黒縞模様画像が記事585 で赤分岐していく様子をアニメ化した。 (参考：そのアニメ→分岐画像)
その分岐画像の途中で、赤黒縞画像の縁(ふち)とマンデルブロ集合の縁とが類似している箇所がある。
下図がその例。
参考：下図はマンデルブロ集合画像(緑色)である。
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この類似性は何を意味するのだろうか？
単なる偶然だろうか？
この類似( 厳密には異なるが「感じ」は似ている )は、Naの或る箇所のみで他のNaでは発生しない。
画像の白部分は、N-loopを脱出する回数:NoがNa以上となる部分である。
そのような部分がマンデルブロ集合の、恐らく一部分と相似になるNaが存在することが事実だとすれば不思議だ。
この類似性は此の画像領域だけなのか、あるいは他の画像領域にもあるのか全く不明である。
この類似性が事実だとすれば、マンデルブロ集合画像の神秘性が一つ増えることになる。
前記事583の赤黒縞模様画像が分岐していく様子をアニメ化したものが此れ→分岐の様子
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この動画について解説する。
前記事で解説したように、
巡回式：Z←Z^2+C (Cは複素定数)を
点列:Z0,Z1,Z2,Z3,・・・,Zn,・・・,Znmax・・・・・・(1)
で表す。但し、Z0=C とする)。Zn の n は巡回回数に相当する。
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複素平面座標範囲:Dでの全ての点Cには、その固有のNoが存在する。
Noとは、|Zn|>2 となる n である。
即ち、巡回ループ(N-loop)を脱出するまでの巡回回数である。
今、Naを与え、No＜NaとなるC点のみ表示させるようにする。
そうすれば、巡回回数がNa以下の画像が得られる。
Naを小さな値から大きな値に順次変えて画像を表示させていけば、巡回回数Noが小さな順に・・・換言すればN-loopを早く脱出する順に・・・画像が表示されていく。
上のアニメはNaを小から大に時間変化させたときの画像の時間変化である。
動画の緑色の箇所は No>2000の部分である。nmax=5000。
具体的な画像表示方法を言葉で書くより、BASICプログラムで要点のみ書くほうが、わかり易いだろう。その方法を最後に書いておいた。
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この動画より分かること。
・赤黒縞模様の本体は画面右上部から発生し・・・即ち其の部分がN-loopを早く脱出し・・・其の本体は、ほぼ同時に2本に分岐し相互に「ら線」状に「からまって」いく。この2本の分岐の「本流」は同一源のもので他の部位から派生したものではない。
・2本の分岐は互いに同一の早さで「ら線」状に「からまって」いく。即ち、N-loop脱出の早さは互いに同一である。
・本体部及び分岐部の「成長」の早さは連続的・・・但しリニアではない・・・であり、断続してない。
・本体部が「成長」していく途中で、赤黒縞模様部の内側部の境界線は、マンデルブロ集合の境界線によく似た形状が見られる。これは大変興味深い。しかし本体部の「成長」が進むにつれて、その形状はマンデルブロ集合の境界線とは似ても似つかぬ形状へと変化していく。
・赤黒縞模様の本体は2本に分岐し「ら線」状に「からまり」、一点へと収斂していく。その2本の分岐の赤黒の各節目から更に分岐が派生していくが、それらの分岐は2箇所(緑の箇所)へと収斂していく。
・いずれにしても、以上の赤黒縞模様部の「成長」・・・換言すれば、Noの変容・・・はスムーズで、秩序だっており非線形性は見られない。
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・動画作成方法
先ず上図の全C点の座標位置情報(K,J)とNo情報(N)のデータを、シーケンシャル・ファイル化(ファイル名:DATA)しておく。動画のコマ数を50枚として、また各コマのパラメータをNとして、N=0→50変化させて50枚の画像を作る。
10 REM 動画の作成
20 OPEN "C:\DATA.DAT" FOR INPUT AS #1
51 EE=2.718281
52 N=0 ←N=0→50変化させて50枚の画像を作る。
60 NA=3.5*EE^(N/8)+185.5 ←これは試行して決めた。
70 INPUT #1,K,J,N
80 IF EOF(1) THEN 150
100 IF N 110 ZZ=N MOD 2
120 IF ZZ=0 THEN C=2 ELSE C=0
130 PSET (K,J),C
140 GOTO 70
150 CLOSE
160 END
この50枚の画像をNの順序に並べて0.2秒で再生させた。
上図はZ^2マンデルブロ画像の赤黒縞模様画像の一例である。
以下に赤黒縞模様画像の作成手順を詳しく説明する。
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巡回式：Z←Z^2+C (Cは複素定数)を
点列:Z0,Z1,Z2,Z3,・・・,Zn,・・・,Znmax・・・・・・(1)
で表す。但し、Z0=C とする。
|Zn|>2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・(2)
いま、与えられた複素平面座標範囲:Dで点Cmを与え、点列(1)が初めて(2)を満足する点Znが存在すれば、点Cmを、n が偶数ならば黒、奇数ならば赤にして表示する。
同様なことを座標範囲:Dの全ての点Cで行えば、Dで赤黒縞模様画像が得られる。但し、点列(1)がZnmaxになっても(2)を満足しないときは当該点Cは何も表示しない。
(ちなみに、nmax→∞ でも(2)を満足しないような点Cの集合をマンデルブロ集合という。通常は適当な有限値に設定する)
マンデルブロ画像を作るとき、通常、C は D の長方形の上端の左端から右端へ、これを上端から下端へと繰り返して変化させる。此の方法でなくてもよい( 其の一例が極座標表示 )が此の手順が最も簡単である。
上図は此の手順で作成した画像である。点Cが与えられたとき、その点でのNoは点Cで異なってくる。
上図は、nmax=5000としていて、点Cが、No＜700の場合のみ赤黒縞模様画像化している例である。画像から分かるように此の画像の場合は赤黒縞模様画像は特異な形をしている。
赤黒縞模様画像の赤黒が整然と連結しているということは、Noが規則正しく 1 ずつ変化していることを意味していて、その点でも此の画像が秩序をもっていることが分かる。
次に此の画像での座標範囲:Dを、以下で順に示していく。先ず元々のマンデルブロ画像から始まり、その中の部分を順次拡大していく。但し、画像の色は適宜変えているが、画像の形態には無関係だと思ってよい。ここでの関心事は、上の画像は、いかなる座標範囲:D なのか、だからだ。
このように、座標範囲:D は 1-11-3-5-3 の部位である。
ちなみに、この1-11-3-5-3部位にある赤黒縞模様画像画像の中にある縞模様の「2本の絡まり」の拡大図を下図に示す。この画像の拡大率は最初の図に対して 1126871 倍にあたる。
また、下図は No<463 の場合の赤黒縞模様画像である。(緑の色の箇所は No>2000 の箇所である。)
この画像のほうが、赤黒縞模様画像 から分かる画像の特徴が理解しやすく、その特徴を下記しておく。
赤黒縞模様は分岐構造をしている。その分岐は更に複雑に分岐を重ね、大ざっぱに見て以下のような分布構造となっている。
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1.分岐の本体部が存在し、その本体部の黒赤の節目、即ち、Noが1増すごとに新しい分岐が本体の両側から発生し、その発生した新しい分岐は、同様な分岐を繰り返していく。その場合の分岐部分の大きさと方向は随時変化していて一定ではない。
2.分岐の本体は、螺旋模様に或る一点へと収束していく。
3.2の場合、二本の別の本体が、螺旋模様となって共通の収束点へと向かうが、その螺旋は互いに、からまった状態(下図がその例)となっている。
4.本体部分から派生した複数の分岐は、他の派生した複数の分岐と集まっていき、同一座標点へと向かって収束している。
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関連記事：344,345