第２回解説編

公務員試験チャレンジ２　解説

前回の問題です。

　ここに一組のトランプがあります。
ちなみに日本語ではトランプですが、正式名称は「カード」です。
ご存じの通りで、カードにはダイヤ、ハート、スペード、クラブの４種類のマークがあります。
そして１（エース）から１３（キング）までの１３種類ですから合計で５２枚です。

　このトランプを４人に一人１３枚ずつ配りました。
もちろん無作為に配ることになります。
各自は手札の中のエース（１）の数を調べます。
エースは４枚ありますから、一人に一枚ずつということもありますし一人だけが４枚という事もあります。

　さて、この４人の中から無作為に一人を指名します。
そして
「あなたはエースを持っていますか？」
と尋ねます。

　もしも、その人がエースを持っていなかった時は、その人はパスとしてその次の人に同じ質問をします。
そして、「ハイ」と最初に答えた人に、次の質問をします。

「あなたはエースを２枚以上持っていますか？」
答えは、「ハイ」か「イイエ」のどちらかとします。
この時に、その人が「ハイ」と答える確率をＸとします。

　次に同じように４人にカードを配ります。
そして今度は
「スペードのエースを持っている人は誰ですか？」
と質問します。

　今度は必ず一人だけ手を挙げる人がいることになります。
そしてその人にまた同じ質問をします。
「あなたはエースを２枚以上持っていますか？」
この時に、その人が「ハイ」と答える確率をＹとします。

　さて問題です。
この二つの確率、ＸとＹではどちらが大きいでしょうか？

　1.Ｘが大きい 2.Ｙが大きい 3.両方とも同じ



　この問題は、「条件付き確率」といいます。
まずはその解説から。

　通常の確率を計算する時には、Ａ「条件を満たす場合の数」をＢ「全体の場合の数」で割って求めます。
たとえば、「サイコロを１回振って奇数が出る確率」を考える時には。
Ａは「１，３，５」ですから３通り
Ｂは「１から６まで」ですから６通り
です。

　したがって確率は、Ａ/Ｂですから　３／６で、１／２です。

　ところがこの条件付き確率では、全体の場合が限定されている設定になります。
これが上手く理解できるかがカギとなります。
問題の例で示します。

　サイコロを１回振ったところ「３以下の目」が出ました。
奇数が出た確率はいくつでしょうか？

　この場合、「３以下の目がすでに出ている」事に注意しなくてはいけません。
Ａは「１，３」ですから２通り
Ｂは３以下の目ですから「１，２，３」で３通りです。

　したがって確率は、２／３ということになります。
通常の確率とは異なるので、よく考えてください。

　さてこの問題ですが、実際に場合の数を計算するのが普通のやり方です。
しかしこの場合は条件が複雑なので計算はかなり難しいです。
そこで場面を簡略化して考えることにします。

　まずは、エースが４種類あることが問題を難しくしているので、これを２種類だけだとします。
スペードのエースとハートのエースの２枚として同じ問題を考えます。
これが３種類以上になると余事象が複雑になるので分かりにくくなります。
２種類で比較しても多い少ないという内容に変わりはありません。

　一人の人が持っているカードの内容としては４通りの場合があります。
ア、スペードとハートのエースを両方持っている。
イ、スペードのエースだけを持っている。
ウ、ハートのエースだけを持っている。
エ、両方とも持っていない。

　１．「エースを持っている人」はア＋イ＋ウ
その中で２枚持っている人はアですから、その条件付き確率は、「ア/（ア＋イ＋ウ）」です。

　２．「スペードのエースを持っている人」はア＋イ
その中で２枚持っている人はアですから、その条件付き確率は、「ア/（ア＋イ）」です。

したがって、１と２を比べると、分母の小さな２の確率のほうが数字は大きくなります。　
答えは、２「Ｙが大きい」です。

皆さん、できましたか？