PCが描く奇妙な画像集(数学的万華鏡と生物形態等の世界)

・インタープリタBASICによるフラクタルとカオスの奇妙な画集。

143 放散虫：Z^3+0.5 画像の回転

2014-07-08 12:29:30 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
放散虫：Z^3+0.5大変、興味深い「虫」で其の内部構造については記事012～025で説明している。
今回は此の画像の回転について述べる。

下図は「通常の」画像である。




下図は30度(π/6rad)時計方向回りに回転した場合の放散虫：Z^3+0.5の画像である。



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以下に、BASIC/98での、この画像作成プログラムを以下に書いておく。

回転しない場合は、行360を下記に変更すればよい。

360 XX=RR*COS(TH):YY=RR*SIN(TH)
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10 REM放散虫：Z^3+0.5の画像,BASIC/98
50 CHAIN MERGE "D:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",60,ALL
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
120 JMAX=240:KMAX=1500:RMAX=1.5:X0=0:Y0=0
130 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX
150 FOR J=0 TO JMAX
160 R=J*DR
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH
210 X=R*COS(TH)+X0
220 Y=R*SIN(TH)+Y0
230 FOR N=0 TO 50
240 X1=X
250 X=FNR3(X,Y)+0.5
260 Y=FNI3(X1,Y)
270 Q=X^2+Y^2
280 IF Q>100 THEN 310 ELSE 290
290 NEXT N
300 C=15:GOTO 350
310 IF ABS(X)<10 OR ABS(Y)<10 THEN 320 ELSE 390
320 C=N MOD 16
330 IF C=7 THEN C=8
350 RR=AA*R
360 XX=RR*COS(TH+P/6):YY=RR*SIN(TH+P/6)
370 XXX=INT(XX)+320 :YYY=INT(YY)+240
380 PSET (XXX,YYY),C
390 NEXT K
391 NEXT J
400 END










125 (sinZ)^2+C：Q=1(log|X|log|Y|) の変容と各画像

2014-07-07 11:13:26 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)^2+C。C は実定数で、その値は下の各画像に書いてある。
2. N-loop脱出条件：Q=1/(log|X|log|Y|),(|Q|＞10 or |Q|＜0.1)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. 色設定：N-loop貫通時はC=15。N-loop脱出時は其の時のNをNoとすると C=No mod 16,C=7→8
5. Nmax=50

下図は実定数を変化させた場合の画像の変化を示す。一画像で、6個の C を変化させている。





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下図は、C=0.1～1の各個別の画像です。N-loop入力範囲は上図と一致させている。
そのため下の各画像は上図に比べY軸(虚軸)方向が少し圧縮された画像となっている。












113 (sinZ)^2 +0.5 画像の”噴煙”を拡大すると・・・

2014-07-06 15:54:36 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C

前記事の、ひ孫1画像の”噴煙”部分は、どうなっているのか？
それを調べるために、今回は、ひ孫1画像の”噴煙”部分の一部を拡大してみる。
下図は、ひ孫1の画像である。この画像のモヤモヤとした黒い”噴煙”の中の一部を拡大する。



下図の中の 1 の枠部分を拡大する。( 2 の枠部分の拡大は実行していない。
その理由は、Nmax=500であるため実行時間が余りに膨大となるため実行を断念した。)　
なお、拡大枠を明確にするため、ひ孫1画像の”噴煙”部分の色は黒→黄色に変更してある。





下図が 1 の枠部分の拡大図でである。ひ孫1画像の”噴煙”部分の中に見られる不規則に散在している点は、このように拡大してみても一塊りの大きさをもったモノとはなっていない。相変わらず不規則な点が散在している。



上図より分かることは『”噴煙”部分の中の不規則な点の散在』も自己相似(フラクタル)な画像となっていることだ。
しかも、弓状の線も存在している。この図の場合、この線の色は、暗い黄色のみである。
このことは此の弓状の線は14の整数倍(但し500以下)のN値で、N-loopを脱出していることを意味している。

また上図にランダムに散在する点は、よく見ると、白色が圧倒的に多い。

上図では其れは確認しずらいが、オリジナル画像で見ると其れが確認できる。
これらの点が白色だということは或るN値でN-loopを脱出しているが、しかし画像作成条件のpset条件を満足していない点であることを意味している。

***

ここで、少し整理すると以下のように言えると思われる。

1. (sinZ)^2 +0.5 画像の、黒いモヤモヤとした”噴煙”は、N-loopを脱出出来ず、N-loopを貫通してしまうような、N-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。
ここでNmax=500である。(前記事の最後で述べたように、これらは、ある意味で「発散しない」点の集合と言える。)

2. ”噴煙”の中に点在する白い点は、N-loopを或るN値(＜=500)で脱出するが、pset条件を満足しない(即ち、N-loop脱出時のX,Yが『|X|<10 or |Y|<10』を満足しないような)、N-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。

3. ”噴煙”の中に点在する点で白色でない点は、その色に相当するN値でN-loopを脱出して、かつ、pset条件を満足するN-loopの入力点(Xi,Yi)の集合である。(ここで、色C=N MOD 16である。)

4. ”噴煙”の中に点在する点も自己相似(フラクタル)な画像となっている。

5. (sinZ)^2 +0.5 画像に弓状に走る線については其の性質は、よく分からないが、少なくとも”噴煙”部分を拡大しても存在している。

以上である。

112 (sinZ)^2 +0.5という名の噴火連山

2014-07-06 15:07:49 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)^2 +0.5
2. N-loop脱出条件：Q=tan(XY),(|Q|＞100 or |Q|＜0.01)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜π, |Yi|＜0.75π
5. Nmax=50

下の画像は前記事の子1の画像である。この画像は同心円状の形をした複数の山から噴煙を出しているように見える。
この画像のモヤモヤとした黒色の部分が、いかにも噴煙のように見える。この画像を『(sinZ)^2+0.5 という名の噴火連山』とでも名づけよう。　この噴火山の頂点を、これから拡大して見ていく。　　

下図の二つの山の頂点付近を拡大する。それらの拡大図を、それぞれ、孫1画像、孫2画像と名づける。












次に、孫1画像の中の二つの山の頂点付近を拡大する。それらの拡大図を、ひ孫1画像、ひ孫2画像と名づける。










上に示した画像のN-loopのNmax値は500である。
これらの画像のモヤモヤとした噴煙部分は、N-loop巡回計算においてN=NmaxでもN-loopを脱出できないようなN-loop入力点(Xi,Yi)点の集合である。奇妙なことに、この噴煙部分には、N＜Nmaxで、N-loopを脱出しているN-loop入力点(Xi,Yi)がランダムに存在している。

N-loop脱出条件は『Q=tan(XY)として、もし、(|Q|>100 or |Q|<0.01) ならば脱出する。』であり、普通の意味での距離(即ち、Q=(X^2+Y^2)^0.5)ではない。だから、モヤモヤとした部分は通常の意味での「発散しない」とは異なる。
しかし、もし、上記『・・・』を「距離」と定義すれば、モヤモヤとした部分は「発散しない」N-loop入力点(Xi,Yi)の集合と言えるだろう。

それは、ともかくとして上に掲げた図も例によって自己相似(フラクタル)な画像となっている。
また、これらの画像に弓状に走っている線の正体はなんなのか？　これも興味ある問題である。

111 (sinZ)^2 +0.5 画像

2014-07-06 14:32:32 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C
今回の画像の作成条件は、以下のとおり。

1. 複素関数：(sinZ)^2 +0.5
2. N-loop脱出条件：Q=tan(XY),(|Q|＞100 or |Q|＜0.01)
3. pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10
4. N-loop入力範囲：|Xi|＜π, |Yi|＜0.75π
5. Nmax=50

下の画像は上記条件での画像である。この画像の上下に見られるモヤモヤとした暗い白色の部分は、Nmax=50でもN-loopを脱出せず、N-loopを貫通するような、N-loop入力点(Xi,Yi)である。
但し、その画像部分には不規則に散乱している点も見える。
この不規則な点は、N-loopにてNmax以下の、或る値でN-loopを脱出したN-loop入力点(Xi,Yi)である。

この画像は記事010の”噴火連山” N-loop入力点(Xi,Yi)と似ている。
この画像の中央部の画像も噴火連山に見立てる。すると、この画像の中央部の連山が欠けているように見える。これは、Nmax値が不足しているため、N=Nmax=50で脱出してしまった部分である。



下図はNmax=50→500にした場合の画像である。ここでは、N-loop貫通時は色を黒に変えた。
この画像の上下に見られる黒くモヤモヤとした部分は、Nmax=500でもN-loopを脱出できず貫通してしまうようなN-loop入力点(Xi,Yi)である。つまり、これらの入力点ではN-loop巡回点が少なくともNmax=500でも発散しない点であることを意味する。　奇妙なことに、上記したように、そのような「発散しない点の集合」の中に、発散点が不規則に存在していることである。　なぜか？　(ここでは、その検討はしない。)



下図のように、上図の中の 5 箇所の部分を(1～5)を拡大してみる。



上図の 5 箇所の部分の画像は以下のようになる。










105 Z^3+iC,Q=2XY画像のフラクタル性

2014-07-06 07:53:45 | ジュリィア集合の変形：f(Z)+ C


上の画像作成条件は以下のとおり。

1.複素関数：Z^3+0.5i
2.N-loop脱出条件：Q=2XY,(|Q|＞100 or |Q|＜0.01
3.pset条件：|X|＜10 or |Y|＜10

上図の中の枠No.1 と 枠No.2 の部分を拡大する。



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上図から分かるように枠No.1と枠No.2 の各画像は、
元の画像と自己相似(フラクタル)な画像となっていることが分かる。