整数（倍数）の論証問題 ～２０２３年前期日程の富山大学医学部・薬学部・理学部（数学科）入試より

２０２３年１２月２６日（火）

 

　富山大学の理系の入試問題で、整数に関する論証問題をとりあげる。

　　　命題　P(n) 　　z^3^n－z^3^(nｰ1)≡0 　(mod 3^n)

を証明する問題である。

小問（１）の P(１) の証明、小問（２）の P(２) の証明は、小問（３）の P(ｎ) の証明に対する準備（補助定理）

の役割を果たしている。数学的帰納法を持ちいて、小問（３）の P(ｎ) の証明を行うわけである。

　小問（１）の証明は、容易である。小問（２）の証明は、式の変形の工夫が必要で、それなりに難しい。そして、

小問（３）は、やや難問である。

　

　本ブログでは、現行の数学の「数学と人間の活動」（数研出版の「数学」）で扱われる合同式を最大限利用した。

従来から合同式は、数学Aでは基礎ときな知識として重点的に扱われてこなかった。現に数研出版の『数学A』でも

「補足」（P１７５～P１７６）の扱いである。しかし、ブログでは積極的に扱った。それは、合同式を使うことで

証明の見通しがよくなることと何より証明の記述を簡約できることである。たとえば、整数Nの集合を３で割った余

りによって分類するとき

　　　　n=3k   ,   n=3k+1  , n=3k+2

とするよりも、

　　　　n≡0 (mod 3)  ,   n≡1(mod 3)    ,   n≡2(mod 3)

と表記して計算した方が遙かに短くて済む。試しに本ブログの小問（２）を合同式を使わないで証明の記述を

してみると、このことがよくわかると思う。

 

　まず、解いてみよう。

 

（注）前書きの「合同式」の部分を、一部書き改めた。（２０２３年１２月３１日記）

 

 

 

 

ちょっと休息

（1）PTA関係の2題

　　１　東海テレビの放送

　　　　東海テレビが名古屋市のPTAが学校に寄付している実態を放送しました。PTAが学校の「第二のサイフ」

　　　になっていることを検証したいい番組内容である。
　　　　　

　　　　かわるPTA　　第二のサイフ

　　　　　　https://locipo.jp/creative/9031ed78-f1e1-4743-a2b1-78ce65a23a6f

　　　２．全国PTA組織から脱退へ　さいたま市PTA協議会

　　　　　　日本PTA協議会の混乱ぶりを象徴するニュース

　　　　　　https://news.yahoo.co.jp/articles/c3cbe140b2cbcd48f0c1cc81ff04dc736601ed20

 

（２）校長の戒告処分

　　　２０２１年度に大垣市教育委員会学校教育課の参事をしていたこの校長と、あることで２～３度ほど電話

　　で話したことがあった。その校長に対して、１２月２２日の県教育委員会で戒告の懲戒処分が決定した。

　　　　　　https://www.pref.gifu.lg.jp/uploaded/attachment/379455.pdf

　　　　　　https://news.yahoo.co.jp/articles/252277ce459c7fe5145df749131d7277058f9f09