夜散も蒸す

梅雨の真っただ中、夜散も蒸し蒸しです

それでも、今日の涼麻、張り切って、いつもの２倍ほど、歩きました

帰宅して、エアコンの効いた部屋で、目々が点＆ベロ全開

 

スイカをあげたら、よろこんで爆食

晩ごはんも食べようね

『天球の歩き方 計算編』#10 〜秋の大四辺形はどんな四角形か〜

秋の大四辺形は、ペガスス座のβ星シェアト（2.42等星）、α星マルカブ（2.48等星）、γ星アルゲニブ（2.84等星）、アンドロメダ座のα星アルフェラッツ（2.06等星）を頂点とする四角形。

いかんせん、難点は、いずれも２等星以下と暗いこと

春のアークトゥルス、夏のベガ、冬のオリオン座と比べると、なんともねえ

とはいえ、秋の夜空の道案内としては有用なので、今回は、四角形の形状を確認してみます。

 

1. ４つの恒星の位置

計算では、マルカブ、アルゲニブ、アルフェラッツ、シェアトを、それぞれ恒星A〜Dとします。

それぞれの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

恒星Aマルカブ：(RA, Dec)=(23^h 04^m 45.65345^s, +15° 12′ 18.9617″)

恒星Bアルゲニブ：(RA, Dec)=(00^h 13^m 14.15123^s, +15° 11′ 00.9368″)

恒星Dアルフェラッツ：(RA, Dec)=(00^h 08^m 23.25988^s, +29° 05′ 25.5520″)

恒星Dシェアト：(RA, Dec)=(23^h 03^m 46.45746^s, +28° 04′ 58.0336″)

 

2.各辺の長さと各内角の計算

まず、４辺の長さを求めます。【基本計算式１】を用いれば、

マルカブ〜アルゲニブの角距離θ_AB=16.5161°

アルゲニブ〜アルフェラッツの角距離θ_BC=13.9518°

アルフェラッツ〜シェアトの角距離θ_CD=14.2088°

シェアト〜マルカブの角距離θ_DA=12.8796°

 

と計算されます。６辺のうち最短であるシェアト〜マルカブの角距離を1とすると、各辺の長さの比率は、以下の通りとなります。

マルカブ〜アルゲニブ（辺AB）：1.2823

アルゲニブ〜アルフェラッツ（辺BC）：1.0832

アルフェラッツ〜シェアト（辺CD）：1.1032

シェアト〜マルカブ（辺DA）：1.0

 

次に、４つの内角を計算します。マルカブにおける内角φ_Aは△DABに【基本計算式５】を適用して求めます。同様に△ABC、△BCD、△CDAに対して計算していくと、

マルカブにおける内角φ_A=88.7919°

アルゲニブにおける内角φ_B=83.2695°

アルフェラッツにおける内角φ_C=94.7050°

シェアトにおける内角φ_D=96.8533°

となります。

今回の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

特徴的な点は、辺DA<辺BC≒辺CD<辺AB、φ_A, φ_B<90°、φ_C, φ_D>90°となっている点です。

このことから、秋の大四辺形は、大雑把に言うと、マルカブ〜アルゲニブを底辺とする台形に近い形をしていることになります。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Great Square of Pegasus

ちょっとドライブ

最近の涼麻、あまり長くは歩かないので、どうしても抱っこが多くなります。

そうなると、父子で遠出するのは、ついつい気が重く

でも、たまにはお出かけしないとね

というわけで、今日は、城南島海浜公園へ

ここでは、羽田空港を離発着する飛行機を間近でみることができます

 

到着した時間帯は、横風用のB滑走路を運用していたので、目の前を飛行機が横切っていきます

ちなみに、A滑走路やC滑走路の運用時は、公園の真上を旋回していきます

 

海岸部には砂が入れられて、砂浜状に整備されています。

シーサイドデッキ（？）の上をテケテケ

 

都心部の眺望も、まずまず

今度は、夜景を撮りにきても、いいかもしれませんね

 

こちらは、D滑走路から離陸して旋回中の飛行機

 

こちらは、B滑走路へ向けて降下中

 

そして、間もなく、着陸（赤い誘導灯設備の奥がB滑走路）

 

飛行機がわらわら

 

ラッシュアワーのため、飛行機が次々と登場します

 

ワンコも多いので、ご近所散歩より、たくさんご挨拶できます

前回、城南島を訪れたのは、なんと7年4ヶ月も前だったようです

よもや、そんなに久しぶりだったとは。

近いんだから、もっと連れてきてあげないとね

『天球の歩き方 計算編』#9 〜春の大三角から天秤座へ〜

春の大三角のうち、アークトゥルスとスピカは比較的明るいので、天球を歩き始める際には頼りになります。

アークトゥルスとスピカの右側にデネボラ（正中したとき）があるわけですが、反対側には蠍座のアンタレスや天秤座があります。

アンタレスは赤く明るいので目立ちますが、その手前にあるはずの天秤座は、α星ズベン・エル・ゲヌビが2.8等星、β星ズベン・エス・カマリが2.62等星と暗いため、都会ではまず見つけられません。

ズベン・エス・カマリは双眼鏡を通してみると青白いのですが、眼視だと「緑色と表現される事がよくあり、これは肉眼で見える唯一の緑色の恒星である」という興味深い星です。

"A Celestial Atlas"によれば、ズベン・エス・カマリは、アークトゥルスとスピカで正三角形を構成する頂点のあたりにあるようです。

Detail of Plate 29, "A Celestial Atlas" by Alexander Jamieson, Public Domain courtesy of Wikimedia Commons

 

３つの恒星アークトゥルス、スピカ、ズベン・エス・カマリ（それぞれ恒星A、B、Cと呼ぶ）赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

アークトゥルス：(RA, Dec)=(14^h 15^m 39.67207^s, +19° 10′ 56.6730″)

スピカ：(RA, Dec)=(13^h 25^m 11.57937^s, -11° 09′ 40.7501″)

ズベン・エス・カマリ：(RA, Dec)=(15^h 17^m 00.41382^s, -9° 22′ 58.4919″)

 

まず、３辺の長さを比べてみます。【基本計算式１】を用いれば、

アークトゥルス〜スピカの角距離θ_AB=32.7929°

スピカ〜ズベン・エス・カマリの角距離θ_BC=27.5528°

ズベン・エス・カマリ〜アークトゥルスの角距離θ_CA=32.3185°

と計算されます。アークトゥルス〜スピカの角距離を1とすると、スピカ〜ズベン・エス・カマリの角距離は0.84021、ズベン・エス・カマリ〜アークトゥルスは0.98554です。

したがって、この三角形は、スピカ〜ズベン・エス・カマリを底辺とする二等辺三角形に近いといえます。

次に、３つの内角を比較します。【基本計算式５】を用いれば、

アークトゥルスにおける内角φ_A=52.5239°

スピカにおける内角φ_B=66.5254°

ズベン・エス・カマリにおける内角φ_C=68.3118°

この結果から、ほぼφ_B=φ_Cとみれば、やはりスピカ〜ズベン・エス・カマリを底辺とする二等辺三角形に近いといえます。

 

今回の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

さて、いつかどこか空気のきれいなところで、眼視で「緑色の星」をみつけてみたいものです

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Spring Triangle to Libra

『天球の歩き方 計算編』#8 〜春のダイヤモンド〜

牛飼い座のアークトゥルス、乙女座のスピカ、獅子座のデネボラの３つを繋ぐと「春の大三角形」ですが、これに猟犬座のコル・カロリを加えると「春のダイヤモンド」

「冬のダイヤモンド」は六角形ですが、「春のダイヤモンド」は四角形です。

「冬のダイヤ」は明るい星たちなので見つけやすいことに比べ、「春のダイヤ」はデネボラが2.13等星であるとともにコル・カロリに至っては2.88等星と、ちょっと暗い

なので、どこにコル・カロリがあるかの道案内は有用です。

"A Celestial Atlas"によれば、このコル・カロリは、北斗七星のη星アルカイドと獅子座のβ星デネボラを結ぶ直線上にあるようです。

Detail of Plate 29, "A Celestial Atlas" by Alexander Jamieson, Public Domain courtesy of Wikimedia Commons

 

アルカイド、デネボラ、コル・カロリの位置（それぞれ恒星A、B、Cとする）は、赤径αと赤緯δを用いて、以下のように表されます（元期 J2000.0）。

恒星A アルカイド：(α, δ)=(13^h 47^m 32.43776^s, +49° 18′ 47.7602″)

恒星B デネボラ：(α, δ)=(11^h 49^m 03.57834^s, +14° 34′ 19.4090″)

恒星C コル・カロリ：(α, δ)=(12^h 56^m 01.66622^s, +38° 19′ 06.1541″)

 

アルカイドとデネボラを結ぶ直線（＝天球上の大円）は、大円G1の方程式を

とおくと、【基本計算式２】を適用して、a=0.3501、b=1.8816です。

大円G1と直交し、コル・カロリを通過する大円G2の方程式のパラメーターは、【基本計算式３】を用いれば、a=-0.9932、b=-0.7163となります。

大円G1とG2の交点Qは、 【基本計算式４】を用いて、

交点Q：(α, δ)=(12^h 55^m 37^s, +38° 22′ 42″)

です。この交点Qはコル・カロリがあると期待される位置です。

この交点Qと実際のコル・カロリの間の角距離は、【基本計算式１】より、θ_QC=0.101°です。この値は非常に小さく、コル・カロリは、アルカイドとデネボラを結ぶ直線上にあると言って、ほぼ差し支えないと思います。

 

アルカイドからコル・カロリまで距離は、【基本計算式１】より、θ_AC=14.3550°で、またコル・カロリからデネボラまでの距離は、θ_CB=27.9753°です。27.9753°÷14.3550°=1.9488倍≒1.95倍となるので、コル・カロリは、アルカイドからデネボラへ向かうの間の1/3あたりにあるということになります。

 

以上の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

写真では、ほぼピッタリ直線上にコル・カロリがある感じですが、なぜか、Jamiesonの図板では、それほどピッタリに描かれているわけでもありませんね。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Spring Diamond, Diamond of Virgo

『天球の歩き方 計算編』#7 〜北斗七星からレグルスへ〜

Alexander Jamieson（1782-1850）が1822年に出版した"A Celestial Atlas"には、26枚の美しい星座絵が収録されています。

それらに加え、主要な星の探し方に関する図板が一葉、収載されています。

この図板によると、北斗七星のδ星メグレズとγ星フェクダを結んだ線を延ばすと、その先に獅子座のレグルスが見つかるようです

Detail of Plate 29, "A Celestial Atlas" by Alexander Jamieson, Public Domain courtesy of Wikimedia Commons

 

今回も、球面上の三角法を用いて確認してみることにします。

メグレズ、フェクダ、レグルスの位置（それぞれ恒星A、B、Cとする）は、赤径αと赤緯δを用いて、以下のように表されます（元期 J2000.0）。

恒星A メグレズ：(α, δ)=(12^h 15^m 25.56063^s, +57° 1′ 57.4156″)

恒星B フェクダ：(α, δ)=(11^h 53^m 49.84732^s, +53° 41′ 41.1350″)

恒星C レグルス：(α, δ)=(10^h 8^m 22.31099^s, +11° 58′ 1.9516″)

 

メグレズとフェクダを結ぶ直線（＝天球上の大円）は、大円G1の方程式を

とおくと、【基本計算式２】を適用して、a=1.4140、b=1.9475が得られます。

大円G1と直交し、レグルスを通過する大円G2の方程式のパラメーターは、【基本計算式３】を用いれば、a=-0.0232、b=-0.4966となります。

大円G1とG2の交点Qは、 【基本計算式４】を用いて、

交点Q：(α, δ)=(9^h 58^m 11^s, +13° 2′ 13″)

です。この交点Qは、レグルスがあると期待される位置です。

この交点Qと実際のレグルスの間の角距離は、【基本計算式１】より、θ_QC=2.713°が得られます。この値は、ちょっと大きいものの、一般的な双眼鏡の実視界が7°程度であることから、まあまあ許容できる範囲（7°÷2＝3.5°＞2.713°）であると考えられます。

 

メグレズとフェクダの間の距離は、【基本計算式１】より、θ_AB=4.5313°で、またフェクダからレグレスがあると期待される位置までの距離は、θ_CQ=46.6801°です。46.6801°÷4.5313°=10.3017倍≒10.3倍となるので、レグルスを探すときは、メグレズとフェクダの間の距離の約10倍の位置を探せばよい、ということになります。

 

以上の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

ここで、あらためてJamiesonの図板を見てみると、メグレズからフェクダを結んだ後、レグルスに向かうときに、若干、折れ線になっていますね。

これぐらいの誤差を含んでいる道案内だと分かっていれば、十分に役立ちますね。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Big Dipper to Regulus

『天球の歩き方 計算編』#6 〜カシオペヤからポラリスへ〜

天球上の目印として重要な北極星

北斗七星から探す方法と並んで、小学校で習ったのがカシオペヤ座から辿る方法

Wikipediaによれば、「W字形で表現されるカシオペヤ座の5星のうち、片側2星の延長線と反対側2星の延長線の交点と中央の星とを結んだ線上、W字の上側にある。中央の星からの距離は、先の交点と中央の星との間隔の約5倍である」とあります。

さて、今回もどんな感じか計算してみます。

 

1. ５つの恒星の位置

カシオペヤの、β星カフ、α星シェダル、γ星ツィー、δ星ルクバー、ε星セギンを、それぞれ恒星A〜Eとします。

それぞれの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

カフ：(RA, Dec)=(00^h 09^m 10.68518^s, +59° 08′ 59.2120″)

シェダル：(RA, Dec)=(00^h 40^m 30.44107^s, +56° 32′ 14.3922″)

ツィー：(RA, Dec)=(00^h 56^m 42.5317^s, +60° 43′ 0.265″)

ルクバー：(RA, Dec)=(01^h 25^m 48.95147^s, +60° 14′ 7.0225″)

セギン：(RA, Dec)=(01^h 54^m 23.72567^s, +63° 40′ 12.3628″)

 

2. 道案内にしたがって計算してみる

2.1 シェダルとカフを結ぶ直線及びルクバーとセギンを結ぶ直線

シェダルとカフを結ぶ直線は、恒星AとBを通過する大円です。大円G1の方程式を

とおくと、【基本計算式２】を適用すれば、a=-1.7156、b=1.0004が得られます。

同様にして、ルクバーとセギンを通過する大円G2の方程式のパラメーターは、a=-0.7874、b=-2.7772となります。

 

2.2 ２つの大円G1とG2の交点

２本の直線の交点は、大円G1とG2の交点です。この交点を点Qとすると、【基本計算式４】を用いれば、

交点Q：(RA, Dec)=(00^h 55^m 13^s, +54° 59′ 4″)

となります。

 

2.3 交点Qと恒星Cを結ぶ直線

交点Qと恒星Cを結ぶ大円の方程式のパラメーターは、【基本計算式２】を用いれば、a=11.6898、b=-53.5555となります。

 

2.4 交点Qと恒星Cの間の角距離

交点Qと恒星Cの角距離は、【基本計算式１】より、θ_QC=5.7356°が得られます。直線QCに沿って、θ_QCの約5倍、延長すればポラリスがあるというわけです。

 

2.5 ポラリスから直線QCにおろした垂線の足

直線QCを延長していって、ポラリス：(α, δ)=(2^h 31^m 49.09456^s, +89° 15′ 50.7923″)に最も近付く位置を点Rとすると、【基本計算式３】から、

交点R：(RA, Dec)=(04^h 39^m 36^s, +88° 45′ 44″)

となります。

 

2.6 ツィーから約5倍のあたりにポラリスがあるか

ツィーからポラリスがあると期待される点R（＝直線QC上でポラリスに最も近い点）までの角距離は、【基本計算式１】より、θ_CR=28.6028°です。この距離は、θ_QCに対して、28.6028°÷5.7356°=4.9869倍≒4.99倍となり、「約5倍」という道案内は、非常に正確です。また、北斗七星からポラリスを探すときの「5.33倍」よりも、圧倒的に「5」に近いことが分かります。

 

2.7 ポラリスがあると期待される位置と実際にポラリスがある位置の距離

点Rと点Pの間の距離は、【基本計算式１】より、θ_RP=0.7266°と求まり、この値は、一般的な双眼鏡の実視界が7°程度であることから考えて十分に小さいと考えられます。また、北斗七星からポラリスを探すときの差異「1.92°」と比べても、はるかに小さく、正確だといえます。

 

以上の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

 

2.8 W字形からポラリスへ向かう方向

「カフとシェダルを結ぶ直線」と「セギンとルクバーを結ぶ直線」の成す角は、球面三角形AQEに【基本計算式５】を適用して、φ_AQE=86.3911°です。

「カフとシェダルを結ぶ直線」からポラリスへ向かう直線は、球面三角形AQPに【基本計算式５】をすればφ_AQP=52.1417°、「セギンとルクバーを結ぶ直線」からポラリスへ向かう直線は、同様にして、φ_EQP=34.2494°です。

もちろん、φ_AQP+φ_EQP=52.1417°+34.2494°=86.3911°=φ_AQEです。

 

3. まとめ

カシオペヤからポラリスを探すとき、個人的には、なんだかスッキリしないことが多いという印象をもっていたのですが、計算してみると非常に正確な道案内であり、北斗七星の場合に比べても、はるかに優秀だということが分かりました。

カシオペヤからポラリスに向かうときの難しさは、ε星セギンが3.37等星と暗いためにδ星と結ぶ直線の方向をつかみにくいこと、さらに「W」の形状が線対称になっているわけではないこと、などが要因ではないかと思います。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Cassiopeia to Polaris

『天球の歩き方 計算編』#5 〜冬のダイヤモンドはどんな六角形か〜

今回は、冬のダイヤモンドの形状について、調べてみます

冬のダイヤモンドは、オリオン座のリゲル、大犬座のシリウス、小犬座のプロキオン、双子座のポルックス、馭者座のカペラ、牡牛座のアルデバランを繋いでできる六角形で、都会でも大気の状態が落ち着いている夜ならば、容易に見つけることができます

ただ、六角形を結んでいく際に、ポルックスかカストルだったかなと、迷うことがあります。

ポルックスは1.14等星、カストルは1.58等星で、ポルックスの方が1.5倍だけ明るい^注1ので、明るい方（正中したとき、左側の方）のポルックスを選べばよいわけですが、なぜか、カストルの方を選びたくなるのです。

注1) 10^｛(1.58-1.14)/5*2｝=1.50

 

1. ６つの恒星の位置

計算では、リゲル、シリウス、プロキオン、ポルックス、カペラ、アルデバランを、それぞれ恒星A〜Fとします。

それぞれの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

リゲル：(RA, Dec)=(5^h 14^m 32.27210^s, -8° 12′ 05.8981″)

シリウス：(RA, Dec)=(6^h 45^m 8.91728^s, -16° 42′ 58.0171″)

プロキオン：(RA, Dec)=(7^h 39^m 18.11950^s, +5° 13′ 29.9552″)

ポルックス：(RA, Dec)=(7^h 45^m 18.94987^s, +28° 01′ 34.3160″)

カペラ：(RA, Dec)=(5^h 16^m 41.35871^s, +45° 59′ 52.7693″)

アルデバラン：(RA, Dec)=(4^h 35^m 55.23907^s, +16° 30′ 33.4885″)

 

2.各辺の長さと各内角の計算

まず、６辺の長さを求めます。【基本計算式１】を用いれば、

リゲル〜シリウスの角距離θ_AB=23.6732°

シリウス〜プロキオンの角距離θ_BC=25.7014°

プロキオン〜ポルックスの角距離θ_CD=22.8459°

ポルックス〜カペラの角距離θ_DE=34.2370°

カペラ〜アルデバランの角距離θ_EF=30.6899°

アルデバラン〜リゲルの角距離θ_FA=26.4930°

と計算されます。６辺のうち最短であるプロキオン〜ポルックスの角距離を1とすると、各辺の長さの比率は、以下のとおりとなります。

リゲル〜シリウス（辺AB）：1.0362

シリウス〜プロキオン（辺BC）：1.1250

プロキオン〜ポルックス（辺CD）：1.0

ポルックス〜カペラ（辺DE）：1.4986

カペラ〜アルデバラン（辺EF）：1.3433

アルデバラン〜リゲル（辺FA）：1.1596

うーん、辺DEや辺EFが、少し長めなのですね。冬のダイヤモンドは均整のとれた正六角形ではなく、カペラが、ちょっと離れているようです。見た目には、結構、バランスのよい六角形と思っていましたが

次に、６つの内角を計算します。リゲルにおける内角φ_Aは三角形FABに【基本計算式５】を適用して求めます。同様に計算していくと、

リゲルにおける内角φ_A=134.3932°

シリウスにおける内角φ_B=104.2132°

プロキオンにおける内角φ_C=152.2901°

ポルックスにおける内角φ_D=127.9156°

カペラにおける内角φ_E=90.7941°

アルデバランにおける内角φ_F=144.2187°

が得られます。相対する内角の値は近い（134.4°と127.9°、104.2°と90.8°、152.3°と144.2°）ようです。

以上の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

ちょっと歪んだ六角形ですね。

ここで、相対する辺の平行度合いを調べてみましょう。

実は、観測者からみたとき、天球上にある異なる２本の直線（＝２つの大円）は、どうやっても平行にはなりません。なぜなら、異なる２つの大円は必ず２点で交わってしまうからです。これは、平面上のユークリッド幾何学とは異なる非ユークリッド幾何学の特徴のひとつです。

でも、私たちが、天空の星々を繋いだとき、平行っぽく見える部分があるのも確かです。そこで、ここでは、例えば、辺CDと辺AFが平行に見えるかどうかを、「線分ACと線分FDの長さが同じくらいか」によって判定することにします^注2。おそらく、私たちは、そんな感じで平行性を認識していると思います（左図）。

注2) 点A及び点Fから直線CDにおろした垂線の足を、それぞれ点Q、点Rとし、線分AQと線分FRの長さを比較するという方法もよいかと思います（右図）。

それぞれの線分の長さは、【基本計算式１】を用いて計算します。

線分ACの長さ：38.5111°、線分DFの長さ：45.0128°

線分BDの長さ：47.0537°、線分EAの長さ：54.2081°

線分CEの長さ：51.1243°、線分FBの長さ：46.0228°

 

計算結果は以下に示すように、線分の比率が1.11〜1.17と、そこそこ１に近く、相対する辺同士は結構、平行っぽいということが分かります。

 

3. ポルックスの代わりにカストル

試みに、ポルックスの代わりにカストルを結ぶと、どんな感じになるか計算してみました。

カストルの赤径RA及び赤緯Decは、次の通りです（元期 J2000.0）。

カストル：(RA, Dec)=(7^h 34^m 35.87319^s, +31° 53′ 17.8160″)

第2章に示した一連の計算で、恒星D（ポルックス）をカストルに入れ替えて計算してみると、六角形の形は次のようになります。冬のダイヤモンドでは、各辺の長さの比が最大1.5倍の差があったことと比べると、ポルックスをカストルに入れ替えた六角形では、各辺の長さの差は1.3倍以下に収まっており、より均整のとれた六角形だといえます。

 

「冬のダイヤモンド」と「ポルックスをカストルに入れ替えた六角形」について、６辺の長さの平均値μ、標準偏差σ、変動係数CVを計算してみると、

冬のダイヤモンド：μ=27.27°、σ=5.11°、CV=18.7%

ポルックスをカストルに入れ替えた六角形：μ=27.20°、σ=3.90°、CV=14.3%

となり、６辺の長さの差異が是正されていることが、定量的に確認できます。

 

カストルに入れ替えた六角形について、相対する辺の平行度を計算し直すと、下図のように線分の比率が1.08〜1.12になり、これらの値は冬のダイヤモンド（1.11〜1.17）より１に近づいており、平行度合いが増していることが分かります。

 

4. まとめ

冬のダイヤモンドは、ちょっとカペラが遠くに離れている六角形です。ポルックスをカストルに入れ替えると、均整のとれた六角形に近づきます。夜空を見上げて、冬のダイヤモンドの六角形を紡いでいこうとするとき、ポルックスかカストルか道に迷いそうになる原因は、ここにあったのかも知れませんね。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Winter Hexagon, Winter Diamond

『天球の歩き方 計算編』#4 〜冬の大三角形は正三角形か〜

春の大三角、夏の大三角ときたら、次は、やはり冬の大三角ですね

オリオン座のベテルギウス、大犬座のシリウス、小犬座のプロキオンは、いずれも明るい星なので道に迷うことは、まずあり得ませんので、今回は、冬の大三角形が正三角形かどうかについて調べてみます

Wikipediaによると「おおいぬ座α星シリウス、こいぬ座α星プロキオン、オリオン座α星ベテルギウスの3つの1等星を頂点とする三角形である。形は正三角形に近く、三角形の中を淡い天の川が縦断している」とあります。

さて、どうでしょうか。

 

冬の大三角形を構成する３つの恒星ベテルギウス、シリウス、プロキオンの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

ベテルギウス：(RA, Dec)=(5^h 55^m 10.30536^s, +7° 24′ 25.4304″)

シリウス：(RA, Dec)=(6^h 45^m 8.91728^s, -16° 42′ 58.0171″)

プロキオン：(RA, Dec)=(7^h 39^m 18.11950^s, +5° 13′ 29.9552″)

 

まず、３辺の長さを比べてみます。【基本計算式１】を用いれば、

ベテルギウス〜シリウスの角距離θ_AB=27.1045°

シリウス〜プロキオンの角距離θ_BC=25.7014°

プロキオン〜ベテルギウスの角距離θ_CA=25.9620°

と計算されます。３辺のうち最短であるシリウス〜プロキオンの角距離を1とすると、ベテルギウス〜シリウスの角距離は1.0546、プロキオン〜ベテルギウスは1.01014です。

３辺の長さの差は数%以内ですから、冬の大三角形は正三角形と言って差し支えないでしょう。

春の大三角形も正三角形なのですが、３辺の長さの差が約4%以内であることと比べると、冬の大三角は、かなり正三角形である度合いが強いといえます。

次に、３つの内角を比較します。【基本計算式５】を用いれば、

ベテルギウスにおける内角φ_A=59.6697°

シリウスにおける内角φ_B=60.6076°

プロキオンにおける内角φ_C=65.0647°

と得られます。３つの内角は、目視レベルであれば、ほぼ同じでしょうから、やはり正三角形だとみてよいでしょう。

細かくみると、ほぼφ_A=φ_Bなので、冬の大三角はベテルギウスとシリウスを底辺とする二等辺三角形ともいえます。

興味深いことは、春の大三角も冬の大三角も、ほぼ正三角形であり、正確に言うと二等辺三角形であるという類似点です。

 

冬の大三角の内角の和はφ_A+φ_B+φ_C=185.3°です。春の大三角は189.3°でしたから、冬の大三角の方が、小さいということが分かります。

球面三角形の内角の和は180°より大きくなります。また、球面三角形の面積が小さくなるほど、内角の和は限りなく180°に近づいていきます。計算方法は割愛しますが、春の大三角と冬の大三角の面積比は、(189.3°-180°)/(185.3°-180°)=9.3°/5.3°=1.75倍です。

 

今回の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

 

５つの【基本計算式】をこちらで紹介しています

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Winter Triangle

『天球の歩き方 計算編』#3 〜春の大三角形は正三角形か〜

1. はじめに

春の夜空を彩るオレンジ色のアークトゥルスと青いスピカ

アークトゥルスは0等星なので、都会でもハッキリと見えますし、1等星のスピカも慣れてくれば見つけられます。

あと、デネボラが見つかれば春の大三角形なのですが、このデネボラが2等星なので、都会で見つけるには、結構、厳しいものがあります

条件の良い日に、「このあたりにあるはず」という感じで、じっと眼が慣れるのを待っていて、ようやく見える程度です。

そういった意味で、春の大三角形の形状を頭に入れておくことは有用です。

ちなみに、Wikipediaによれば「アークトゥルスとスピカ、それにしし座β星デネボラを結ぶと、大きな正三角形ができる」と記されています。

一方、"Star Identification"では「アークトゥルスとスピカのところで同じ角度になる三角形の頂点にデネボラがある」と説明されています。つまり、アークトゥルスとスピカを底辺とする二等辺三角形だということになります。

さて、実際は、どんな感じになっているでしょうか。

 

2. 基本計算式

今日は、まず、星の道案内に必要となる５つの基本方程式を整理しておきます。

一連の計算では極座標系を使用することとし、恒星の位置（α, δ）は、赤経RA及び赤緯Decを用いて、次式のように表します。

ここで、δを90°からの補角で表す理由は、星の高度を示す際に、極座標系では天頂からの偏角を用いて表すことに対し、赤緯は水平面からの仰角を用いるという違いがあるためです。

３つの恒星A、B、Cの位置は、極座標系（α, δ）で、それぞれ、

と表わします。

赤経は「時 分 秒」で、赤緯は「度 分 秒」で提供されていますので、計算に際しては、それぞれ「度」に換算します。電卓であれば、そのままでも計算できますが、表計算ソフトなどコンピューター上で計算する場合はラジアンに換算（360°→2π）します。

 

【基本計算式１】２つの恒星A、B間の角距離

天球上の2点A(α_a, δ_a)、B(α_b, δ_b)間の角距離θ_ABは「球面三角法における余弦定理」を用いて求めます。

天球上の点A、B及び天頂から成る三角形に余弦定理を適用すると、

となるので、右辺のδ_a、δ_b、α_a、α_bに数値を代入することでθ_ABを求めることができます。

 

【基本計算式２】２つの恒星A、Bを通過する大円

大円の方程式は、

と表せます。天球上の2点A(α_a, δ_a)、B(α_b, δ_b)を通過する条件から、係数a、bは次式で求めることができます。

観測者からみたとき、この大円は２つの恒星を結ぶ直線です。

 

【基本計算式３】２つの恒星A、Bを通過する大円と直交し、恒星Cを通過する大円

天球上の2点A、Bを通過する大円G1:a cosα+b sinα+cotδ=0と直交し、点C(α_c, δ_c)を通過する大円G2の方程式を求めます。

大円G2の方程式をa’ cosα+b’ sinα+cotδ=0としたとき、係数a'、b'は次式により求められます。

大円G2は、観測者からみたとき、恒星Cから恒星A、Bを結ぶ直線上におろした垂線を表します。

 

【基本計算式４】２つの大円の交点

大円G1:a cosα+b sinα+cotδ=0と大円G2:a’ cosα+b’ sinα+cotδ=0の交点Q(α_q, δ_q)は、次式から求めます。

 

交点Qは、観測者からみたとき、恒星Cから恒星A、Bを結ぶ直線上におろした垂線の足です。

２つの大円の交点は、空間上で相対する２点が存在しますが、ここでは、必要な方の１つを選びます。

 

【基本計算式５】３つの恒星A、B、Cから成る球面三角形の頂点Aにおける内角

天球上の3点A(α_a, δ_a)、B(α_b, δ_b)、C(α_c, δ_c)から成る三角形の頂点Aにおける内角φ_A（=∠BAC）は、「球面三角法における余弦定理」

から、次式を用いて求めます。

 

以上に示した５つの基本計算式を使えば、たいていの計算はできるようになります

 

3. 春の大三角形

春の大三角形を構成する３つの恒星アークトゥルス、スピカ、デネボラの赤径RA及び赤緯Decは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

アークトゥルス：(RA, Dec)=(14^h 15^m 39.67207^s, +19° 10′ 56.673″)

スピカ：(RA, Dec)=(13^h 25^m 11.57937^s, -11° 9′ 40.7501″)

デネボラ：(RA, Dec)=(11^h 49^m 3.57834^s, +14° 34′ 19.409″)

 

これら３つの恒星の位置を極座標系で表すと、

アークトゥルス：A(α_a, δ_a)=(213.9153°, 70.8176°)

スピカ：B(α_b, δ_b)=(201.2982°, 101.1613°)

デネボラ：C(α_c, δ_c)=(177.2649°, 75.4279°)

となります。

 

3.1 ３辺の長さ

天球上の点A（アークトゥルス）と点B（スピカ）の間の角距離は、【基本計算式１】を用いれば、θ_AB=32.7929°が得られます。同様にして、点B（スピカ）と点C（デネボラ）の角距離はθ_BC=35.0642°、点C（デネボラ）と点A（アークトゥルス）の角距離はθ_CA=35.3096°となります。

３辺のうち最短であるアークトゥルス〜スピカの角距離を1とすると、スピカ〜デネボラの長さは1.06926、デネボラ〜アークトゥルスは1.07675です。

３辺の長さの差は約4%以内なので、ほぼ同じだとみなせば、春の大三角形は、ほぼ正三角形だと言えそうです。

細かく言えばθ_AB≠θ_BC≒θ_CAなので、ほぼ二等辺三角形だと言った方が、より正確だと思います。

3.2 ３つの内角

次に、球面三角形ABCの頂点A（アークトゥルス）における内角は、【基本計算式５】を用いて、φ_A=64.9559°です。同様にして、頂点B（スピカ）及び頂点C（デネボラ）における内角を計算すると、それぞれ、φ_B=65.7135°、φ_C=58.6618°が求まります。

すでに３辺の比較で説明したように、３角の値をφ_A≒φ_B≒φ_Cとみれば、ほぼ正三角形ですし、φ_A≒φ_B≠φ_Cとみるならば、ほぼ二等辺三角形です。

前回も記しましたが、球面上の三角形の内角の和は180°より大きくなります。確かに、春の大三角形では189.3°>180°となっています。ちなみに、球面三角形の面積が小さくなるほど、内角の和は限りなく180°に近づいていきます。

 

3.3 まとめ

春の大三角形は、３辺の長さがほぼ等しいので、目視では正三角形だと言って差し支えないと思います。また、頂点アークトゥルスとスピカで同じ角度になる二等辺三角形だという説明も、非常に正確だと言えます。

今回の計算結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

 

4.おわりに

今回は、基本計算式のうち【基本計算式１】と【基本計算式５】の２つだけを用いて計算することができました。

残り３つの【基本計算式２】〜【基本計算式４】は、北斗七星から北極星を探すときのような計算の際に使います。

まだまだ、確かめてみたい位置関係（星の道案内）がありますので、引き続き、調べていきたいと思います。

 

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Spring Triangle

『天球の歩き方 計算編』#2 〜夏の大三角形は直角三角形か〜

白鳥座のデネブ、琴座のベガ、鷲座のアルタイルで、夏の大三角形

米海軍の教育資料"Star Identification"によると、「アルタイルからベガに進み、90°曲がるとデネブに至る」という道案内があります。

つまり、夏の大三角形は、頂点ベガで直角となる三角形だと説明されています。

実際は、３つの中でベガが最も明るいので、ベガからスタートすることも多いわけですが、周囲を見渡してアルタイルとデネブを探すとき、「ベガで直角になる」という手掛かりは非常に有用です。

また、容易に三角形を見つけられたときでも、時刻や方角によっては、「あれ？どれがどれだっけ？」と迷った際に、ベガで直角になっていることを知っていれば便利です

確かに、目測では、ほぼ直角に見えますが、実際は、どうなのでしょうか。

 

1. 直交座標系で計算

まず、xyz-直交座標系で計算してみます。３つの恒星の赤径α及び赤緯δは、下記の通りです（元期 J2000.0）。

ベガ：(α_a, δ_a)=(18^h 36^m 6.3364^s, +38° 47′ 1.2802″)

デネブ：(α_b, δ_b)=(20^h 41^m 25.9151^s, +45° 16′ 1.2802″)

アルタイル：(α_c, δ_c)=(19^h 50^m 46.9986^s, +8° 52′ 5.9563″)

これらを直交座標系で表すと、次の通りです。

ベガ：(x_a, y_a, z_a)=(0.1223, -0.7699, 0.6264)

デネブ：(x_b, y_b, z_b)=(0.4556, -0.5362, 0.7106)

アルタイル：(x_c, y_c, z_c)=(0.4592, -0.8748, 0.1542)

ベガ〜デネブの角距離はOAとOBの成す角なので、前々回と同様に、内積の関係からθ_AB=23.9934°です。

同様にして、デネブからアルタイルの角距離はθ_BC=38.0139°、アルタイルからベガの角距離はθ_CA=34.2860°が得られます。

3辺のうち、最も短いベガ〜デネブ間の角距離をdとしたとき、デネブ〜アルタイル間の距離はθ_BC÷θ_AB=38.0139°÷23.9934°=1.58d、アルタイル〜ベガ間はθ_CA÷θ_BC=34.2860°÷23.9934°=1.43dとなります。

三角形の頂点ベガにおける角度は、平面OABと平面OACのなす角度です。これは、２つの平面の法線ベクトルがなす角度と等しい。平面OABの法線ベクトルは、ベクトルOAとベクトルOBの外積なので、これも前々回と同じように計算すれば、(a, b, c)=(-0.2112, 0.1985, 0.2852)が得られます。同様にして、平面OACの法線ベクトルを求め、２つのベクトルの内積を計算すれば、ベガにおける角度φ=81.7124°が得られます。

同様にして、頂点デネブ、アルタイルにおける角度は、それぞれ、φ=64.8439°、φ=40.7968°となります。

３つの頂点の角度の和は、81.71°＋64.84°＋40.89°＝187.4°です。平面上の三角形の内角の和は必ず180°ですが、球面上の三角形の場合、内角の和は必ず180°より大きくなります。

 

この結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので歪曲収差があります）。

 

別の場所、別の日時で、もう１枚

以上の計算から、頂点ベガにおける角度は81.7°であり、直角より若干、小さめだということが分かりました。

まあ、目測では、直角っぽくみえる範囲だと思います。

 

2. 極座標系で計算

前章では、直交座標系を利用しましたが、もちろん極座標系でも計算できて、球面三角法における余弦定理を使えば、もっとシンプルに解けることになります。

ベガとデネブの距離角θ_ABは、前回と同様に「球面三角法における余弦定理」を用いて求めます。天球上の点A、B及び天頂から成る三角形に余弦定理を適用すると、

cosθ_AB=cosδ_acosδ_b+sinδ_asinδ_bcos(α_a-α_b)

となり、θ_AB=23.9934°が得られます。同様にして、デネブからアルタイルの角距離及びアルタイルからベガの角距離は、それぞれ、θ_BC=38.0139°、θ_CA=34.2860°となります。

次に、三角形の頂点ベガの角度φ_Aは、天球上の点A、B、Cから成る三角形に余弦定理を適用すれば、

cosθ_BC=cosθ_ABcosθ_CA+sinθ_ABsinθ_CAcosφ_A

となるので、φ_A=81.7124°となります。

同様にして、デネブ及びアルタイルにおける角度は、それぞれ、φ_B=64.8439°、φ_C=40.7968°です。

以上の計算結果は、前章の直交座標で求めた結果と、ちゃんと一致しています

極座標系の計算でも表計算ソフトを用いて計算しています。

 

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Summer Triangle

『天球の歩き方 計算編』#1補遺 〜北斗七星からポラリスへ〜

はじめに

先日は、xyz-直交座標系で計算してみましたが、今回は極座標系で計算してみました。

もちろん、全く同じ計算結果が得られます。

 

1.各恒星の位置

　前回と同様に、各恒星の位置は赤径αと赤緯δを用いて、以下のように表します（元期 J2000.0）。

メラク：(α, δ)=(11^h 01^m 50.47654^s, +56° 22′ 56.7339″)

ドューベ：(α, δ)=(11^h 03^m 43.67152^s, +61° 45′ 03.7249″)

ポラリス：(α, δ)=(2^h 31^m 49.09456^s, +89° 15′ 50.7923″)

2.「メラク」と「ドューベ」を含む大円G1

　観測者から観たとき、メラクとドューベを結ぶ直線は、天球上の大円に存在します。大円の方程式は、天球と原点Oを含む平面（ax+by+z=0）が交わる部分なので、下記の式と連立して解けば得られます。

　すなわち、

となります。メラク、ドューベの位置を極座標で、それぞれ(α_a,δ_a)、(α_b,δ_b)と表すと、

なので、これを連立して、a、bについて解けば次式が得られます。

3.「ポラリス」を含み大円G1と直交する大円G2

　ポラリスを含む大円G2の方程式をa'、b'を用いて表すと、

　大円G1と直交する条件から、

　これらの２式を連立して、a'、b'について解くと、

4.「ポラリス」があると期待される位置

　ポラリスがあると期待される位置Q'は、大円G1と大円G2の交点です。２つの大円の交点は計算上、南北２か所にありますが、ここでは、当然、北天側の点（δ_q>0）を求めます。下記の２式を連立して、

α_q',δ_q'について解くと、

が得られます。

 

5.「ポラリス」は「メラク」と「ドューベ」の直線上にあるか

　以上の計算から、ポラリスがあると期待される位置Q'は、(α, δ)=(18^h 5^m 45^s, +88° 36′ 46″)が得られます。実際にポラリスがある位置との角距離θは、球面三角法の余弦定理を用いて求めます。天球上の点C, Q'及び天頂から成る三角形に余弦定理を適用すると、

cosθ=cosδ_ccosδ_q'+sinδ_csinδ_q'cos(α_c-α_q')

となるのでθ=1.92°が得られ、この値が実用上、十分に小さいことは、前回、評価した通りです。

　前回、ポラリスがあると期待される位置として考えた点Qは天球上にはなく、今回の点Q'は天球上にある点が違いですが観測者から観たとき、点Qと点Q'は重なってみえます。そのため、「ポラリスと点Qの角距離」と「ポラリスと点Q'の角距離」は等しくなります。

 

6.「ポラリス」は「メラク」と「ドューベ」を結ぶ距離の約５倍の位置にあるか

　前章と同様に球面三角法における余弦定理を利用すれば、メラクとドューベの角距離はθ_AB=5.374°、ドューベ（点B）からポラリスがあると期待される点Q'までの角距離はθ_BQ'=28.648°となり、両者の比はθ_BQ'/θ_AB＝5.33倍が得られ、これも前回と同じ計算結果です。

 

7. まとめ

　前回はxyz-直交座標系を用いて、今回は極座標系で計算してみましたが、当然といえばそれまでですが、両計算で同じ結果が得られました。

　直交座標系を介さずに極座標系のみで計算した方がシンプルになりますが、逆三角関数で解を選ぶ際に間違えないように注意する必要があります（表計算ソフトは、複数の解が存在しても１つの解しか示してくれませんので）。一方、直交座標系は、解を取り違えたときでも直感的に分かりやすいという利点があります。

　まあ、しばらくは、使いやすい方を使うか、もしくは双方を用いてダブルチェックするなど、フレキシブルに考えていきたいと思います。

 

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

『天球の歩き方 計算編』#1 〜北斗七星からポラリスへ〜

はじめに

小学生の頃、北斗七星の柄杓の先、大熊座β星Merak（メラク）からα星Dubhe（ドューベ）への直線を延長すると、その先に北極星（ポラリス）があると習いました。

Wikipediaによると、「α星とβ星を結んだ線をα星側に５倍ほど延長するとポラリスに突き当たる」と記載されています。

その他、多くの書籍やHPで同様に「５倍」との記載が見つかります。

 

Navigational Starsを活用して天球を歩き回るには、一連の道案内が、実際のところ、どの程度の精度で語られているのかを知っておく必要があります。

そこで、今回は次の２つについて計算してみました。

メラクからドューベへ向かう直線上にポラリスがあるか

メラクとドューベの距離の５倍ほどの位置にポラリスがあるか

 

1. 各恒星の位置

恒星の天球上の位置は、赤径αと赤緯δによって表されます。

赤経は春分点を0^hとして反時計周りに24^hまで、赤緯は天の赤道を0°として南北±90°まで（北天側が+、南天側が−）で、これらの組み合わせで全天球を網羅します。

Wikipediaによると、メラク、ドューベ、ポラリスの位置は、それぞれ、

メラク：(α, δ)=(11^h 01^m 50.47654^s, +56° 22′ 56.7339″)

ドューベ：(α, δ)=(11^h 03^m 43.67152^s, +61° 45′ 03.7249″)

ポラリス：(α, δ)=(2^h 31^m 49.09456^s, +89° 15′ 50.7923″)

です（元期 J2000.0）。

厳密に言うと、恒星の位置は歳差及び章動によって、時々刻々変化していて、毎正時の正確な位置を"Nautical Almanac"等によって知ることができます。ここでは、現在の平均的な位置として上述の値を用いることにします。

３つの恒星の位置を、以降の計算のため、xyz-直交座標に変換すると、

メラク：(x_a, y_a, z_a)=(-0.5359, 0.1390, 0.8328)

ドューベ：(x_b, y_b, z_b)=(-0.4591, 0.1150, 0.8809)

ポラリス：(x_c, y_c, z_c)=(0.0101, 0.0079, 0.9999)

が得られます。

ここで、xyz-直交座標系は、観測点（地球）を原点Oとし、原点Oから春分点へ向かう直線をx軸、夏至点へ向かう直線をy軸、天の北極へ向かう直線をz軸とします。

なお、極座標から直交座標への変換には下記の公式を用いています。

天体の位置を表す際の赤緯はxy平面から見上げた仰角であることに対して、極座標系ではz軸からの偏角であることに注意が必要です（「極座標のδ」＝90°−「赤緯δ」です）

rは天球の半径ですが、ここでは任意の値で構いません（計算結果には影響しないのでr=1とします）

2. 観測者と「メラク」と「ドューベ」を含む平面

私たち観測者の位置を原点Oとし、天球上のメラクの位置を点A、ドューベの位置を点Bとしたとき、この３点を通過する平面pは、ax+by+cz=0で表されます。

この平面pの法線ベクトル(a, b, c)は、２つのベクトルの外積で与えられます。

観測者は、この平面p上にいるので、この平面上に存在する恒星は直線上に乗っているように見えます。

点C（ポラリス）が、この平面に乗っていれば話は簡単なのですが、実際は、多少、ずれているわけです。

3.「ポラリス」があると期待される位置

天球上のポラリスの位置を点Cとし、点Cから平面pにおろした垂線の足を点Qとします。

この点Qは、平面p上で最も点Cに近い点で、ポラリスが存在すると期待される位置です。

この垂線の方向ベクトルは平面pの法線ベクトル(a, b, c)と一致するので、垂線の方程式は、

と表わされ、この直線と平面pの方程式を連立して解けば、交点Qの座標(x_q, y_q, z_q)が求まります。

ごりごり計算して整理すると、

となります。

4.「ポラリス」は「メラク」と「ドューベ」の直線上にあるか

ポラリスの位置（天球上の点C）は、

ポラリス：(x_c, y_c, z_c)=(0.0101, 0.0079, 0.9999)、(α, δ)=(2^h 31^m 49.09456^s, +89° 15′ 50.7923″)

でした。これに対して、平面p上でポラリスがあると期待される場所（点Q）は、前章で求めた解の各パラメーターに実際の値を代入すれば得られて、

点Q：(x_q, y_q, z_q)=(0.0006, -0.0242, 0.9994)、(α, δ)=(18^h 5^m 45^s, +88° 36′ 47″)

となります。

両者のxyz座標を比較すると、そこそこ近いように思えます。極座標で比べると、赤経が値の差が大きいようにみえますが、これは、点Cと点Qが天の北極に近く、xy方向のわずかな差異が赤経に大きく影響してしまうためです。赤緯は近い値です。

では、２点の位置関係は、実際のところ、どれほどであるか、角距離（離角）θで表してみます。

θは、OQとOCの成す角なので、内積の関係を用いると、

となります。各パラメーターに代入すると、θ=1.9183°が得られます。

この値は非常に小さく、ポラリスは、ほぼ、メラクとドューベを結ぶ直線上にある、と言えそうです。

例えば、眼視時の視野角を40〜50°と考えれば、ポラリスが±20〜25°の範囲にあれば見つけられるわけですし、一般的な双眼鏡で実視界として7°程度を想定すると±3.5°以内の星は視野に入るわけで、θ=1.92°という値は、実用面では直線上にあると言える値です。

それでは、「５倍」という説明はどうなのでしょうか。

5.「ポラリス」は「メラク」と「ドューベ」を結ぶ距離の約５倍の位置にあるか

前章の通り、メラクからドューベへ真っすぐ進めば、ポラリスを見つけることができるわけですが、どれくらい、進めばよいのかというと、「５倍ほど」ということになっています。

実際は、どれほどなのかを計算してみましょう。

メラク（天球上の点A）とドューベ（点B）の角距離は、OAとOBの成す角なので、先ほどと同じように計算すると、θ_AB=5.3740°です。

ドューベ（点B）からポラリスがあると期待される点Qまでの角距離は、同様に計算してθ_BQ=28.6483°となります。

両者の比はθ_BQ/θ_AB＝5.33倍ですから、「５倍ほど」という話は、目測で観望することを想定すれば十分に正確だと言えるでしょう。

 

６. まとめ

メラクからドューベへ向かう直線上にポラリスがあるか

　ぴったり直線上というわけではないが、差異は角距離で1.92°と小さく、実用上は、ほぼ直線上にあると言える。

 

メラクとドューベの距離の５倍ほどの位置にポラリスがあるか

　メラクとドューベの距離の５.33倍の位置にあるので、ほぼ５倍の位置にあると言える。

 

これらの結果を手持ちの写真で説明すると、こんな感じになります（写真画像なので、あくまでも目安です）。

このような、カメラで撮影した画像をもとに実測しようとしても、射影方法や歪曲収差の特性に関する知識に基づいた補正が必要なので、結構、難しいと思います。実際、この写真でもDubheからPolarisまでの距離は間延びしています。

今回の記事で示した一連の計算は、ちょっと複雑なのですが、一度、表計算ソフトに組み込んでしまえば、あとは、対象となる恒星の赤経・赤緯を入力するだけです。

 

近いうちに、北斗七星からレグルスへの道案内や、夏の大三角形の形状などを調べてみたいと思います

その他の『天球の歩き方』はこちらへどうぞ

Big Dipper to Polaris

 

【2017/6/5追記】天球上にない点Qを登場させたことによって、計算がややこしくなってしまっていることに気づきました。扱うすべての点が天球上にあれば、球面三角法を使えるので、もっとシンプルにできそうです。早々に計算し直してみます（同じ結果になるはずですが）。

と思いましたが・・・意外に面倒さ加減は変わりません。しばらく、xyz-座標系で計算を進めることにします

【2017/6/10追記】極座標系で計算してみたところ、まぁ、当然ですが、全く同じ結果が得られました。

今日もお好み焼き

だいぶ気温があがってきて、扇風機が必要な季節になってきました

お散歩では、日陰を歩けば涼しいのですが、直射日光は結構、暑い

すっかり、初夏ですね

公園や植栽では、色とりどりの花が開いています。

この週末で印象に残ったのは、赤紫色のムラサキカタバミ、黄色いビヨウヤナギ

 

さて、今日のお昼ごはんは、またまたお好み焼き

前回、卵と鰹節を忘れたのでリベンジです。

今日も豚バラはないので、代打「ベーコン」

卵黄を入れて「豚玉」

 

卵黄だけを使うと、卵白が残ってしまうので、これはラップをかけて冷蔵庫に入れておこう、と思ったのですが、ここで、ひらめいて

泡立てて、タネに投入してみました

で、両面焼いて、できあがり

今日は、鰹節も忘れずに

 

「いただきまーす」

ふわっと仕上がって、大成功

Navigational Star #51

昨晩の夜散で、今年はじめて出会ったアルタイル

夜半になって、涼麻家のベランダ側に巡ってたところを

画面下側に向かって翔んでいます（片翼は隠れています）

 

↓クリックすると説明入りの大きな画像が開きます↓

5D2+EF24mmL2, f1.4, 1/6s, ISO1600

 

Navigational Star #51：鷲座のα星アルタイル、0.77等星

Navigational Starsとは、陸地が見えない外洋を航行する際の航海術「天測航法」において、太陽・月・惑星とともに用いられる58の恒星（19の１等星と39の２等星）です