+μ 画像のフラクタル性

Z^s+μ画像(sは0を含む整数、μは実定数)については今迄散々此のブログで掲載してきた。
特に Z^3+0.5画像は複素関数が単純なためもあって、大変面白い特徴が分かり易く見られる。

今回取り上げる Z^7+μ画像も其の特徴は本質的に Z^3+0.5画像と同じで、画像の『整然としたフラクタル性』『収束点の数の無限の階層性』等も此の画像を見れば一目瞭然に分かる。これらの説明は割愛するが、Z^7+μ 画像は画像自体が美しいので掲載する。

なお、この画像作成は以下の手順による。

1.複素関数：Z^7+μ
2.N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100 ならば脱出する。Nmax=500
3.N-loop脱出後のpset条件：(|X|＜100 or |Y|＜100)　ならばpsetする。←ここが従来の画像と異なる。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
4.N-loop貫通時は、C=15とする。

下図は Z^7+μにおいて、μ を変化させた画像である。





下図は Z^7+0.365 画像である。



上図の 4 箇所の部分を拡大する。




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538 Z^5+μ 画像のフラクタル性

Z^s+μ画像(sは0を含む整数、μは実定数)については今迄散々此のブログで掲載してきた。
特に Z^3+0.5画像は複素関数が単純なためもあって、大変面白い特徴が分かり易く見られる。

今回取り上げる Z^5+μ画像も其の特徴は本質的に Z^3+0.5画像と同じで、画像の『整然としたフラクタル性』『収束点の数の無限の階層性』等も此の画像を見れば一目瞭然に分かる。これらの説明は割愛するが、Z^5+μ 画像は画像自体が美しいので掲載する。

なお、この画像作成は以下の手順による。

1.複素関数：Z^s+0.5
2.N-loop脱出条件：X^2+Y^2＞100 ならば脱出する。Nmax=500
3.N-loop脱出後のpset条件：(|X|＜100 or |Y|＜100)　ならばpsetする。←ここが従来の画像と異なる。
N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。
但し、C=7ならばC=8とする。
4.N-loop貫通時は、C=15とする。

下図は Z^5+μにおいて、μ を変化させた画像である。



下図は Z^5+0.565 画像である。



上図の 6 箇所の部分を拡大する。




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以下は上図の各部分の拡大画像である。

537a Z^2+0.5→Z^3+0.5の変貌のアニメ

このアニメは以前、掲載したことがあるが、前記事に関連があるので再掲する。

Z^2+0.5画像が、Z^3+0.5画像へと変貌していく様子をアニメ化したものである。
Z^2+0.5→Z^3+0.5