まずは通説が示しているドップラーシフトの式を示します。（注１）
ν’＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ)) ・・・（１）式
但し静止している観測者に対して光源が動く場合： Θ ： 観測者から見た光源の動く方向（Θ =0 ：観測者に向かってくる場合）
それに対してアインシュタインが示した式は次のものです。（注２）
ν’＝ν＊(1-V*Cos(Θ))/sqrt(1-V^2) ・・・（２）式
但し静止している光源に対して観測者が動く場合： Θ ：光源から見た観測者の動く方向（Θ =π ：光源に向かってくる場合）
両者を比較すると分かるのですが、角度の取り方が真逆になっています。
まあその事に注意が必要です。
それで両者ともに光源と観測者が離れていく場合を（－）で示すこととします。
そうしますとその極限（＝光源と観測者の距離が無限大）では（１）式ではΘ＝πであり（２）式ではΘ =0です。（注３）
これをそれぞれの式に代入しますと
（１）式（－）＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ))
=ν＊sqrt(1-V^2)/(1+V)
=ν＊sqrt(1-V)/sqrt(1+V)
（２）式（－）＝ν＊(1-V*Cos(Θ))/sqrt(1-V^2)
=ν＊(1-V)/sqrt(1-V^2)
=ν＊sqrt(1-V)/sqrt(1+V)
これはつまり「光源が動いても観測者が動いても、その間の距離が離れる方向であれば距離が無限大になった最後には同じ式になる」という事を示しています。（注４）
あるいは逆に言いますと「この２つの式に違いが現れるのはΘ＝π/2、つまりは光源と観測者がすれ違う時である」となっているのです。
そうであれば「横ドップラーの時にはこの２つの式は違う計算値を返す」のです。（注５）
さてそれで「離れる方の極限」の反対、２つの間の距離は無限大ですがお互いが近ずく方向に動く場合を確認しておきます。
そうしてその場合の符号は（＋）で示します。
Θは今度は（１）式ではΘ＝0であり（２）式ではΘ =πです。
（１）式（＋）＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ))
=ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V)
=ν＊sqrt(1+V)/sqrt(1-V)
（２）式（＋）＝ν＊(1-V*Cos(Θ))/sqrt(1-V^2)
=ν＊(1+V)/sqrt(1-V^2)
=ν＊sqrt(1+V)/sqrt(1-V)
はい、この場合も両者はおなじ式になります。
そうしてその式の形は「離れる方向に動いた場合の式の分子、分母を入れ替えた形」になっています。
さてこうして２つの式の挙動が見えましたので、それをグラフ化しておきます。
但しΘの扱いが２つの式で逆になっていますので、これについては通説の角度の取り方を基準として示します。
そうしてこの例では相対速度ＶはＶ＝０．５Ｃで計算します。
y=sqrt(1-0.5^2)/(1-0.5*cos(x)),y=(1+0.5*cos(x))/sqrt(1-0.5^2),y=1000000*(x-pi/2),y=1 プロット 0<x
実行アドレス
表示はΘが０からπまで、上のカーブがアインシュタインの式、下のカーブが通説の式になっています。
横線はいわゆるドップラー係数が１、つまり周波数が変化しない位置をしめしており、それより上は青方偏移を下は赤方偏移する事を示しています。
そうして横ドップラーの起きる場所はΘ＝π/2≒１．５７であり、その位置は縦棒が示していますがアインシュタイン条件、つまりは光源が静止していて観測者が動いている場合と通説の条件＝観測者が静止していて光源が動いている場合のそれぞれのドップラー係数が読み取れます。
さてそうしますと横ドップラーシフトの観測ではアインシュタイン条件では青方偏移を観測し、通説条件では赤方偏移を観測する事になるのが確認できます。
ここでΘ＝π/2の時のそれぞれの式の形を確認しておきます。
（１）式（π/2）＝ν＊sqrt(1-V^2)
（２）式（π/2）＝ν/sqrt(1-V^2)
V=0.5を代入すると
（１）式（π/2,0.5)=ν＊sqrt(1-V^2)≒0.866ν
（２）式（π/2,0.5)=ν/sqrt(1-V^2)≒1.155ν
さてページか尽きました。続きはまた後日。
注１：ういき：ドップラー効果： https://archive.md/MNLxG ：の「光のドップラー効果」章によれば、
ν’＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ))
ここで、ν’：観測者が観測する振動数、ν ： 光源の出す光の振動数、V： 観測者から見た光源の速さ、但しここでは 光速を１とする単位系を採用、Θ ： 観測者から見た光源の動く方向（Θ =0 ：観測者に向かってくる場合）
重要なのは、光の場合には光源が観測者の視線方向に対して垂直に運動しており、視線方向の速度を持っていない場合(Θ =90°)でも光の振動数が変化して見えることである。これを横ドップラー効果という。
ここでΘ =90°とすると諸式はCos(Θ)＝０より
ν’＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ))
＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*０)
＝ν＊sqrt(1-V^2)
となる。
注２：「アインシュタインの特殊相対性理論」（1905年）：https://archive.md/Gl1Hd#3-2-2 ：を参照のこと。
特に光源と観測者の移動方向と角度Θの取り方については［補足説明１］にある図を確認してください。
注３：ここで注意すべきは「横ドップラーの観測を行う為には光源と観測者はどちらが動くにせよ、すれ違う時に両者の間の間隔Ｄが有限の値を持っていなくてはならない、という事です。
間隔Ｄがゼロであれば「すれ違い」ではなく「衝突」がおこります。
そうであれば「横ドップラーを考える時」はＤ≠０です。
しかしながら、通常の縦ドップラーを簡略的に取り扱う時はこの衝突コース（Ｄ＝０）で計算します。
そうして間隔Ｄがゼロである、という事は角度Θに変換すると「Θ=0」か「Θ=π」になっている、という事です。
つまりは「光源と観測者の距離が無限大」＝「間隔Ｄがゼロである」という事なのです。
さてそうであれば実際の場面では「光源と観測者の距離が無限大」とされても、無限大の距離に離すのではなくて間隔Ｄをゼロにするのです。
注４：「静止系にあるのが光源なのか観測者にあるのか」その情報は縦ドップラーの観測値の中には含まれない、ということです。
但し次ページで示すように「時間遅れの情報は入っている」模様です。
そうしてそれを取り出す事に成功したのが「Ives と Stilwellが行った実験」という事になります。
ちなみに上記の諸式変形では
sqrt(1-V^2)=sqrt((1-V)*(1+V))=sqrt(1-V)*sqrt(1+V)
(1+V)=sqrt(1+V)*sqrt(1+V)
(1-V)=sqrt(1-V)*sqrt(1-V)
Cos(0)=1, Cos(π)＝-1
と言う関係を使っています。
注５：それに対して横ドップラーの観測値の中には「静止系にあるのが光源なのか観測者にあるのか、判別可能な情報が含まれている」という事になります。
加えて「時間遅れの情報も入っている」という事です。
ただしその情報を取り出すのにはそれなりに工夫された実験計画が必要となります。
追記：「Ives と Stilwellが行った実験」では上でしめしたグラフがどうなっていたのか、確認しておきます。
Ｖ＝０．００５Ｃでしたので、この部分が上記の場合からの変更点となります。
y=sqrt(1-0.005^2)/(1-0.005*cos(x)),y=(1+0.005*cos(x))/sqrt(1-0.005^2),y=1000000*(x-pi/2),y=1 プロット 0<x
実行アドレス
通説の式とアインシュタインの式がほとんど、横ドップラー状態を含めて重なっている事がわかります。
そうして縦軸がｘ＝π/2の位置を示しています。
つまり「この位置が横ドップラーシフトの位置」なのです。
それでその時のドップラー係数はほとんど１です。
つまり「このおそい相対速度Ｖ＝０．００５Ｃでは横ドップラーの直接観測はムリである」という事になります。
この理由の為に「Ives と Stilwell」は測定の仕方を変更したのでした。
（注意）：ブログの表示機能の不具合の為、ウルフラムへの入力文に一部、欠落が生じています。そうであれば入力文については実行アドレスでウルフラムを参照されそちらで確認するようにお願いします。